Der er tre på hinanden følgende positive heltal således, at summen af kvadraterne af de mindste to er 221. Hvad er tallene?

Svar:

Der er #10, 11, 12#.

Forklaring:

Vi kan ringe til det første nummer # N #. Det andet tal skal være i træk, så det bliver det # N + 1 # og den tredje er # N + 2 #.

Tilstanden her er, at kvadratet af det første nummer # N ^ 2 # plus kvadratet af følgende nummer # (N + 1) ^ 2 # er 221. Vi kan skrive

# N ^ 2 + (n + 1) ^ 2 = 221 #

# N ^ 2 + n ^ 2 + 2n + 1 = 221 #

# 2n ^ 2 + 2n = 220 #

# N ^ 2 + n = 110 #

Nu har vi to metoder til at løse denne ligning. En mere mekanik, en mere kunstnerisk.

Mekanikken er at løse andenordens ligning # N ^ 2 + n-110 = 0 # anvendelse af formlen for andenordelsesligningerne.

Den kunstneriske måde er at skrive

#n (n + 1) = 110 #

og bemærk at vi ønsker at produktet af to på hinanden følgende tal skal være #110#. Fordi tallene er helt tal kan vi søge disse tal i forhold til #110#. Hvordan kan vi skrive #110#?

For eksempel bemærker vi, at vi kan skrive det som #110=10*11#.

Åh, det ser ud til at vi har fundet vores sammenhængende numre!

#n (n + 1) = 10 * 11 #.

Derefter # n = 10, n + 1 = 11 # og det tredje nummer (ikke meget nyttigt for problemet) # N + 2 = 12 #.