Hvad er ekstremiteten af f (x) = 3x-1 / sinx på [pi / 2, (3pi) / 4]?

Svar:

Det absolutte minimum på domænet sker ved ca. # (pi / 2, 3,7124) #, og den absolutte maks på domænet forekommer på ca. # (3pi / 4, 5,65444) #. Der er ingen lokal ekstrem.

Forklaring:

Før vi starter, behøver det os at analysere og se om #sin x # tager en værdi af #0# på et hvilket som helst tidspunkt på intervallet. #sin x # er nul for alle x sådan #x = npi #. # Pi / 2 # og # 3pi / 4 # er begge mindre end # Pi # og større end # 0pi = 0 #; dermed, #sin x # tager ikke en værdi på nul her.

For at bestemme dette, husk at en ekstrem forekommer enten hvor #f '(x) = 0 # (kritiske punkter) eller ved et af endepunkterne. Dette i tankerne tager vi derivatet af ovenstående f (x) og finder punkter, hvor dette derivat er lig med 0

# (df) / dx = d / dx (3x) - d / dx (1 / sin x) = 3 - d / dx (1 / sinx)

Hvordan skal vi løse dette sidste sigt?

Overvej kortfattet gensidig regel, som blev udviklet til at håndtere situationer som vores sidste sigt her, # d / (dx) (1 / sin x) #. Den gensidige regel tillader os at omgå direkte ved hjælp af kæden eller kvotientreglen ved at angive, at der gives en differentierbar funktion #g (x) #:

# d / dx 1 / g (x) = (-g '(x)) / ((g (x)) ^ 2 #

hvornår #g (x)! = 0 #

Tilbage til vores hovedligning gik vi afsted med;

# 3 - d / dx (1 / sin x) #.

Siden #sin (x) # er differentiable, kan vi anvende den gensidige regel her:

# 3 - d / dx (1 / sin x) = 3 - (-cos x) / sin ^ 2x #

Indstilling dette lig med 0, vi ankommer til:

# 3 + cos x / sin ^ 2x = 0. #

Dette kan kun ske, når #cos x / sin ^ 2 x = -3. #. Herfra kan det være os, at vi specifikt bruger en af de trigonometriske definitioner # sin ^ 2x = 1 - cos ^ 2 x #

# cosx / sin ^ 2x = -3 => cosx / (1-cos ^ 2x) = -3 => cos x = -3 + 3cos ^ 2x => 3cos ^ 2x - cos x - 3 = 0 #

Dette ligner et polynom med #cos x # erstatter vores traditionelle x. Således erklærer vi #cos x = u # og…

# 3u ^ 2 - u - 3 = 0 = au ^ 2 + bu + c #. Brug den kvadratiske formel her …

# (1 + - sqrt (1 - 4 (-9))) / 6 = (1 + - sqrt 37) / 6 #

Vores rødder forekommer kl #u = (1 + -sqrt37) / 6 # ifølge dette. En af disse rødder (# (1 + sqrt37) / 6 #) kan ikke være en rod til #cos x # fordi roden er større end 1 og # -1 <= cosx <= 1 # for alle x. Vores anden rod, derimod, beregnes som ca. #-.847127#. Dette er dog mindre end minimumsværdien #cos x # funktion kan på intervallet (siden #cos (3pi / 4) = -1 / sqrt 2) = -707 <-847127 #. Dermed, der er ikke noget kritisk punkt i domænet.

Dette i tankerne skal vi vende tilbage til vores endepunkter og sætte dem i den oprindelige funktion. Det gør vi #f (pi / 2) ca. 3.7124, f (3pi / 4) ca. 5.6544 #

Således er vores absolutte minimum på domænet ca. # (pi / 2, 3,7124), # og vores maksimum er ca. # (3pi / 4, 5,65444) #