Hvad er derivatet af f (x) = sec ^ -1 (x)?

# d / dx sec ^ -1x = 1 / (sqrt (x ^ 4 - x ^ 2)) #

Behandle:

For det første vil vi gøre ligningen lidt lettere at håndtere. Tag sekskanten af begge sider:

#y = sec ^ -1 x #

#sec y = x #

Derefter omskrives i form af # cos #:

# 1 / cos y = x #

Og løse for # Y #:

# 1 = xcosy #

# 1 / x = hyggeligt #

#y = arccos (1 / x) #

Nu ser det meget nemmere ud at differentiere. Vi ved det

# d / dx arccos (alpha) = -1 / (sqrt (1-alfa ^ 2)) #

så vi kan bruge denne identitet såvel som kædereglen:

# dy / dx = -1 / sqrt (1 - (1 / x) ^ 2) * d / dx 1 / x #

Lidt forenkling:

# dy / dx = -1 / sqrt (1 - 1 / x ^ 2) * (-1 / x ^ 2) #

Lidt mere forenkling:

# dy / dx = 1 / (x ^ 2sqrt (1 - 1 / x ^ 2)) #

For at gøre ligningen lidt smukkere vil jeg flytte # X ^ 2 # inde i det radikale:

# dy / dx = 1 / (sqrt (x ^ 4 (1 - 1 / x ^ 2)))

En vis endelig reduktion:

# dy / dx = 1 / (sqrt (x ^ 4 - x ^ 2)) #

Og der er vores derivat.

Ved differentiering af inverse trig-funktioner er nøglen fået dem i en form, der er let at håndtere. Mere end noget, de er en øvelse i din viden om trig identiteter og algebraisk manipulation.