Dette er et problem med relaterede priser (af forandring).
Den hastighed, ved hvilken luft blæses ind, måles i volumen pr. Tidsenhed. Det er en hastighedsændring i forhold til tiden. Den hastighed, ved hvilken luft blæses i, er det samme som den hastighed, hvormed ballonens volumen er stigende.
Vi ved
differentiere
Indsæt det, du kender og løse for det, du ikke kender.
Luften blæser i en hastighed på
Radien af en sfærisk ballon øges med en hastighed på 2 centimeter pr. Minut. Hvor hurtigt ændres lydstyrken, når radiusen er 14 centimeter?
1568 * pi cc / minut Hvis radiusen er r, så ændres hastigheden af r med hensyn til tid t, d / dt (r) = 2 cm / minut. Volumen som en funktion af radius r for en sfærisk genstand er V ( r) = 4/3 * pi * r ^ 3 Vi skal finde d / dt (V) ved r = 14cm Nu d / dt (V) = d / dt (4/3 * pi * r ^ 3) = (4pi) / 3 * 3 * r ^ 2 * d / dt (r) = 4pi * r ^ 2 * d / dt (r) Men d / dt (r) = 2 cm / minut. Således er d / dt (V) ved r = 14 cm: 4pi * 14 ^ 2 * 2 kubik cm / minut = 1568 * pi cc / minut
Solen skinner og en sfærisk snebold på 340 ft3 smelter med en hastighed på 17 kubikmeter i timen. Som det smelter, forbliver det sfærisk. Ved hvilken hastighed ændres radius efter 7 timer?
V = 4/3r ^ 3pi (dV) / (dt) = 4/3 (3r ^ 2) (dr) / dtpi (dV) / (dt) = (4r ^ 2) (dr) / (dt) pi Nu vi ser på vores mængder for at se, hvad vi har brug for og hvad vi har. Så vi kender hastigheden, hvormed lydstyrken ændrer sig. Vi kender også det indledende volumen, som giver os mulighed for at løse for radius. Vi ønsker at kende den hastighed, hvor radius ændrer sig efter 7 timer. 340 = 4 / 3r ^ 3pi 255 = r ^ 3pi 255 / pi = r ^ 3 rod (3) (255 / pi) = r Vi sætter denne værdi i for "r" inde i derivatet: (dV) / (dt) = 4 (root (3) (255 / pi)) ^ 2 (dr) / (dt) pi Vi ved at
En mand opvarmer en ballon i ovnen. Hvis ballonen i første omgang har et volumen på 4 liter og en temperatur på 20 ° C, hvad vil volumenet af ballonen være, når den opvarmer den til en temperatur på 250 ° C?
Vi bruger gammel Charles 'lov. for at få ca. 7 "L". Da, for en given mængde gas, VpropT, hvis P er konstant, V = kT. Løsning for k, V_1 / T_1 = V_2 / T_2 og V_2 = (V_1xxT_2) / T_1; T er rapporteret i "grader Kelvin", V kan være i hvilke enheder du kan lide, "pints, sydharbs, gills, bushels etc.". Selvfølgelig holder vi med fornuftige enheder, dvs. L, "liter". Således er V_2 = (4 "L" xx (250 + 273) K) / ((20 + 273) K) ~ = 7 "L"