Hvad er den lokale ekstrem, hvis nogen af f (x) = (4x-3) ^ 2- (x-4) / x?

Svar:

Den eneste ekstrem er # X = 0,90322 … #, et funktionsminimum

Men du er nødt til at løse en kubisk ligning for at komme der, og svaret er slet ikke 'rart' - er du sikker på, at spørgsmålet er korrekt indtastet? Jeg har også medtaget forslag til, hvordan man nærmer sig svaret uden at gå ind i mængden af analyser, der vises fuldt ud nedenfor.

Forklaring:

1. Standard tilgang peger os i en besværlig retning

Først beregne derivatet:

#F (x) = (4x-3) ^ 2- (x-4) / x #

så (ved kæde og kvoter regler)

#F '(x) = 4 * 2 (4x-3) - (x- (x-4)) / x ^ 2 = 32x-24-4 / x ^ 2 #

Derefter sætte dette lig med 0 og løse for #x#:

# 32x-24-4 / x ^ 2 = 0 #

# 32x ^ 3-24x ^ 2-4 = 0 #

# 8x ^ 3-6x ^ 2-1 = 0 #

Vi har en kubisk ligning, som kan løses af radikaler, men det er langt fra en let proces. Vi ved, at denne ligning generelt vil have tre rødder, men ikke at de alle vil være virkelige, selv om mindst en af dem vil være - at mindst en vil vi vide fra mellemværdets sætning - http: // da. wikipedia.org/wiki/Intermediate_value_theorem - som fortæller os, at fordi funktionen går til uendelig i den ene ende og minus uendelig på den anden, så skal den tage alle værdier imellem på et eller andet tidspunkt.

Afprøvning af nogle få simple værdier (1 er ofte en informativ og hurtig værdi at prøve), vi ser at der er en rod et sted mellem 1/2 og 1, men vi finder ikke nogen klare løsninger til at forenkle ligningen med. Løsning af en kubisk ligning er en lang og kedelig proces (som vi gør nedenfor), så det er værd at forsøge at informere ens intuition før det gøres. Trialling løsninger yderligere finder vi, at det er mellem 0,9 og 0,91.

2. Løs et forenklet problem

Funktionen består af forskellen på to udtryk, # F_1 (x) = (4x-3) ^ 2 # og # F_2 (x) = (x-4) / x #. For meget af rækken af #x#, vil den første af disse dominere enormt, da den anden sigt vil være tæt på 1 for alle værdier af #x# væk fra små værdier. Lad os spørge, hvordan de to individuelle betingelser opfører sig.

Første periode, # F_1 #

# F_1 (x) = (4x-3) ^ 2 #

# F_1 ^ '(x) = 4 * 2 (4x-3) = 8 (4x-3) #

Indstil dette lig med nul: # X = 3/4 for #. Dette er i nul-området af den funktion, vi fandt, men det er ikke meget tæt på det.

#F (1) # er en parabol i #x#, en der rører ved #x# akse på # X = 3/4 for #. Dens derivat er en stejl lige linje med gradient 32, der krydser x-aksen på samme punkt.

Andet sigt, # F_2 #

# F_2 (x) = (x-4) / x = 1-4 / x #

# F_2 ^ '(x) = 4 / x ^ 2 #

Sæt dette lig med nul: Der er ingen løsninger i #x#. Så # F_2 # har ingen ekstrem som egen funktion. Det har dog et punkt, hvor det blæser op til uendelig: # X = 0 #. Det går til positiv uendelighed, da den nærmer sig 0 fra den negative side og til negativ uendelighed, da den nærmer sig 0 fra den positive side. Langt væk fra dette punkt har kurven en tendens til værdien 1 på begge sider. # F_2 # er en hyperbola centreret på # (X, y) = (0,1) #. Dens derivat er en kurve i to stykker, for negativ og positiv #x#. Det går til positiv uendelighed fra begge retninger på # X = 0 # og er altid positiv.

