Hvilket sjovt, nyttigt, matematisk faktum ved du, det læres normalt ikke i skolen?

Svar:

Hvordan man vurderer "tårnens eksponenter", som f.eks #2^(2^(2^2))#, og hvordan man trækker det sidste ciffer af # 2 ^ n, # # NinNN #.

Forklaring:

For at evaluere disse "tårne" starter vi øverst og arbejder vores vej ned.

Så:

#2^(2^(2^2))=2^(2^4)=2^16=65,536#

På en lignende, men lidt uafhængig note, ved jeg også hvordan man trækker de sidste cifre af #2# rejst til enhver naturlig eksponent. Det sidste ciffer i #2# hævet til noget, der altid cykler mellem fire værdier: #2,4,8,6#.

#2^1=2,# #2^2=4,# #2^3=8,# #2^4=16#

#2^5=32,# #2^6=64,# #2^7=128,# #2^8=256#

Så hvis du vil finde det sidste ciffer i # 2 ^ n #, find hvilket sted det er i cyklen, og du vil kende sit sidste ciffer.

Svar:

Hvis #n> 0 # og #en# er en tilnærmelse til #sqrt (n) #, derefter:

#sqrt (n) = a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …)))))

hvor #b = n-a ^ 2 #

Forklaring:

Antag, at vi vil finde kvadratroden af nogle tal #n> 0 #.

Yderligere vil vi gerne have resultatet at være en slags fortsat fraktion, der gentages ved hvert trin.

Prøve:

#sqrt (n) = a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …)))))

#color (hvid) (sqrt (n)) = a + b / (a + a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …)))))

#color (hvid) (sqrt (n)) = a + b / (a + sqrt (n)) #

Trække fra #en# fra begge ender for at få:

#sqrt (n) -a = b / (a + sqrt (n)) #

Multiplicer begge sider af #sqrt (n) + en # at få:

#b = (sqrt (n) -a) (sqrt (n) + a) = n-a ^ 2 #

Så hvis # En ^ 2 # er lidt mindre end # N #, derefter # B # vil være lille, og den fortsatte fraktion vil konvergere hurtigere.

For eksempel, hvis vi har # N = 28 # og vælg # A = 5 #, så får vi:

# b = n-a ^ 2 = 28-5 ^ 2 = 28-25 = 3 #

Så:

#sqrt (28) = 5 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + …)))))

som giver os tilnærmelser:

#sqrt (28) ~~ 5 + 3/10 = 5,3 #

#sqrt (28) ~~ 5 + 3 / (10 + 3/10) = 545/103 ~~ 5.29126 #

#sqrt (28) ~~ 5 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3/10)) = 5609/1060 ~~ 5.2915094 #

En kalkulator fortæller mig #sqrt (28) ~~ 5.291502622 #

Så dette er ikke konvergerer særligt hurtigt.

Alternativt kan vi sætte # N = 28 # og # A = 127/24 # at finde:

# b = n-a ^ 2 = 28-127 ^ 2/24 ^ 2 = 28-16129 / 576 = (16128-16129) / 576 = -1 / 576 #

Så:

#sqrt (28) = 127 / 24- (1/576) / (127/12- (1/576) / (127/12- (1/576) / (127/12 -…)))

giver os tilnærmelser:

#sqrt (28) ~~ 127/24 = 5.291bar (6) #

#sqrt (28) ~~ 127/24- (1/576) / (127/12) = 32257/6096 ~~ 5.29150262467 #

Det er konvergerer meget hurtigere.

Svar:

Du kan finde tilnærmelser til firkantede rødder ved hjælp af en rekursivt defineret sekvens.

Forklaring:

#COLOR (hvid) () #

Metoden

Givet et positivt heltal # N # som ikke er et perfekt firkant:

• Lade #p = gulv (sqrt (n)) # Vær det største positive heltal, hvis firkant ikke overstiger # N #.

• Lade #q = n-p ^ 2 #

• Definer en sekvens af heltal ved at:

  # {(a_1 = 1), (a_2 = 2p), (a_ (i + 2) = 2pa_ (i + 1) + qa_i "for" i> = 1):}

Derefter vil forholdet mellem successive vilkår for sekvensen have tendens til # P + sqrt (n) #

#COLOR (hvid) () #

Eksempel

Lade # N = 7 #.

Derefter #p = gulv (sqrt (7)) = 2 #, siden #2^2=4 < 7# men #3^2 = 9 > 7#.

