Hvad er domænet og rækkevidden af f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4)?

Svar:

Domæne: hele den reelle linje

Rækkevidde: #-0.0757,0.826#

Forklaring:

Dette spørgsmål kan fortolkes på to måder. Enten forventer vi kun at håndtere den rigtige linje # RR #, ellers også med resten af det komplekse plan # CC #. Brugen af #x# som en variabel indebærer, at vi kun beskæftiger os med den rigtige linje, men der er en interessant forskel mellem de to tilfælde, som jeg vil notere.

Domænet for # F # er hele det numeriske sæt betragtet minus eventuelle punkter, der får funktionen til at sprænge op til uendelig. Dette sker når nævneren # X ^ 2 + 4 = 0 #, dvs. når # X ^ 2 = -4 #. Denne ligning har ingen reelle løsninger, så hvis vi arbejder på den rigtige linje, er domænet hele intervallet # (- oo, + oo) #. Hvis vi overvejer uendelige grænser for funktionen ved at sammenligne ledende udtryk i tæller og nævneren, ser vi, at det ved begge uendigheder har tendens til at være nul, og så kan vi, hvis vi ønsker det, tilføje disse til det interval for at lukke det af: # - oo, + oo #.

Ligningen # X ^ 2 = -4 # har imidlertid to komplekse løsninger, #x = + - 2i #. Hvis vi betragter hele det komplekse plan, så er domænet hele planet minus disse to punkter: # CC # # {+ - 2i} #. Som med realerne kan vi tilføjes i uendelighed på samme måde, hvis vi ønsker det.

For at bestemme rækkevidden af # F # vi skal opdage dets maksimale og minimale værdier over sit domæne. Vi vil kun tale om realerne nu, idet bestemmelse af en analog til disse over det komplekse plan er generelt en anden slags problem, der kræver forskellige matematiske værktøjer.

Tag det første derivat via kvotientreglen:

#F '(x) = ((x ^ 2 + 4) -2x (x + 3)) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 = (- x ^ 2-6x +4) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #

Funktionen # F # når enten en ekstrem eller et bøjningspunkt, når #F '(x) = 0 #, dvs. når # -X ^ 2-6x +4 = 0 #.

Vi løser dette ved den kvadratiske formel:

# X = -1 / 2 (6 + -sqrt (52)) = - 3 + -sqrt (13) #. Så funktionen har to sådanne punkter.

Vi karakteriserer disse punkter ved at undersøge deres værdier ved det andet derivat af # F #, som vi tager igen via kvotientreglen:

#F '' (x) = ((- 2x-6) (x ^ 2 + 4) ^ 2 - (- x ^ 2-6x +4) * 4x (x ^ 2 + 4)) / (x ^ 2 4) ^ 4 #

# = (- 2 (x + 3) (x ^ 2 + 4) + 4x (x ^ 2 + 6x-4)) / (x ^ 2 + 4) ^ 3 #

Vi ved fra vores første afledte rodberegning, at det andet udtryk i tælleren er nul for disse to punkter, da vi indstiller det til nul, er ligningen vi lige har løst for at finde indtastningsnumrene.

Så bemærker det # (- 3 + -sqrt (13)) ^ 2 = 22bar (+) 6sqrt (13) #:

#F '' (- 3 + -sqrt (13)) = (- 2 (-3 + -sqrt (13) +3) (22bar (+) 6sqrt (13) 4)) / (22bar (+) 6sqrt (13) +4) ^ 3 #

# = (Bar (+) 2sqrt (13) (26bar (+) 6sqrt (13))) / (26bar (+) 6sqrt (13)) ^ 3 #

Ved at bestemme tegn på dette udtryk spørger vi om # 26> 6sqrt (13) #. Square begge sider for at sammenligne: #26^2=676#, # (6sqrt (13)) ^ 2 = 36 * 13 = 468 #. Så # 26-6sqrt (13) # er positiv (og # 26 + 6sqrt (13) # endnu mere).

Så kommer tegnet af hele udtrykket ned til #bar (+) # foran det, hvilket betyder at # X = -3-sqrt (13) # har #F '' (x)> 0 # (og er derfor et funktionsminimum) og # X = -3 + sqrt (13) # har #F '' (x) <0 # (og er derfor en maksimal funktion). Efter at have bemærket, at funktionen har tendens til at være nul ved uendeligt, forstår vi nu formen af funktionen fuldt ud.

Så nu for at opnå rækkevidden, skal vi beregne værdierne for funktionen på minimum og maksimum point # X = -3 + -sqrt (13) #

Husk det #F (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #, også

#F (-3 + -sqrt (13)) = (- 3 + -sqrt (13) +3) / (22bar (+) 6sqrt (13) +4) = (+ - sqrt (13)) / (26bar (+) 6sqrt (13)) #.

Så over den rigtige linje # RR # funktionen #F (x) # tager værdier i området # - sqrt (13) / (26 + 6sqrt (13)), sqrt (13) / (26-6sqrt (13)) #, som hvis vi vurderer numerisk, kommer til #-0.0757,0.826#, til tre betydelige tal, opnået kl #x# værdier #-6.61# og #0.606# (3 s.f.)

Plot diagrammet af funktionen som en sanity check:

graf {(x + 3) / (x ^ 2 + 4) -15, 4,816, -0,2, 1}

Svar:

Domæne: #x i RR #

Rækkevidde: #f (x) i -0.075693909, + 0.825693909 farve (hvid) ("xxx") # (rundt regnet)

Forklaring:

Givet

#COLOR (hvid) ("XXX") f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #

Domæne

Det domæne er alle værdier af #x# for hvilket #F (x) # er defineret.

