Hvad er ekstreme og sadpunkterne for f (x, y) = 6 sin x sin y på intervallet x, y i [-pi, pi]?

Svar:

# X = pi / 2 # og # Y = pi #

# X = pi / 2 # og # Y = -pi #

# X = -pi / 2 # og # Y = pi #

# X = -pi / 2 # og # Y = -pi #

# X = pi # og # Y = pi / 2 #

# X = pi # og # Y = -pi / 2 #

# X = -pi # og # Y = pi / 2 #

# X = -pi # og # Y = -pi / 2 #

Forklaring:

At finde de kritiske punkter i a #2#-variable funktion, skal du beregne gradienten, som er en vektor, der samler derivaterne med hensyn til hver variabel:

# (d / dx f (x, y), d / dy f (x, y)) #

Så har vi

# d / dx f (x, y) = 6cos (x) sin (y) #, og lignende

# d / dy f (x, y) = 6sin (x) cos (y) #.

For at finde de kritiske punkter skal gradienten være nulvektoren #(0,0)#, hvilket betyder at løse systemet

# {(6cos (x) sin (y) = 0), (6sin (x) cos (y) = 0):} #

hvilket selvfølgelig vi kan forenkle at slippe af med #6#'S:

# {(cos (x) sin (y) = 0), (sin (x) cos (y) = 0):}

Dette system er løst at vælge for #x# et punkt, der udsletter cosinus og for # Y # et punkt, som udslett sinus, og omvendt, så

# x = pm pi / 2 #, og # y = pm pi #, og omvendt # x = pm pi # og # y = pm pi / 2 #, opnåelse af #8# point i alt.