Hvordan vurderer du den integrerede int sinhx / (1 + coshx)?

Svar:

#int sinh (x) / (1 + cosh (x)) dx = ln (1 + cosh (x)) + C #

Forklaring:

Vi begynder med at introducere en u-substitution med # U = 1 + cosh (x) #. Derivatet af # U # er da #sinh (x) #, så vi deler igennem #sinh (x) # at integrere med hensyn til # U #:

#int sinh (x) / (1 + cosh (x)) dx = int annullere (sinh (x)) / (annuller (sinh (x)) * u) du = int 1 / u du #

Denne integral er det fælles integral:

#int 1 / t dt = ln | t | + C #

Dette gør vores integral:

#ln | u | + C #

Vi kan erstatte for at få:

#ln (1 + cosh (x)) + C #, som er vores sidste svar.

Vi fjerner den absolutte værdi fra logaritmen, fordi vi bemærker det # Cosh # er positiv på sit domæne, så det er ikke nødvendigt.

Hvordan finder jeg den integrerede int (x ^ 2 * sin (pix)) dx?

Ved hjælp af integration ved dele, intx ^ 2sinpixdx = (-1 / pi) x ^ 2cospix + ((2) / pi ^ 2) xsinpix + (2 / pi ^ 3) cospix + C Husk at integration ved dele anvender formlen: intu dv = uv - intv du Hvilket er baseret på produktreglen for derivater: uv = vdu + eks For at bruge denne formel skal vi bestemme hvilket udtryk der vil være dig, og hvilken vil være dv. En nyttig måde at finde ud af, hvilket udtryk der går, er ILATE-metoden. Inverse Trig Logaritmer Algebra Trig Exponentials Dette giver dig en prioriteret rækkefølge, hvilket udtryk der bruges til "u", så hvad der

Hvordan finder jeg den integrerede int (x * cos (5x)) dx?

Vi vil huske formlen for integration af dele, som er: int u dv = uv - int v du For at finde dette integreret med succes vil vi lade u = x og dv = cos 5x dx. Derfor er du = dx og v = 1/5 sin 5x. (v kan findes ved hjælp af en hurtig u-substitution) Grunden til, at jeg valgte x for værdien af dig, er, fordi jeg ved, at jeg senere vil ende med at integrere v multipliceret med u's derivat. Da derivatet af dig er kun 1, og da integrering af en trig-funktion i sig selv ikke gør det mere komplekst, har vi effektivt fjernet x fra integranden og behøver kun bekymre sig om sinusen nu. Så tilslutter vi IB

Hvordan viser du (coshx + sinhx) ^ n = cosh (nx) + sinh (nx) for ethvert reelt tal n?

Se nedenfor Brug definitionen cosh x = (e ^ x + e ^ -x) / 2 og sinh x = (e ^ xe ^ -x) / 2 Venstre side: [(e ^ x + e ^ -x) / 2 + (e ^ xe ^ -x) / 2] ^ n = [(e ^ x + e ^ -x + e ^ xe ^ -x) / 2] ^ n = [(2e ^ x) / 2] ^ n = e ^ (xn) Højre side: = (e ^ (nx) + e ^ (- nx)) / 2 + (e ^ (nx) -e ^ (- nx)) / 2 = (e ^ (nx) + e ^ (- nx) + e ^ (nx) -e ^ (- nx)) / 2 = (2e ^ (nx)) / 2 = e ^ (nx) = Venstre side:. LHS = RHS