Hvad er den lokale ekstrem af f (x) = (x-3) (x ^ 2-2x-5)?

Svar:

#F (x) # har et lokalt maksimum på #approx (0.1032, 15.0510) #

#F (x) # har et lokalt minimum på #approx (3.2301, -0.2362) #

Forklaring:

#f (x) = (x-3) (x ^ 2-2x-5) #

Anvend produktregel.

(x-2) x-3) * d / dx (x ^ 2-2x-5) + d / dx (x-3) *

Anvend strømregel.

#f '(x) = (x-3) (2x-2) + 1 * (x ^ 2-2x-5) #

# = 2x ^ 2-8x + 6 + x ^ 2-2x-5 #

# = 3x ^ 2-10x + 1 #

Til lokal ekstrem #F '(x) = 0 #

derfor # 3x ^ 2-10x + 1 = 0 #

Påfør kvadratisk formel.

# x = (+ 10 + -sqrt ((- 10) ^ 2-4 * 3 * 1)) / (2 * 3) #

# = (10 + -sqrt (88)) / 6 #

# ca. 3.2301 eller 0.1032 #

#f '' (x) = 6x-10 #

For lokal maksimum #f '' <0 # i ekstremt punkt.

For lokale minimum #f ''> 0 # i ekstremt punkt.

Test #f '' (3.2301)> 0 -> f (3.2301) = f_min #

Test #f '' (0.1032) <0 -> f (0.1032) = f_max #

derfor #f_max ca. (0,1032-3) (0,1032 ^ 2-2 * 0,1032-5) #

#approx 15.0510 #

Og, #f_min ca. (3,2301-3) (3,2301 ^ 2-2 * 3,2301-5) #

#approx -0.2362 #

#:. f (x) # har et lokalt maksimum på #approx (0.1032, 15.0510) #

# og f (x) # har et lokalt minimum på #approx (3.2301, -0.2362) #

Vi kan se disse lokale extrema ved at zoome til de relevante punkter på grafen af #F (x) # under.

graf {(x-3) (x ^ 2-2x-5) -29,02, 28,72, -6,2, 22,63}