Hvad er almindelige fejl, som eleverne får med ellipser i standardform?

Standardformularen til en ellipse (som jeg underviser) ser ud som: # (X-h) ^ 2 / a ^ 2 + (y-k) ^ 2 / b ^ 2 = 1 #.

(h, k) er centrum.

afstanden "a" = hvor langt højre / venstre for at flytte fra midten for at finde de vandrette endepunkter.

afstanden "b" = hvor langt op / ned for at bevæge sig fra midten for at finde de vertikale endepunkter.

Jeg tror ofte, at eleverne fejlagtigt tænker på det # En ^ 2 # Hvor langt er det at flytte væk fra centrum for at finde endepunkterne. Nogle gange ville dette være en meget stor afstand til at rejse!

Jeg tror også nogle gange, at eleverne fejlagtigt bevæger sig op / ned i stedet for højre / venstre, når de anvender disse formler på deres problemer.

Her er et eksempel at tale om:

# (X-1) ^ 2/4 + (y + 4) ^ 2/9 = 1 #

Centret er (1, -4). Du skal flytte til højre og venstre "a" = 2 enheder for at få de vandrette endepunkter ved (3, -4) og (-1, -4). (se billede)

Du skal flytte op og ned "b" = 3 enheder for at få de vertikale endepunkter på (1, -1) og (1, -7). (se billede)

Siden a <b vil hovedaksen være i lodret retning.

Hvis a> b, vil hovedaksen gå i vandret retning!

Hvis du har brug for at finde ud af andre oplysninger om ellipser, så spørg et andet spørgsmål!

(Forvirring om #en# og # B # repræsenterer de store / mindre radii, eller #x#- & # Y #-radii)

Husk at standardformularen for en ellipse centreret ved oprindelsen er

# x ^ 2 / (a ^ 2) + y ^ 2 / b ^ 2 = 1 #

Alligevel vil nogle tage problemet med formlen ovenfor. Nogle tankeskoler holder det #en# bør altid være større end # B # og repræsenterer således længden af hovedradiusen (selvom hovedradius ligger i lodret retning, hvilket således tillader # Y ^ 2 / a ^ 2 # i et sådant tilfælde), mens andre mener, at det altid bør repræsentere #x#-radius (selvom #x#-radius er den mindre radius).

Det samme gælder med # B #, dog i omvendt. (det vil sige nogle tror det # B # bør altid være den mindre radius, og andre mener, at det altid bør være # Y #-radius).

Sørg for, at du ved hvilken metode din instruktør (eller det program du bruger) foretrækker. Hvis der ikke findes en stærk præference, skal du bare vælge selv, men være i overensstemmelse med din beslutning. Ændring af dit sind halvvejs gennem opgaven vil gøre tingene uklare og ændre dit sind halvvejs gennem en enkelt problem vil bare føre til fejl.

(Radius / akse forvirring)

De fleste fejl i ellipser synes at skyldes denne forvirring med hensyn til hvilken radius er stor og som er mindre. Andre mulige fejl kan opstå, hvis man forveksler hovedradius med hovedaksen (eller den mindre radius med mindre akse). Hovedaksen (eller mindre) er lig med to gange den store (eller mindre) radius, da den i det væsentlige er den største (eller mindre) diameter. Afhængigt af det trin, hvor denne forvirring opstår, kan dette føre til alvorlige fejlskalaer for ellipsen.

(Radius / radius squared forvirring)

En lignende fejl opstår, når elever glemmer at deominatorerne (# a ^ 2, b ^ 2 #) er firkanterne af radierne, og ikke radierne selv. Det er ikke ualmindeligt at se en elev med et problem som f.eks # x ^ 2/9 + y ^ 2/4 = 1 # Tegn en ellipse med #x#-radius 9 og # Y #-radius 4. Dette kan endvidere forekomme i forbindelse med den ovennævnte fejl (forvirrende radius for diameteren), hvilket fører til resultater som en elev med ovenstående ligning tegner en ellipse med stor diameter 9 (og dermed større radius 4,5) i stedet for den korrekte hoveddiameter 6 (og hovedradius 3).

(Hyperbola og ellipsforvirring) ADVARSEL: Svaret er ret langvarigt

En anden relativt almindelig fejl opstår, hvis man fejler - husker formlen for ellipsen. Specielt forekommer det hyppigste af disse fejl at forekomme, når man forveksler formlen for ellipser med den for hyperboler (som er tilbagekaldelse er # x ^ 2 / a ^ 2 -y ^ 2 / b ^ 2 = 1 # eller # y ^ 2 / b ^ 2 - x ^ 2 / a ^ 2 = 1 # for de centreret ved oprindelsen, igen underlagt de ovenfor nævnte akselmærkningskonventioner). Til dette hjælper det at huske definitionen af ellipser og hyperboler som koniske sektioner.

Husk specifikt, at en ellipse er stedet for punkter relateret til to foci # f_1 & f_2 # placeret langs hovedaksen sådan, for et vilkårlig punkt # P # på locus, afstanden fra # P # til # F_1 # (mærket # D_1 #) plus afstanden fra # P # til # F_2 # (mærket # D_2 #) er lig med to gange den største radius (dvs. hvis #en# er den store radius, # d_1 + d_2 = 2a #). Endvidere er afstanden fra centrum til en af disse foci (undertiden kaldet halvfokal adskillelse eller lineær excentricitet), forudsat #en# er den største radius, er lig med #sqrt (a ^ 2-b ^ 2) #.

I modsætning hertil er en hyperbola stedet for punkter relateret til to foci på en sådan måde, at for et punkt # P # på locus, den absolutte værdi af forskel mellem punktets afstand til det første fokus og punktets afstand til det andet fokus er lig med to gange hovedradiusen (dvs. med #en# større radius, # | d_1 - d_2 | = 2a #). Endvidere er afstanden fra hyperbolas centrum til en af disse foci (igen, undertiden kaldt den lineære excentricitet og stadig antager #en# større radius) er lig med #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

Med hensyn til definitionen af koniske sektioner, den overordnede excentricitet # E # af et afsnit bestemmer om det er en cirkel (# E = 0 #), ellipse (# 0 <e <1 #), parabola (# E = 1 #) eller hyperbola (#e> 1 #). For ellipser og hyperboler kan ekscentriciteten beregnes som forholdet mellem den lineære excentricitet og længden af hovedradiusen; således vil det være for en ellipse #e = sqrt (a ^ 2-b ^ 2) / a = sqrt (1 - b ^ 2 / a ^ 2) # (og dermed nødvendigvis mindre end 1), og for en hyperbola vil det være #e = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) / a = sqrt (1 + b ^ 2 / a ^ 2) # (og dermed nødvendigvis større end 1).