For enhver funktion udtrykt som et polynom divideret med et polynom, defineres funktionen for alle værdier af #x# hvor divisorpolynomet ikke er lig med nul. Siden # X ^ 2> = 0 # for alle værdier af #x#, # X ^ 2 + 4> 0 # for alle værdier af #x#; det er # gange! = 0 # for alle værdier af #x#; funktionen er defineret for alle real (# RR #) værdier af #x#.

Rækkevidde

Det rækkevidde er lidt mere interessant at udvikle.

Vi bemærker, at hvis en kontinuerlig funktion har grænser, er derivatet af funktionen ved de punkter, der resulterer i disse grænser, lig med nul.

Selvom nogle af disse trin kan være trivielle, vil vi arbejde igennem denne proces fra forholdsvis grundlæggende principper for derivater.

1 Eksponentregel for derivater

Hvis #F (x) = x ^ n # derefter # (df (x)) / (dx) = nx ^ (n-1) #

2 Sumregel for derivater

Hvis #F (x) = r (x) + s (x) # derefter # (df (x)) / (dx) = (dr (x)) / (dx) + (d s (x)) / (dx)

3 Produktregel for afledte produkter

Hvis #f (x) = g (x) * h (x) # derefter # (df (x)) / (dx) = (dg (x)) / (dx) * h (x) + g (x) * (dh (x)) / (dx)

4 Kæderegel for derivater

Hvis #F (x) = p (q (x)) # derefter # (df (x)) / (dx) = (dp (q (x))) / (d q (x)) * (d q (x)) / (dx)

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Til den givne funktion #F (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #

vi bemærker, at dette kan skrives som #f (x) = (x + 3) * (x ^ 2 + 4) ^ (- 1) #

Ved 3 ved vi

#farve (hvid) ("XXX") farve (rød) ((df (x)) / (dx)) = farve (kalk) ((d (x + 3)) / ((x ^ 2 + 4) ^ (- 1)) + Farve (Blå) ((x + 3)) * Farve (Magenta) ((d (x ^ 2 + 4) ^ (- 1))) / (dx)) #

Ved 1 har vi

# (dx) = (dx) / (dx) + (d (3 x x 0)) / (dx)

og ved 2

#COLOR (hvid) ("XXX") farve (kalk) ((d (x + 3)) / (dx)) = 1 + 0 = farve (kalk) (1) #

Ved 4 har vi

#color (hvid) ("XXX") farve (magenta) ((d (x + 4) ^ (- 1)) / (dx)) = (d (x + 4) ^ (- 1)) / (x + 4)) * (d (x + 4)) / (dx) #

og ved 1 og 2

#color (hvid) ("XXXXXXXX") = - 1 (x ^ 2 + 4) ^ (- 2) * 2x #

eller forenklet:

#COLOR (hvid) ("XXXXXXXX") = farve (magenta) (- (2x) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2)) #

giver os

#farve (hvid) ("XXX") farve (rød) ((df (x)) / (dx)) = farve (grøn) 1 * farve (blå) ((x + 4) ^ (- 1)) + farve (blå) (x + 3)) * farve (magenta) ((- 2x) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2) #

som kan forenkles som

#color (hvid) ("XXX") farve (rød) ((df (x)) / (dx) = (- x ^ 2-6x + 4) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2)) #

Som nævnt (vej tilbage) betyder dette, at grænseværdierne vil forekomme, når

#COLOR (hvid) ("XXX") (- x ^ 2-6x +4) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2) = 0 #

#color (hvid) ("XXX") rArr -x ^ 2-6x + 4 = 0 #

så bruger den kvadratiske formel (se det her op, Socratic klager allerede på længden af dette svar)

hvornår

#COLOR (hvid) ("XXX") x = -3 + -sqrt (13) #

I stedet for at forlænge smerten, vil vi simpelthen tilslutte disse værdier til vores regnemaskine (eller regneark, hvilket er hvordan jeg gør det) for at få grænserne:

#COLOR (hvid) ("XXX") f (-3-sqrt (13)) ~~ -,075693909 #

og

#COLOR (hvid) ("XXX") f (-3 + sqrt (13)) ~~ 0,825693909 #

Svar:

En enklere måde at finde udvalget på. Domænet er #x i RR #. Sortimentet er #y i -0.076, 0.826 #

Forklaring:

Domænet er #x i RR # som

#AA x i RR #, nævneren # X ^ 2 + 4> 0 #

Lade # Y = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #

Cross multiplicere

#=>#, #Y (x ^ 2 + 4) = x + 3 #

# Yx ^ 2-x + 4y-3 = 0 #

Dette er en kvadratisk ligning i #x#

Der er løsninger, hvis diskriminanten #Delta> = 0 #

#Delta = (- 1) ^ 2-4 * (y) (4y-3) = 1-16y ^ 2 + 12y #

Derfor, # 1-16y ^ 2 + 12y> = 0 #

#=>#, # 16y ^ 2-12y-1 <= 0 #

Løsningerne af denne ulighed er

# y i (12-sqrt ((- 12) ^ 2-4 * (- 1) * 16)) / (32), (-12) + sqrt ((- 12) ^ 2-4 * 1) * 16)) / (32) #

#y i (12-sqrt (208)) / 32, (12 + sqrt (208)) / 32 #

#y i -0.076, 0.826 #

graf {(x + 3) / (x ^ 2 + 4) -6.774, 3.09, -1.912, 3.016}