Noter det # F_1 ^ '(x) <0 # for alle #X <0 #. Der kan ikke være kryds af # F_1 ^ '# og # F_2 ^ '# på den negative #x# akse. Over den positive #x# akse skal der være nøjagtigt et kryds - en kurve går fra mindre end 0 til uendelig som #x# gør det samme, mens det andet går fra uendelig til 0. Ved anvendelse af mellemværdets sætning (se ovenfor) skal de krydse nøjagtigt en gang.

Så nu er vi sikre på, at vi kun søger en løsning, men vi har ikke et godt svar til det.

3. Numerisk tilnærme svaret

I professionelle situationer, der kræver løsning af disse slags problemer, er ofte den hurtigste måde at komme til, hvor du skal få, at udføre en numerisk tilnærmelse. En ret god til at finde rødder af en funktion er Newton-Raphson-metoden (http://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_method).

Hvilket er: at finde en rod af en funktion # F #Gør først et gæt # X_0 # ved en rod, og gentag derefter rundt og rundt i henhold til denne formel:

# X_1 = x_0-f (x_0) / (f '(x_0)) #

# X_1 # er et bedre gæt end # X_0 #, og man gentager bare dette, indtil den ønskede præcision er nået.

Husk vores funktion og dens derivat:

#F (x) = (4x-3) ^ 2- (x-4) / x #

#F '(x) = 8 (4x-3) -4 / x ^ 2 #

Så vi kan gætte 0,5 som vores rod, hvilket gør # X_0 = 0,5 #, #F (x_0) = 8 #, #F '(x_0) = - 24 #. Dermed # F_1 = 0,5 + 8/24 = 0,5 + 1/3 = 0,8333 …. #, ja et nærmere svar. Gentagelse bringer os til en værdi af ca. 0,9 nævnt ovenfor.

Så vi kan finde svaret med vilkårlig præcision, men det fulde svar kræver en analytisk løsning, noget vi bemærkede ovenfor ville være svært. Så her går vi …

4. Løs det fulde problem, langsomt og smertefuldt

Lad os nu gøre den fulde kubiske løsning (du bliver nødt til at elske algebra for at løse denne korrekt):

For det første deles igennem for at få det førende udtryk til at have koefficient 1:

# 8x ^ 3-6 gange ^ 2-1 = 0 #

# x ^ 3-3 / 4 x ^ 2 - 1/8 = 0 #

For det andet gør følgende substitution til variablen # Y # for at fjerne # X ^ 2 # semester:

Erstatning # X = y + 1/4 #. Mere generelt, for en ligning af formen # Ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d = 0 #, ville man erstatte # X = y-b / (3a) #. Hvis du arbejder gennem algebraen, vil du se, at dette altid forårsager # X ^ 2 # sigt at forsvinde. I dette tilfælde opnår vi:

# x ^ 3 -3/4 x ^ 2 - 1/8 = 0 #

# (y + 1/4) ^ 3 -3/4 (y + 1/4) ^ 2 - 1/8 = 0 #

(Udvid parenteser, husk Binomial sætningen:

# y ^ 3 + 3/4 y ^ 2 + 3/16 y + 1 / 64-3 / 4 y ^ 2-3 / 8y-3 / 64-1 / 8 = 0 #

(Bemærk at de to # Y ^ 2 # vilkår udelukkes nøjagtigt)

# Y ^ 3-3 / 16y = 5/32 #

Vi har nu samme antal vilkår som vi gjorde før, fordi vi tidligere havde nr # Y # semester. At miste # Y ^ 2 # sigt er et matematisk overskud, løfte!

For det tredje, foretag en anden substitution (Vietas substitution: http://mathworld.wolfram.com/VietasSubstitution.html) for at gøre dette til en kvadratisk:

Erstatning # Y = w + 1 / (16w) #. Mere generelt, for en ligning af formen # Y ^ 3 + py = q #, denne substitution er # Y = w-p / (3w) #.

