Svar:
Det konvergerer helt.
Forklaring:
Brug testen for absolut konvergens. Hvis vi tager den absolutte værdi af vilkårene, får vi serien
#4 + 1 + 1/4 + 1/16 + …#
Dette er en geometrisk serie fælles forhold #1/4#. Således konvergerer den. Siden begge # | A_n | # konvergerer # A_n # Konvergerer absolut.
Forhåbentlig hjælper dette!
Svar:
# "Det er en simpel geometrisk serie og det konvergerer absolut med" # # "sum" = 16/5 = 3,2. "#
Forklaring:
# (1 + a + a ^ 2 + a ^ 3 + …) (1-a) = 1 ", forudsat at | a | <1" #
# => 1 + a + a ^ 2 + a ^ 3 + … = 1 / (1-a) #
# "Tag" a = -1/4 ", så har vi" #
#=> 1-1/4+1/16-1/64+… = 1/(1+1/4) = 1/(5/4) = 4/5#
# "Nu er vores serie fire gange så meget som den første term er 4." #
# "Så vores serie" #
#4-1+1/4-1/16+… = 4*4/5 = 16/5 = 3.2#
Svar:
Den geometriske serie konvergerer absolut med
#sum_ (n = 0) ^ ooa_n = 16/5, sum_ (n = 0) ^ oo | a_n | = 16/3 #
Forklaring:
Denne serie er absolut en vekslende serie; det ser imidlertid også geometrisk ud.
Hvis vi kan bestemme det fælles forhold, der deles af alle vilkårene, vil serien være i formularen
#sum_ (n = 0) ^ OOA (r) ^ n #
Hvor #en# er den første sigt og # R # er det fælles forhold.
Vi skal finde summen ved hjælp af ovenstående format.
Opdel hvert udtryk med udtrykket før det for at bestemme det fælles forhold # R #:
#-1/4=-1/4#
#(1/4)/(-1)=-1/4#
#(-1/16)/(1/4)=-1/16*4=-1/4#
#(1/64)/(-1/16)=1/64*-16=-1/4#
Således er denne serie geometrisk, med det fælles forhold # R = -1/4 #, og den første periode # A = 4. #
Vi kan skrive serien som
#sum_ (n = 0) ^ oo4 (-1/4) ^ n #
Husk at en geometrisk serie #sum_ (n = 0) ^ OOA (r) ^ n # Konvergerer til # A / (1-r) # hvis # | R | <1 #. Så hvis det konvergerer, kan vi også finde sin nøjagtige værdi.
Her, # | R | = | -1/4 | = 1/4 <1 #, så serien konvergerer:
#sum_ (n = 0) ^ oo4 (-1/4) ^ n = 4 / (1 - (- 1/4)) = 4 / (5/4) = 4 * 4/5 = 16/5 #
Lad os nu afgøre, om det konvergerer helt.
# A_n = 4 (-1/4) ^ n #
Strip ud det alternerende negative udtryk:
# A_n = 4 (-1) ^ n (1/4) ^ n #
Tage den absolutte værdi, hvilket forårsager, at det alternerende negative udtryk forsvinder:
# | A_n | = 4 (1/4) ^ n #
Dermed, #sum_ (n = 0) ^ oo | a_n | = sum_ (n = 0) ^ oo4 (1/4) ^ n #
Vi ser # | R | = 1/4 <1 #, så vi har stadig konvergens:
#sum_ (n = 0) ^ oo4 (1/4) ^ n = 4 / (1-1 / 4) = 4 / (3/4) = 4 * 4/3 = 16/3 #
Serien konvergerer absolut med
#sum_ (n = 0) ^ ooa_n = 16/5, sum_ (n = 0) ^ oo | a_n | = 16/3 #
