Hvad er orthocenteret af en trekant med hjørner på (2, 3), (5, 1) og (9, 6) #?

Svar:

Orthocenteret er #(121/23, 9/23)#

Forklaring:

Find ligningen af linjen, der går gennem punktet #(2,3)# og er vinkelret på linjen gennem de to andre punkter:

#y - 3 = (9-5) / (1 -6) (x - 2) #

#y - 3 = (4) / (- 5) (x - 2) #

#y - 3 = -4 / 5x + 8/5 #

#y = -4 / 5x + 23/5 #

Find ligningen af linjen, der går gennem punktet #(9,6)# og er vinkelret på linjen gennem de to andre punkter:

#y - 6 = (5 - 2) / (3 - 1) (x - 9) #

#y - 6 = (3) / (2) (x - 9) #

#y - 6 = 3 / 2x - 27/2 #

#y = 3 / 2x - 15/2 #

Orthocenteret er ved krydset mellem disse to linjer:

#y = -4 / 5x + 23/5 #

#y = 3 / 2x - 15/2 #

Fordi y = y, sætter vi de rigtige sider ens og løser for x-koordinaten:

# 3 / 2x - 15/2 = -4 / 5x + 23/5 #

Multipliceres med 2:

# 3x - 15 = -8 / 5x + 46/5 #

Multiplicer med 5

# 15x - 75 = -8x + 46 #

# 23x = + 121 #

#x = 121/23

#y = 3/2 (121/23) - 15/2 #

#y = 3/2 (121/23) - 15/2 #

#y = 363/46 - 345/46 #

#y = 9/23 #

Orthocenteret er #(121/23, 9/23)#