Tællingen i en bakteriekultur var 700 efter 20 minutter og 1000 efter 40 minutter. Hvad var den oprindelige størrelse af kulturen?

Svar:

490 mikroorganismer.

Forklaring:

Jeg vil antage eksponentiel vækst for bakterier. Det betyder, at vi kan modellere væksten med en eksponentiel funktion:

#F (t) = A_0e ^ (kt) #

hvor # K # er væksten konstant og # A_0 # er den oprindelige mængde bakterier.

Sub de to kendte værdier ind i funktionen for at få to ligninger:

# 700 = A_0e ^ (20k) # (1)

# 1000 = A_0e ^ 40k # (2)

Opdel (2) ved (1) for at finde # K #:

# 1000/700 = (annullere (A_0) e ^ (40k)) / (annullere (A_0) e ^ (20k)) #

# 10/7 = e ^ (40k-20k) = e ^ (20k) #

Tag den naturlige log på begge sider for at isolere # K #:

#ln (10/7) = annullere (ln) annullere (e) ^ (20k) #

#ln (10/7) = 20k #

# K = ln (10/7) / 20 #

Nu hvor vi har væksten konstant, # K #, kan vi erstatte et af punkterne til at løse det oprindelige beløb, # A_0 #:

#(40,1000)#

# 1000 = A_0e ^ (ln (10/7) / 20 * 40) #

# A_0 = 1000 / e ^ (0,0178 * 40) = 490 #

Svar:

Den oprindelige kulturstørrelse var #490#

Forklaring:

Væksten kan betragtes som en geometrisk progression med samme væksthastighed efter hvert interval af #20# minutter.

Væksthastigheden kan bestemmes af #1000/700 =10/7#

Med hensyn til størrelsen af den oprindelige befolkning #(x)#

Det betyder:

#x xx 10/7 rarr 700 xx 10/7 rarr 1000 #

# 0 "min" farve (hvid) (xxx) 20 "min" farve (hvid) (xxx) 40 "minutter" #

Så hvis vi vender om processen deler vi bare ved #10/7#

#x larr 10/7 div 700 larr 10/7 div larr 1000 #

Huske på, at #div 10/7 = xx 7/10 #

# 1000 xx 7/10 = 700 #

# 700 xx 7/10 = 490 #