Overvej den kvadratiske ligning # x ^ 2 + 4x + 4 = 0 #, som på venstre side også er en perfekt kvadratisk trinomial. Factoring at løse:
# => (x + 2) (x + 2) = 0 #
# => x = -2 og -2 #
To identiske løsninger! Husk at løsningerne af en kvadratisk ligning er x-aflytninger på den tilsvarende kvadratiske funktion.
Så løsninger til ligningen # x ^ 2 + 5x + 6 = 0 #, for eksempel vil x-afbrydelserne være på grafen for #y = x ^ 2 + 5x + 6 #.
Tilsvarende er opløsningerne til ligningen # x ^ 2 + 4x + 4 = 0 # vil være x aflytninger på grafen af #y = x ^ 2 + 4x + 4 #.
Da der kun er en eneste løsning til # x ^ 2 + 4x + 4 = 0 #, funktionens toppunkt #y = x ^ 2 + 4x + 4 # ligger på x-aksen.
Tænk nu på diskriminanten af en kvadratisk ligning. Hvis du ikke har tidligere erfaring med det, skal du ikke bekymre dig.
Vi bruger diskriminanten, # b ^ 2 - 4ac #, for at kontrollere, hvor mange løsninger og løsningen er, en kvadratisk ligning af formularen # ax ^ 2 + bx + c = 0 # kan have uden at løse ligningen.
Når diskriminanten er lig med mindre end #0#, vil ligningen have ingen løsning. Når diskriminanten svarer nøjagtigt nul, vil ligningen have nøjagtigt en løsning. Når diskriminanten er lig med et tal mere end nul, vil der være nøjagtigt to løsninger. Hvis det pågældende nummer, som du får som følge heraf, er et perfekt firkant i sidstnævnte tilfælde, vil ligningen have to rationelle løsninger. Hvis ikke, vil det have to irrationelle løsninger.
Jeg har allerede vist, at når du har et perfekt kvadrat trinomial, vil du have to identiske løsninger, som svarer til en løsning. Derfor kan vi sætte diskriminanten til #0# og løse for # C #.
Hvor #a = 1, b = 14 og c =? #:
# b ^ 2 - 4ac = 0 #
# 14 ^ 2 - 4 xx 1 xx c = 0 #
# 196 - 4c = 0 #
# 4c = 196 #
#c = 49 #
Således er det perfekte firkantede trinomiale med #a = 1 og b = 14 # er # x ^ 2 + 14x + 49 #. Vi kan bekræfte dette ved factoring.
# x ^ 2 + 14x + 49 = (x + 7) (x + 7) = (x + 7) ^ 2 #
Øvelse øvelser:
- Brug diskriminanten til at bestemme værdierne for #a, b eller c # der gør trinomierne perfekte firkanter.
en) # ax ^ 2 - 12x + 4 #
b) # 25x ^ 2 + bx + 64 #
c) # 49x ^ 2 + 14x + c #
Forhåbentlig hjælper dette og held og lykke!
