Lad G være cyklisk gruppe og G = 48. Hvordan finder du alle undergrupper af G?

Svar:

Undergrupperne er alle cykliske, med ordrer opdeling #48#

Forklaring:

Alle undergrupper i en cyklisk gruppe er selv cykliske, med ordrer, der er divisorer af gruppens rækkefølge.

For at se hvorfor, formoder # G = <a> # er cyklisk med ordre # N # og #H del G # er en undergruppe.

Hvis # a ^ m i H # og # a ^ n i H #, så er det også # En ^ (pm + qn) # for alle heltal #p, q #.

Så # a ^ k i H # hvor # k = GCF (m, n) # og begge dele # En ^ m # og # A ^ n # er inde # <a ^ k> #.

Især hvis # a ^ k i H # med #GCF (k, N) = 1 # derefter #H = <a> = G #.

Også ikke det hvis #mn = N # derefter # <a ^ m> # er en undergruppe af # G # med ordre # N #.

Vi kan udlede:

• # H # har ikke mere end #1# generator.
• Rækkefølgen af # H # er en faktor af # N #.

I vores eksempel #N = 48 # og undergrupperne er isomorfe til:

# C_1 #, # C_2 #, # C_3 #, # C_4 #, # C_6 #, # C_8 #, # C_12 #, # C_16 #, # C_24 #, # C_48 #

være:

#< >#, # <a ^ 24> #, # <a ^ 16> #, # <a ^ 12> #, # <a ^ 8> #, # <a ^ 6> #, # <a ^ 4> #, # <a ^ 3> #, # <a ^ 2> #, # <a> #