Derefter # q = n-p ^ 2 = 7-2 ^ 2 = 3 #

Så starter vores sekvens:

#1, 4, 19, 88, 409, 1900, 8827, 41008,…#

I teorien skal forholdet mellem på hinanden følgende vilkår have tendens til # 2 + sqrt (7) #

Lad os se:

#4/1 = 4#

#19/4 = 4.75#

#88/19 ~~ 4.63#

#409/88 ~~ 4.6477#

#1900/409 ~~ 4.6455#

#8827/1900 ~~ 4.645789#

#41008/8827 ~~ 4.645746#

Noter det # 2 + sqrt (7) ~ ~ 4,645751311 #

#COLOR (hvid) () #

Hvordan det virker

Antag, at vi har en sekvens defineret af givne værdier af # a_1, a_2 # og en regel:

#a_ (n + 2) = 2p a_ (n + 1) + q a_n #

for nogle konstanter # P # og # Q #.

Overvej ligningen:

# x ^ 2-2px-q = 0 #

Rødderne af denne ligning er:

# x_1 = p + sqrt (p ^ 2 + q) #

# x_2 = p-sqrt (p ^ 2 + q) #

Så enhver sekvens med generel betegnelse # Ax_1 ^ n + Bx_2 ^ n # vil tilfredsstille den gentagne regel, vi har angivet.

Næste løsning:

# {(Ax_1 + Bx_2 = a_1), (Ax_1_1 2 + Bx_2 ^ 2 = a_2):} #

til #EN# og # B #.

Vi finder:

# a_1x_2-a_2 = Ax_1 (x_2-x_1) #

# a_1x_1-a_2 = Bx_2 (x_1-x_2) #

og dermed:

# A = (a_1x_2-a_2) / (x_1 (x_2-x_1)) #

# B = (a_1x_1-a_2) / (x_2 (x_1-x_2)) #

Så med disse værdier af # x_1, x_2, a, b # vi har:

#a_n = Ax_1 ^ n + Bx_2 ^ n #

Hvis #q <3p ^ 2 # derefter #abs (x_2) <1 # og forholdet mellem successive vilkår vil have tendens til # x_1 = p + sqrt (p ^ 2 + q) #

Svar:

Modulære division

Forklaring:

Modulære division er lige det samme som division, medmindre svaret er resten i stedet for den faktiske værdi. I stedet for #-:# symbol, du bruger #%# symbol.

For eksempel, som regel, hvis du skulle løse #16-:5# du ville få #3# resten #1# eller #3.2#. Men ved hjælp af modulære opdeling, #16%5=1#.

Svar:

Evaluering af firkanter med summeringer

Forklaring:

Normalt bør du kende firkanter som f.eks #5^2=25#. Men når tallene bliver større som f.eks #25^2#, det bliver sværere at kende ud af toppen af dit hoved.

Jeg indså, at efter et stykke tid er kvadrater bare summer af ulige tal.

Hvad jeg mener er dette:

#sum_ (n = 0) ^ k 2n + 1 # hvor # K # er basisværdien minus #1#

Så #5^2# kunne skrives som:

#sum_ (n = 0) ^ 4 2n + 1 #

Det vil give dig:

#1+3+5+7+9#

Dette er faktisk #25#.

Da tallene altid stiger med #2#, Så kunne jeg tilføje det første og sidste nummer og derefter multiplicere med # K / 2 #.

Så for #25^2#

#sum_ (n = 0) ^ 24 2n + 1 = 1 + 3 + … + 49 #

Så jeg kan bare gøre det #(49+1)(25/2)# og få #25^2# som er #625#.

Det er ikke rigtig praktisk, men det er interessant at vide.

#COLOR (hvid) () #

Bonus

At vide, at:

# n ^ 2 = overbrace (1 + 3 + 5 + … + (2n-1)) ^ "n vilkår" = ((1+ (2n-1)) / 2) ^ 2 #

giver os mulighed for at løse nogle problemer med forskellige kvadrater.

For eksempel, hvad er alle løsningerne i positive heltal #m, n # af # m ^ 2-n ^ 2 = 40 # ?

Dette reducerer til at finde, hvilke summer af fortløbende ulige heltal tilføjes #40#…

# 40 = overbrace (19 + 21) ^ "gennemsnit 20" #

#color (hvid) (40) = (1 + 3 + … + 21) - (1 + 3 + … + 17) #

#color (hvid) (40) = ((1 + 21) / 2) ^ 2 + ((1 + 17) / 2) ^ 2 #

#color (hvid) (40) = 11 ^ 2-9 ^ 2 #

# 40 = overbrace (7 + 9 + 11 + 13) ^ "gennemsnit 10" #

#farve (hvid) (40) = (1 + 3 + … + 13) - (1 + 3 + 5) #

#color (hvid) (40) = ((1 + 13) / 2) ^ 2 ((1 + 5) / 2) ^ 2 #

#color (hvid) (40) = 7 ^ 2-3 ^ 2 #