Kan nogen bevise det her?

Svar:

Brug sinusloven til trekanter og nogle enkle trigonometriske identiteter.

Forklaring:

Fra sinusloven af trekanter

# a / {sin A} = b / {sin B} = c / {sin C} #

vi kan nemt se det

# {b ^ 2-c ^ 2} / a ^ 2 = {sin ^ 2B-sin ^ 2C} / sin ^ 2A = {(sin B-sinC) (sin B + sin C)} / {sin ^ 2A} = {2 sin ({BC} / 2) cos ({B + C} / 2) gange 2 sin ({B + C} / 2) cos ({BC} / 2)} / sin ^ 2A = {sin) sin (B + C)} / sin ^ 2A = {sin (BC) sin (pi-A)} / sin ^ 2A = synd (BC) / sinA #

Så det

# {b ^ 2-c ^ 2} / a ^ 2 gange sin2A = 2cosAsin (B-C) = 2 cosAsinBcosC-2cosAcosBsinC #

De to andre termer kan opnås fra denne ved simpelthen cyklisk permuterende #EN#, # B # og # C #. Tilføjelse af de tre udtryk fører til beviset trivielt.

Svar:

Se nedenfor.

Forklaring:

Den første periode af # LHS = (b ^ 2-c ^ 2) / a ^ 2 * sin2A #

# = (4R ^ 2 sin ^ 2A-sin ^ 2B) / (4R ^ 2 * sin ^ 2A) * sin2A #

# = (Sin (B + C) sin (B-C)) / sin ^ 2A * sin2A #

# = (SinAsin (B-C)) / (sina * sina) * 2sinA * Cosa #

# = 2cosAsin (B-C) #

# = Sin (A + B-C) -sin (A-B + C) #

# = Sin (pi-2C) -sin (pi-2B) = sin2C-sin2B #

Tilsvarende Det andet udtryk# = Sin2A-sin2B # og

Det tredje udtryk# = Sin2B-sin2A #

Hel # LHS = sin2C-sin2B + sin2A-sin2C + sin2B-sin2C = 0 #

Noter det # Synd ^ 2A-sin ^ 2B = sin (A + B) * sin (A-B) #

Svar:

Venligst henvis til Forklaring.

Forklaring:

Forudsætninger: I den sædvanlige Notation for # DeltaABC, #

Sine-Rule: # a / sinA = 2R, eller sinA = a / (2R) #.

Cosine-Rule: # Cosa = (b ^ 2 + c ^ 2-a ^ 2) / (2bc) #.

Vi har, # (B ^ 2-c ^ 2) / a ^ 2 * sin2A = (b ^ 2-c ^ 2) / a ^ 2 * (2sinAcosA) #, # = (B ^ 2-c ^ 2) / a ^ 2 * {2 * a / (2R) * (b ^ 2 + c ^ 2-a ^ 2) / (2bc)} #,

# = {(B ^ 2-c ^ 2) (b ^ 2 + c ^ 2-a ^ 2)} / (Rabc) #, # = {(B ^ 2-c ^ 2) (b ^ 2 + c ^ 2) -a ^ 2 (b ^ 2-c ^ 2)} / (Rabc) #, #rArr (b ^ 2-c ^ 2) / a ^ 2 * sin2A = {(b ^ 4-c ^ 4) -a ^ 2 (b ^ 2-c ^ 2)} / (Rabc) #.

Opnå lignende udtryk for de resterende vilkår i venstre side

medlem og tilføjer dem, følger resultatet.