Hvad er GDC'en (2 ^ 32-2 ^ 24 + 2 ^ 16-2 ^ 8 + 1, 2 ^ 8 + 1)?

Svar:

Den største fælles divisor af #2^32-2^24+2^16-2^8+1# og #2^8+1# er #1#

Forklaring:

Noter det:

#257 = 2^8+1 = 2^(2^3)+1#

er et primært tal - faktisk et af de få kendte Fermat prime numre.

Så de eneste mulige fælles faktorer #2^8+1# og #2^32-2^24+2^16-2^8+1# er #1# og #257#.

Som du har bemærket i spørgsmålet:

#2^32-2^24+2^16-2^8+1 = (2^40+1)/(2^8+1)#

er af formularen:

# x ^ 4-x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 = (x ^ 5 + y ^ 5) / (x + y)

Den ene faktor # (x + y) = 2 ^ 8 + 1 # af #2^40+1# svarer til den reelle femte rod af enhed og # (X + y) # er ikke automatisk en faktor for de resterende kvartaler # X ^ 4-x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 # hvis andre lineære faktorer er alle ikke-reelle komplekse.

Vi kan manuelt opdele # X ^ 4-x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 # ved # X + y # at få en polynomisk rest og derefter erstatte # X = 2 ^ 8 # og # Y = 1 # at kontrollere, at dette ikke er et specielt tilfælde …

# x ^ 4-x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 = (x + y) (x ^ 3-2x ^ 2y + 3xy ^ 2-4y ^ 3) + 5y ^ 4 #

Så resten er:

# 5y ^ 4 = 5 (farve (blå) (1)) ^ 4 = 5 #

Da resten er ikke-nul, #2^32-2^24+2^16-2^8+1# og #2^8+1# Har ingen fælles faktor større end #1#.