Hvad er ekstreme og sadpunkterne for f (x, y) = xye ^ (- x ^ 2-y ^ 2)?

Svar:

#(0,0)# er et sadelpunkt

# (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # og # (- 1 / sqrt 2, -1 / sqrt 2) # er lokale maksima

# (1 / sqrt 2, -1 / sqrt 2) # og # (- 1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # er lokale minima

# (0, pm 1 / sqrt 2) # og # (pm 1 / sqrt 2,0) # er bøjningspunkter.

Forklaring:

Til en generel funktion #F (x, y) # med et stationært punkt på # (X_0, y_0) # vi har Taylor-serien ekspansion

# F (x_0 + xi, y_0 + eta) = F (x_0, y_0) + 1 / (2!) (F_ {xx} xi ^ 2 + F_ {yy} eta ^ 2 + 2F_ {xy} xi eta) + ldots #

Til funktionen

#f (x) = x y e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

vi har

# (delf) / (del x) = ye ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + x y (-2x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2}

#qquad = y (1-2x ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

# (del f) / (del y) = xe ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + x y (-2y) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2}

#qquad = x (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

Det er nemt at se, at begge de første derivater forsvinder ved de følgende poner

• #(0,0)#
• # (0, pm 1 / sqrt2) #
• # (pm 1 / sqrt2, 0) #
• # (pm 1 / sqrt2, pm 1 / sqrt2) #

For at undersøge karakteren af disse stationære punkter skal vi se på den anden derivats adfærd der.

Nu

# (del ^ 2f) / (del x ^ 2) = y (-4x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + y (1-2x ^ 2) (-2x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = x y (4x ^ 2-6) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

og lignende

# (del ^ 2f) / (del y ^ 2) = xy (4y ^ 2-6) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

og

# (del ^ 2f) / (del xdel y) = (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + x (1-2y ^ 2) (-2x) x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = (1-2x ^ 2-2y ^ 2 + 4x ^ 2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = (1-2x ^ 2) (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

Så for #(0,0)# vi har # (del ^ 2f) / (del x ^ 2) = (del ^ 2f) / (del y ^ 2) = 0 # og # (del ^ 2f) / (del x del y) = 1 # - dermed

#f (0 + xi, 0 + eta) = f (0,0) + xi eta = xi eta #

Hvis du nærmer dig #(0,0)# langs linjen # X = y #, dette bliver det her

#f (0 + xi, 0 + xi) = xi ^ 2 #

også #(0,0)# er naturligvis et minimum, hvis du nærmer dig fra denne retning. På den anden side, hvis du nærmer dig langs linjen # X = -y # vi har

#f (0 + xi, 0-xi) = -xi ^ 2 #

også #(0,0)# er et maksimum langs denne retning, Dermed #(0,0)# er en sadel punkt.

Til # (1 / sqrt2,1 / sqrt2) # det er let at se det

# (del ^ 2f) / (del x ^ 2) = (del ^ 2f) / (del y ^ 2) = -2e ^ {- 1/2} <0 # og # (del ^ 2f) / (del x del y) = 0 #

hvilket betyder at

#f (1 / sqrt 2 + xi, 1 / sqrt 2 + eta) = f (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) -e ^ {- 1/2 (xi ^ 2 + eta2)} #

Så reducerer funktionen, uanset hvilken vej du bevæger dig væk fra # (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # og dette er en lokal maksimum. Det ses let, at det samme gælder # (- 1 / sqrt2, -1 / sqrt2) # (dette burde have været indlysende, da funktionen forbliver den samme under # (x, y) til (-x, -y) #!

Igen, for begge # (1 / sqrt2, -1 / sqrt2) # og # (- 1 / sqrt2,1 / sqrt2) # vi har

# (del ^ 2f) / (del x ^ 2) = (del ^ 2f) / (del y ^ 2) = 2e ^ {- 1/2}> 0 # og # (del ^ 2f) / (del x del y) = 0 #

Så begge punkter er lokale minima.

De fire punkter # (0, pm 1 / sqrt2) # og # (pm 1 / sqrt2, 0) # er mere problematisk - da alle andenordens derivater forsvinder på disse punkter. Vi skal nu se på højere ordensderivater. Heldigvis behøver vi ikke virkelig at arbejde meget hårdt for dette - de allerførste afledte udbytter

# (del ^ 3f) / (del x ^ 3) = -2y (3-12x ^ 2 + 4x ^ 4) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2}

som ikke er nul for begge dele # (0, pm 1 / sqrt2) # og # (pm 1 / sqrt2, 0) #. Nu betyder det, for eksempel

#f (0 + xi, 1 / sqrt 2) = f (0,1 / sqrt 2) +1/3 ((del ^ 3f) / (del x ^ 3)) {{0,1 / sqrt2) } xi ^ 3 + … #

hvilket viser, at dette vil stige fra # f (0,1 / sqrt 2) # i den ene retning, og mindsk fra den i den anden. Dermed # (0,1 / sqrt2) # er en ** bøjningspunkt. Det samme argument arbejder for de andre tre punkter.