Find så vidt muligt en funktion f, så grad f = (4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5)?

Svar:

#f (x, y) = x ^ 4 + y ^ 6 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + c #

Forklaring:

#del_x f = 4 x ^ 3 + 9 x ^ 2 y ^ 2 #

# => f = x ^ 4 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + C_1 (y) #

#del_y f = 6 x ^ 3 y + 6 y ^ 5 #

# => f = 3 x ^ 3 y ^ 2 + y ^ 6 + C_2 (x) #

# "Tag nu" #

# C_1 (y) = y ^ 6 + c #

# C_2 (x) = x ^ 4 + c #

# "Så har vi en og samme f, som opfylder betingelserne." #

# => f (x, y) = x ^ 4 + y ^ 6 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + c #

Svar:

# f = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + c #

Forklaring:

Vi har dårlig notation i spørgsmålet, da deloperatøren (eller gradientoperatøren) er en vektor differencetoperatør, Vi søger en funktion #F (x, y) # sådan at:

# bb (grad) f = << 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5 >> #

Hvor #BB (grad) # er gradientoperatøren:

# (b) f (b) (b) (b) (b) (b) (b) > #

Fra hvilket vi kræver det:

# f_x = (delvis f) / (delvis x) = 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 # ….. A

# f_y = (delvis f) / (delvis y) = 6x ^ 3y + 6y ^ 5 # ….. B

Hvis vi integrerer A wrt #x#, mens du behandler # Y # som en konstant får vi:

# f = int 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 dx #

# = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + u (y) + c #

Hvis vi integrerer B wrt # Y #, mens du behandler #x# som en konstant får vi:

# f = int 6x ^ 3y + 6y ^ 5 dy #

# = 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + v (x) + c #

Hvor #u (y) # er en vilkårlig funktion af # Y # alene og #v (x) # er en vilkårlig funktion af #x# alene.

Vi kræver naturligvis, at disse funktioner er identiske, og derfor har vi:

# x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + u (y) + c = 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + v (x) + c #

#:. x ^ 4 + u (y) = y ^ 6 + v (x) #

Og så vælger vi #v (x) = x ^ 4 # og #u (y) = y ^ 6 #, som giver os vores løsning:

# f = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + c #

Vi kan let bekræfte løsningen ved at beregne de partielle derivater:

# f_x = 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 #, # f_y = 6x ^ 3y + 6y ^ 5 #

#:. bb (grad) f = << 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5 >> # QED