Hvad er rækkevidden af funktionen f (x) = 1 / (4 sin (x) + 2)?

Svar:

Sortimentet er #R = (-infty, -1/2 uu 1/6, + infty) #

Forklaring:

Bemærk at nævneren er udefineret, når

# 4 sin (x) + 2 = 0 #, det er, når

#x = x_ (1, n) = pi / 6 + n 2pi #

eller

#x = x_ (2, n) = (5 pi) / 6 + n 2pi #, hvor #n i ZZ # (# N # er et helt tal).

Som #x# tilgange #x_ (1, n) # nedefra, #F (x) # tilgange # - infty #, mens hvis #x# tilgange #x_ (1, n) # fra oven da #F (x) # tilgange # + Infty #. Dette skyldes opdeling af "næsten #-0# eller #+0#'.

Til #x_ (2, n) # situationen er omvendt. Som #x# tilgange #x_ (2, n) # nedefra, #F (x) # tilgange # + Infty #, mens hvis #x# tilgange #x_ (2, n) # fra oven da #F (x) # tilgange # -Infty #.

Vi får en række intervaller, hvor #F (x) # er kontinuerlig, som det kan ses i plottet. Overvej først "skåle" (i hvis ender virker funktionen # + Infty #). Hvis vi kan finde de lokale minima i disse intervaller, så ved vi det #F (x) # antager alle værdierne mellem denne værdi og # + Infty #. Vi kan gøre det samme for "upside down bowls" eller "caps".

Vi bemærker, at den mindste positive værdi opnås, når nævneren i #F (x) # er så stor som muligt, det er da #sin (x) = 1 #. Så konkluderer vi, at den mindste positive værdi af #F (x) # er #1/(4*1 + 2) = 1/6#.

Den største negative værdi er ligeledes fundet #1/(4*(-1) + 2) = -1/2#.

På grund af kontinuiteten i #F (x) # I intervallerne mellem diskontinuiteter og Intermediate value-sætningen kan vi konkludere, at rækken af #F (x) # er

#R = (-infty, -1/2 uu 1/6, + infty) #

De hårde parenteser betyder, at tallet er inkluderet i intervallet (f.eks. #-1/2#), mens bløde parenteser betyder, at nummeret ikke er medtaget.

graf {1 / (4sin (x) + 2) -10, 10, -5, 5}