Differentier cos (x ^ 2 + 1) ved at bruge det første derivatprincip?

Svar:

# -Sin (x ^ 2 + 1) * 2x #

Forklaring:

# d / dx cos (x ^ 2 + 1) #

Til dette problem skal vi bruge kædelegemet samt det faktum, at derivatet af #cos (u) = -in (u) #. Kæde regel siger i det væsentlige kun, at du først kan udlede den eksterne funktion med hensyn til hvad der er inde i funktionen, og multiplicere dette med derivatet af hvad der er inde i funktionen.

Formelt, # dy / dx = dy / (du) * (du) / dx #, hvor #u = x ^ 2 + 1 #.

Vi skal først udarbejde derivatet af den bit inde i cosinus, nemlig # 2x #. Derefter, efter at have fundet derivatet af cosinusen (en negativ sinus), kan vi bare formere det med # 2x #.

# = - sin (x ^ 2 + 1) * 2x #

Svar:

Se nedenfor.

Forklaring:

#f (x) = cos (x ^ 2-1) #

Vi skal finde

#lim_ (hrarr0) (f (x + h) -f (x)) / h = lim_ (hrarr0) (cos ((x + h) ^ 2-1) -koser (x ^ 2-1)) / h #

Lad os fokusere på det udtryk, hvis grænse vi har brug for.

# (cos ((x ^ 2-1) + (2xh + h ^ 2)) - cos (x ^ 2-1)) / h #

# = (cos (x ^ 2-1) cos (2xh + h2 2) - sin (x ^ 2-1) synd (2xh + h22) -kos (x ^ 2-1)) / h #

# cos (x ^ 2-1) (cos (2xh + h2 2) -1) / h - sin (x ^ 2-1) sin (2xh + h2 2) / h #

# = cos (x ^ 2-1) (cos (2xh + h ^ 2) -1) / (h (2x + h)) (2x + h) - sin (x ^ 2-1) sin (2xh + h ^ 2) / (h (2x + h)) (2x + h) #

Vi bruger følgende grænser:

#lim_ (hrarr0) (cos (2xh + h22) -1) / (h (2x + h)) = lim_ (trarr0) (cost-1) / t = 0 #

#lim_ (hrarr0) sin (2xh + h22) / (h (2x + h)) = lim_ (trarr0) sint / t = 1 #

Og #lim_ (hrarr0) (2x + h) = 2x #

At evaluere grænsen:

#cos (x ^ 2-1) (0) (2x) - sin (x ^ 2-1) * (1) * (2x) = -2xsin (x ^ 2-1) #