Antag at S1 og S2 er ikke-nul underrum, med S1 indeholdt i S2, og antage, at dim (S2) = 3?

Svar:

#1. {1, 2}#

#2. {1, 2, 3}#

Forklaring:

Tricket her er at bemærke, at der gives et underrum # U # af et vektorrum # V #, vi har #dim (U) <= dim (V) #. En nem måde at se dette på er at bemærke, at ethvert grundlag for # U # vil stadig være lineært uafhængig i # V #, og således må enten være grundlaget for # V # (hvis # U = V #) eller har færre elementer end et grundlag af # V #.

For begge dele af problemet har vi # S_1subeS_2 #, hvilket med det ovennævnte betyder, at #dim (S_1) <= dim (S_2) = 3 #. Derudover ved vi # S_1 # er ikke-null, hvilket betyder #dim (S_1)> 0 #.

#1.# Som # S_1! = S_2 #, vi ved, at uligheden #dim (S_1) <dim (S_2) # er streng. Dermed # 0 <dim (S_1) <3 #, betyder #dim (S_1) i {1,2} #.

#2.# Det eneste der ændrede sig for denne del er, at vi nu har mulighed for # S_1 = S_2 #. Dette ændrer uligheden til # 0 <dim (S_1) <= 3 #, betyder # S_1in {1,2,3} #

Lad os sige, at K og L er to forskellige underrums-reelle vektorrum V. Hvis givet dim (K) = dim (L) = 4, er det muligt at bestemme minimale dimensioner for V?

5 Lad de fire vektorer k_1, k_2, k_3 og k_4 danne grundlaget for vektorrummet K. Da K er et underrum af V, danner disse fire vektorer et lineært uafhængigt sæt i V. Da L er et underrum af V, der er forskellig fra K , skal der være mindst ét element, siger l_1 i L, som ikke er i K, dvs. som ikke er en lineær kombination af k_1, k_2, k_3 og k_4. Så er sætet {k_1, k_2, k_3, k_4, l_1} et lineært uafhængigt sæt af vektorer i V. Dermed er dimensionen af V mindst 5! Faktisk er det muligt for spændvidden af {k_1, k_2, k_3, k_4, l_1} at være hele vektorrummet V - s

Lad V = R3 og W = {(x, y, z) x + y + z = 0} være et underrum af V. Hvilke af de følgende vektorer er i samme coset af W i V? (I) (1,3,2) og (2,2,2). (Ii) (1,1,1) og (3,3,3).

Mbox {i}} (1,3,2) mbox {and} (2,2,2): qquad qquad qquad mbox {hører til samme coset af} W. mbox {ii}} (1,1,1) mbox {and} (3,3,3): qquad qquad qquad mbox {hører ikke til samme coset af} W. mbox {1) Bemærk, at ved det givne på W, mbox {vi kan beskrive} mbox {elementerne i} W mbox {som de vektorer af} V mbox {hvor} mbox {summen af koordinaterne er} 0. mbox {2) Husk nu at:} mbox {to vektorer tilhører det samme coset af et underrum} qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad iff qquad mbox {deres forskel hører til selve underrummet}. mbox {3) For at bestemme medlemskab i sam

Løs for h ^ 2: r = pi sqrt (r ^ 2 + h ^ 2)? antage, at alle variabler repræsenterer positive reelle tal.

R ^ 2 / pi ^ 2 - r ^ 2 = h ^ 2 Firkantede begge sider: r ^ 2 = pi ^ 2 (r ^ 2 + h ^ 2) r ^ 2 / pi ^ 2 = r ^ 2 + h ^ 2 r ^ 2 / pi ^ 2 - r ^ 2 = h ^ 2 Forhåbentlig hjælper hans!