Hvad er værdien af den konstante k, hvis de reelle løsninger til ligningen x ^ 4-kx ^ 3 + 2kx ^ 2 + 2x-20 = 0 er x = 2 og x = -1?

Svar:

# k = 7 #

Givet: # X ^ 4-kx ^ 3 + 2kx ^ 2 + 2x-20 = 0 #

Stedfortræder -1 for x:

# (- 1) ^ 4-k (-1) ^ 3 + 2k (-1) ^ 2 + 2 (-1) -20 = 0 #

# 1 + k + 2k -2 - 20 = 0 #

# 3k-21 = 0 #

# k = 7 #

Stedfortræder 2 for x:

# (2) ^ 4-k (2) ^ 3 + 2k (2) ^ 2 + 2 (2) -20 = 0 #

# 16-8k + 8k + 4-20 = 0 #

#0 = 0#

Det betyder, at alle reelle værdier af k vil give polynomet en rod af #x = 2 #Vælg derfor den mest restriktive, # k = 7 #

Se nedenunder.

Ifølge spørgsmålet

# x ^ 4 - k x ^ 3 + 2 k x ^ 2 + 2 x - 20 = (x - 2) (x + 1) (a x ^ 2 + b x + c) #

eller grupperingskoefficienter

# (2c-20 = 0), (2 + 2b + c = 0), (2a + b - c + 2k = 0), (a - b - k = 0), = 0):} #

Løsning for # A, b, c, k # vi får

#a = 1, b = -6, c = 10, k = 7 #