# Y ^ 3-3 / 16y = 5/32 #

# (W + 1 / (16W)) ^ 3-3 / 16 (w + 1 / (16W)) = 5/32 #

# W ^ 3 + 3 / 16W + 3 / (256w) + 1 / (4096w ^ 3) -3 / 16w-3 / 256w = 5/32 #

(Bemærk at begge # W # og # 1 / w # vilkår annullere præcis)

# W ^ 3 + 1 / (4096w ^ 3) = 5/32 #

# W ^ 6-5 / 32w ^ 3 + 1/4096 = 0 #

(Nu kan du godt spørge, hvad i verden fordelene ved dette er - vi har fiddlet med vores grad 3 ligning, indtil vi har en grad 6 ligning, bestemt et tab … Men vi kan nu tænke på det som en kvadratisk ligning i # W ^ 3 #, og vi kan løse kvadratiske ligninger …)

For det fjerde, løs den kvadratiske ligning for # W ^ 3 #

# W ^ 6-5 / 32w ^ 3 + 1/4096 = 0 #

# (W ^ 3) ^ 2-5 / 32 (vægt ^ 3) + 1/4096 = 0 #

Brug af kvadratisk ligning:

# w ^ 3 = (5/32 + -sqrt (25 / 1024-1 / 1024)) / 2 #

# w ^ 3 = (5/32 + -sqrt (24/1024)) / 2 = (5/32 + -sqrt (24) / 32) / 2 #

# w ^ 3 = (5 + -sqrt (24)) / 64 = (5 + -2sqrt (6)) / 64 #

Vi har et svar! Nu er vi bare nødt til at relatere den tilbage til vores oprindelige variabel #x#.

Femte, konvertere tilbage til vores oprindelige vilkår

# w ^ 3 = (5 + -2sqrt (6)) / 64 #

Tag terningroten:

#w = (5 + -2sqrt (6)) / 64 ^ (1/3) #

#w = (5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 #

Husk hvordan vi relaterede # Y # til # W # tidligere: # Y = w + 1 / (16w) #

#Y = (5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 + 1 / (4 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) #

Nu # 1 / (5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) #

# = 1 / (5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) * (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) #

# = (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / ((5 + -2sqrt (6)) (- 5 + -2sqrt (6)) ^ (1/3)) #

# = (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / (- 25 + 4 * 6 ^ (1/3)) #

# = (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / (- 1) = - - 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3) #

(Socratic synes ikke at tilbyde et minus-plus modsat af plus-minus, så vi skal skrive det på denne måde)

Dermed

#Y = (5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 - (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 #

Hvis vi multiplicerer minus tegnene i det andet store udtryk, kan vi se, at vi får to identiske udtryk, så vi kan slippe de kvadratiske plus / minus tegn og forenkle til

# Y = 1/4 (5 + 2sqrt (6) ^ (1/3) + 5-2sqrt (6) ^ (1/3)) #

Endelig (!) Husker vi, at vi sætter # X = y + 1/4 #.

Dermed

# X = (1+ 5 + 2sqrt (6) ^ (1/3) + 5-2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 #

Sjette udlede, hvor mange af disse rødder er virkelige

De to udtryk i terningrødderne har hver en ægte rod og to konjugerede imaginære rødder. Et rigtigt tal #en# har tre terninger rødder # En ^ (1/3) #, # A ^ (1/3) (1/2 + isqrt (3) / 2) #,# A ^ (1/3) (1/2-isqrt (3) / 2) #. Nu ved vi, at begge udtryk inden i terningrødderne er positive (varsel # 5 = sqrt (25)> sqrt (24) = 2sqrt (6) #), og så de imaginære komponenter i den anden og tredje værdier for #x# kan ikke opsummere til nul.

Konklusion

Derfor er der kun en rigtig rod til #x# (som vi konkluderede langt over ved en enklere analyse) og dermed kun en lokal ekstreme på kurven, du spørger om, givet af udtrykket

# X = (1+ 5 + 2sqrt (6) ^ (1/3) + 5-2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 #

eller i decimal

# X = 0,90322 … #

Vi kan udlede, at dette er et minimum af funktionen ved at der kun er en ekstrem, og funktionen har en tendens til positiv uendelighed i begge ender.