Uden graftegning, hvordan bestemmer du, om følgende system af lineære ligninger har en løsning, uendeligt mange løsninger eller ingen løsning?

Svar:

Et system af # N # lineære ligninger med # N # ukendte variabler, der ikke indeholder nogen lineær afhængighed mellem ligninger (med andre ord dens determinanten er ikke-nul) vil have en og eneste løsning.

Forklaring:

Lad os overveje et system med to lineære ligninger med to ukendte variabler:

# Ax + By = C #

# Dx + Ey = F #

Hvis par # (A, B) # er ikke proportional med parret # (D, E) # (det vil sige, der er ikke et sådant nummer # K # at # D = kA # og # E = kB #, som kan kontrolleres efter betingelse # A * E-B * D! = 0 #) så er der en eneste løsning:

# X = (C * E-B * F) / (A * E-B * D) #, # Y = (A * F-C * D) / (A * E-B * D) #

Eksempel:

# X + y = 3 #

# x-2y = -3 #

Opløsning:

# X = (3 * (- 2) -1 * (- 3)) / (1 * (- 2) -1 * 1) = 1 #

# Y = (1 * (- 3) -3 * 1) / (1 * (- 2) -1 * 1) = 2 #

Hvis par # (A, B) # er proportional med parret # (D, E) # (hvilket betyder at der er et sådant nummer # K # at # D = kA # og # E = kB #, som kan kontrolleres af en betingelse # A * E-B * D = 0 #), er der to tilfælde:

(a) uendeligt antal løsninger, hvis # C # og # F # er proportional med samme koefficient som #EN# og # D #, det er # F = kC #, hvor # K # er den samme proportionalitetskoefficient

Eksempel:

# X + y = 3 #

# 2x + 2y = 6 #

Her # K = 2 # for alle par: # D = 2A #, # E = 2B #, # F = 2C #.

Den anden ligning er en triviel konsekvens af den første (kun multiplicere den første ligning med #2#) og giver derfor ingen yderligere information om ukendt, reducerer antallet af ligninger effektivt til 1.

(b) Ingen løsninger overhovedet, hvis #F! = KC #

Eksempel:

# X + 4y = 3 #

# 2x + 8y = 5 #

I dette tilfælde modsiger ligninger hinanden, da vi ved at multiplicere den første ved 2 afledes til ligning # 2x + 8y = 6 #, som ikke kan have fælles løsning med # 2x + 8y = 5 # da de venstre dele af disse to ligninger er ens, men de rigtige dele er ikke.

Hvordan fortæller du om systemet y = -2x + 1 og y = -1 / 3x - 3 har ingen løsning eller uendeligt mange løsninger?

Hvis du skulle forsøge at finde løsningen (r) grafisk, ville du plotte begge ligningerne som lige linjer. Løsningen (r) er hvor linjerne skærer. Da disse er begge lige linjer, ville der højst være en løsning. Da linjerne ikke er parallelle (gradienterne er forskellige), ved du, at der er en løsning. Du kan finde dette grafisk som lige beskrevet, eller algebraisk. y = -2x + 1 og y = -1 / 3x-3 Så -2x + 1 = -1 / 3x-3 1 = 5 / 3x-3 4 = 5/3 x x = 12/5 = 2,4

Hvilke af de følgende udsagn er sande / falske? Begrund dit svar. (i) R2 har uendeligt mange ikke-nul, korrekte vektorunderrum. (ii) Hvert system af homogene lineære ligninger har en ikke-nul-løsning.

"(i) True." "(ii) False." "Bevis." "(i) Vi kan konstruere et sæt af underrum:" "1)" forall r i RR, "lad:" qquad quad V_r = (x, r x) i RR ^ 2. "[Geometrisk," V_r "er linjen gennem oprindelsen af" RR ^ 2, "af hældning".] 2) Vi vil kontrollere, at disse underrum berettiger påstanden (i). " "3) Det er klart:" qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad V_r sube RR ^ 2. "4) Kontroller at:" qquad qquad V_r "er et ordentligt underrum af" RR ^ 2. "Lad:" qquad du, v i V_r, alpha, bet

X - y = 3 -2x + 2y = -6 Hvad kan man sige om systemet af ligninger? Har den en løsning, uendeligt mange løsninger, ingen løsning eller 2 løsninger.

Uendeligt mange Vi har to ligninger: E1: x-y = 3 E2: -2x + 2y = -6 Her er vores valg: Hvis jeg kan gøre E1 til præcis E2, har vi to udtryk af samme linje, og så er der uendeligt mange løsninger. Hvis jeg kan gøre x- og y-termerne i E1 og E2 det samme, men ender med forskellige tal de er ens, er linjerne parallelle, og derfor er der ingen løsninger.Hvis jeg ikke kan gøre nogen af dem, så har jeg to forskellige linjer, der ikke er parallelle, og så vil der være et skæringspunkt et eller andet sted. Der er ingen måde at have to lige linjer har to løsninger (tag