Hvordan finder du en lineær tilnærmelse til rod (4) (84)?

Svar:

#root (4) (84) ~~ 3.03 #

Forklaring:

Noter det #3^4 = 81#, som ligger tæt på #84#.

Så #root (4) (84) # er lidt større end #3#.

For at opnå en bedre tilnærmelse kan vi anvende en lineær tilnærmelse, a.c.a. Newtons metode.

Definere:

#f (x) = x ^ 4-84 #

Derefter:

#f '(x) = 4x ^ 3 #

og givet en omtrentlig nul # x = en # af #F (x) #, en bedre tilnærmelse er:

#a - (f (a)) / (f '(a)) #

Så i vores tilfælde sætter # A = 3 #, en bedre tilnærmelse er:

# 3- (f (3)) / (f '(3)) = 3- (3-4-484) / (4 (3) 3) = 3- (81-84) / (4 * 27) = 3 + 1/36 = 109/36 = 3,02bar (7) #

Dette er næsten nøjagtigt til #4# betydelige tal, men lad os citere tilnærmelsen som #3.03#

Svar:

#root (4) (84) ~~ 3,02778 #

Forklaring:

Bemærk at den lineære tilnærmelse nær et punkt #en# kan gives af:

#f (x) ~~f (a) + f '(a) (x-a) #

Hvis givet: #f (x) = rod (4) (x) #

så et passende valg til #en# ville være # A = 81 # fordi vi ved det #root (4) 81 = 3 # nøjagtigt og det er tæt på #84#.

Så:

#f (a) = f (81) = rod (4) (81) = 3 #

Også;

#f (x) = x ^ (1/4) # så #f '(x) = 1 / 4x ^ (- 3/4) = 1 / (4root (4) (x) ^ 3) #

#f '(81) = 1 / (4root (4) (81) ^ 3) = 1 / (4 * 3 ^ 3) = 1/108 #

Derfor kan vi tilnærme (nærliggende #81#):

#F (x) ~~ f (a) + f '(a) (x-a) #

#implies root (4) (x) ~~ 3 + 1 / (108) (x-81) #

Så:

#root (4) (84) = 3 + 1/108 (84-81) #

#3+1/108*3=324/3+3/108=327/108~~3.02778#

Den mere præcise værdi er #3.02740#

så den lineære tilnærmelse er ret tæt.

Svar:

#root 4 (84) ~~ 3.02bar7 #

Forklaring:

Vi kan sige, at vi har en funktion af #f (x) = rod (4) (x) #

og # root (4) (84) = f (84) #

Lad os nu finde derivatet af vores funktion.

Vi bruger strømreglen, som siger, at hvis #F (x) = x ^ n #, derefter #F '(x) = nx ^ (n-1) # hvor # N # er en konstant.

#F (x) = x ^ (1/4) #

=>#F '(x) = 1/4 * x ^ (1 / 4-1) #

=>#F '(x) = (x ^ (- 3/4)) / 4 #

=>#F '(x) = 1 / x ^ (3/4) * 1/4 #

=>#F '(x) = 1 / (4x ^ (3/4)) #

Nu, at tilnærme # root (4) (84) #, vi forsøger at finde den perfekte fjerde kraft nærmest 84

Lad os se…

#1#

#16#

#81#

#256#

Vi ser det #81# er vores nærmeste.

Vi finder nu tangentlinjen for vores funktion, når # X = 81 #

=>#F '(81) = 1 / (4 * 81 ^ (3/4)) #

=>#F '(81) = 1 / (4 * 81 ^ (2/4) * 81 ^ (1/4)) #

=>#F '(81) = 1 / (4 * 9 * 3) #

=>#F '(81) = 1/108 #

Dette er den hældning, vi leder efter.

Lad os prøve at skrive ligningens linie i formularen # Y = mx + b #

Nå, hvad er det # Y # svarende til hvornår # X = 81 #?

Lad os se…

#F (81) = rod (4) (81) #

=>#F (81) = 3 #

Derfor har vi nu:

# 3 = M81 + b # Vi ved, at hældningen, # M #, er #1/108#

=># 3 = 1/108 * 81 + b # Vi kan nu løse for # B #.

=># 3 = 81/108 + b #

=># 3 = 3/4 + b #

=># 2 1/4 = b #

Derfor er ligningen af tangentlinjen # y = 1 / 108x + 2 1/4 #

Vi bruger nu 84 i stedet for #x#.

=># y = 1/108 * 84 + 2 1/4 #

=># y = 1/9 * 7 + 2 1/4 #

=># Y = 7/9 + 9/4 #

=># Y = 28/36 + 81/36 #

=># Y = 109/36 #

=># Y = 3.02bar7 #

Derfor, #root 4 (84) ~~ 3.02bar7 #