Bevis at N = (45 + 29 sqrt (2)) ^ (1/3) + (45-29 sqrt (2)) ^ (1/3) er et helt tal?

Svar:

Overveje # t ^ 3-21t-90 = 0 #

Dette har en rigtig rod, som er #6# alias # (45 + 29sqrt (2)) ^ (1/3) + (45-29sqrt (2)) ^ (1/3) #

Forklaring:

Overvej ligningen:

# t ^ 3-21t-90 = 0 #

Brug Cardano's metode til at løse det, lad #t = u + v #

Derefter:

# u ^ 3 + v ^ 3 + 3 (uv-7) (u + v) -90 = 0 #

At eliminere begrebet i # (U + v) #, tilføj begrænsningen # Uv = 7 #

Derefter:

# u ^ 3 + 7 ^ 3 / u ^ 3-90 = 0 #

Multiplicere gennem af # U ^ 3 # og omarrangere for at få den kvadratiske ind # U ^ 3 #:

# (u ^ 3) ^ 2-90 (u ^ 3) +343 = 0 #

ved den kvadratiske formel har dette rødder:

# u ^ 3 = (90 + -sqrt (90 ^ 2- (4 * 343))) / 2 #

#color (hvid) (u ^ 3) = 45 + - 1 / 2sqrt (8100-1372) #

#color (hvid) (u ^ 3) = 45 + - 1 / 2sqrt (6728) #

#color (hvid) (u ^ 3) = 45 + - 29sqrt (2) #

Da dette er Real og afledningen var symmetrisk i # U # og # V #, vi kan bruge en af disse rødder til # U ^ 3 # og den anden til # V ^ 3 # at udlede, at den reelle nul på # T ^ 3-21t-90 # er:

# t_1 = rod (3) (45 + 29sqrt (2)) + rod (3) (45-29sqrt (2)) #

men vi finder:

#(6)^3-21(6)-90 = 216 - 126 - 90 = 0#

Så den reelle nul på # T ^ 3-21t-90 # er #6#

Så # 6 = rod (3) (45 + 29sqrt (2)) + rod (3) (45-29sqrt (2)) #

#COLOR (hvid) () #

Fodnote

For at finde den kubiske ligning brugte jeg Cardano's metode baglæns.

Svar:

#N = 6 #

Forklaring:

Making #x = 45 + 29 sqrt (2) # og #y = 45-29 sqrt (2) # derefter

(x) (1/3) x ^ (1/3)) 3 = x + 3 (xy) ^ (1/3) x ^ (1/3) +3 (xy) ^) y ^ (1/3) + y #

# (x y) ^ (1/3) = (7 ^ 3) ^ (1/3) = 7 #

# x + y = 2 xx 45 #

så

# (x ^ (1/3) + y ^ (1/3)) ^ 3 = 90 + 21 (x ^ (1/3) + y ^ (1/3)) #

eller ringe #z = x ^ (1/3) + y ^ (1/3) # vi har

# z ^ 3-21 z-90 = 0 #

med # 90 = 2 xx 3 ^ 2 xx 5 # og #z = 6 # er en rod så

# x ^ (1/3) + y ^ (1/3) = 6 #