Hvad er domænet og rækkevidden af f (x) = (x + 5) / (x ^ 2 + 36)?

Svar:

Domænet er # RR # (alle reelle tal) og rækkevidden er # 5-sqrt (61)) / 72 (5 + sqrt (61)) / 72 #

(alle reelle tal mellem og inklusive # (5-sqrt (61)) / 72 # og # (5 + sqrt (61)) / 72 #).

Forklaring:

I domænet begynder vi med alle reelle tal og fjerner derefter alle, der tvinger os til at have kvadratroden af et negativt tal eller en #0# i en brøkdel af en brøkdel.

Et kig, vi ved det som # x ^ 2> = 0 # for alle reelle tal, # x ^ 2 + 36> = 36> 0 #. Således vil nævneren ikke være #0# for ethvert reelt tal #x#, hvilket betyder, at domænet indeholder hvert reelt tal.

For området, den enkleste måde at finde ovenstående værdier indebærer nogle grundlæggende beregninger. Selv om det er længere, er det også muligt at finde dem kun ved hjælp af algebra, med den nedenfor beskrevne metode.

Begyndende med funktionen #f (x) = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) # Vi ønsker at finde alle mulige værdier af #F (x) #. Dette svarer til at finde domænet for den inverse funktion # F ^ -1 (x) # (en funktion med ejendommen # f ^ -1 (f (x)) = f (f ^ -1 (x)) = 1 #)

Desværre er den omvendte af #F (x) # i dette tilfælde er ikke en funktion, da den returnerer 2 værdier, er ideen dog stadig den samme. Vi starter med ligningen #y = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) # og løse for #x# at finde den omvendte. Dernæst vil vi se på de mulige værdier af # Y # at finde domænet for den inverse, og derfor rækkevidden af den oprindelige funktion.

Løsning for #x#:

#y = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) #

# => y (x ^ 2 + 36) = x + 5 #

# => yx ^ 2 + 36y = x + 5 #

# => yx ^ 2 - x + (36y - 5) = 0 #

Behandling # Y # som en konstant, anvender vi den kvadratiske formel

# ax ^ 2 + bx + c = 0 => x = (-b + - sqrt (b2-2-4ac)) / (2a)

at opnå

#x = (1 + - sqrt (1 - 4y (36y-5))) / (2y) #

Vi skal nu finde domænet for ovenstående udtryk (bemærk at det ikke er en funktion på grund af #+-#). Bemærk at ved at dividere med # Y # I den kvadratiske formel mistede vi muligheden for # Y = 0 #, hvilket klart er muligt i den oprindelige ligning (for #x = -5 #). Således vil vi se bort fra # Y # i omkredsen af den omvendte, og kun fokusere på kvadratroten.

Som nævnt tidligere tillader vi ikke kvadratroden af en værdi mindre end 0, og derfor har vi begrænsningen

# 1 - 4y (36y-5)> = 0 #

# => -144y ^ 2 + 20y + 1> = 0 #

Brug af den kvadratiske formel på # -144y ^ 2 + 20y + 1 = 0 # vi finder efter nogle forenkling

#y = (5 + -sqrt (61)) / 72 #

Endelig kan vi fortælle det som # | Y | # vokser stort, # -144y ^ 2 + 20y + 1 # vil være mindre end #0#. Således overvejer vi kun intervallet mellem

#y = (5-sqrt (61)) / 72 # og #y = (5 + sqrt (61)) / 72 #

Så de tilladte værdier for # Y #, og dermed rækkevidden for #F (x) #, er

# 5-sqrt (61)) / 72 (5 + sqrt (61)) / 72 #