Tre stænger hver med masse M og længde L er sammenføjet for at danne en ligesidet trekant. Hvad er et øjebliks inerti af et system om en akse, der passerer gennem dens midtpunkt og vinkelret på trekantenes plan?

Svar:

# 1/2 ML ^ 2 #

Forklaring:

Trækmomentet for en enkelt stang om en akse, der passerer gennem dens centrum og vinkelret på den, er

# 1/12 ML ^ 2 #

Den af hver side af den ligesidede trekant om en akse, der passerer gennem trekantens centrum og vinkelret på dens plan er

# 1 / 12ML ^ 2 + M (L / (2sqrt3)) ^ 2 = 1/6 ML ^ 2 #

(ved parallelle akse sætning).

Trækmomentet for trekanten omkring denne akse er da

# 3times 1/6 ML ^ 2 = 1/2 ML ^ 2 #

Forudsat at stængerne er tynde, er positionen af midterpunktet for hver stang midt i stangen. Da stængerne danner en ligesidet trekant, vil midten af massen af systemet være ved midtpunktet af trekanten.

Lade # D # være afstand fra centroid fra nogen af siderne.

# D / (L / 2) = tan30 #

# => D = L / 2tan30 #

# => D = L / (2sqrt3) # …..(1)

Moment af inerti af en enkelt stang om en akse, der passerer gennem centroid vinkelret på trekantenes plan ved anvendelse af parallelakse therorm er

#I_ "stang" = I_ "cm" + Md ^ 2 #

Der er tre tilsvarende anbragte stænger, derfor ville det være det totale træghedsmoment på tre stænger

#I_ "system" = 3 (I_ "cm" + Md ^ 2) #

# => I_ "system" = 3I_ "cm" + 3Md ^ 2 # …….(2)

Andet udtryk ved brug af (1) er

# 3Md ^ 2 = 3M (L / (2sqrt3)) ^ 2 #

# => 3Md ^ 2 = 1 / 4ML ^ 2 # …..(3)

Som inertimoment af en stang omkring dens massemasse er

#I_ "cm" = 1/12 ml ^ 2 #

Første term i (2) bliver

# 3I_ "cm" = 3xx1 / 12ml ^ 2 = 1/4 ml ^ 2 # ….(4)

Ved anvendelse af (3) og (4) bliver ligning (2)

#I_ "system" = 1 / 4ML ^ 2 + 1 / 4ML ^ 2 = 1 / 2ML ^ 2 kgm ^ 2 #