Hvad er ekstreme og sadpunkterne for f (x, y) = 6 sin x sin y på intervallet x, y i [-pi, pi]?

Svar:

# X = pi / 2 # og # Y = pi #

# X = pi / 2 # og # Y = -pi #

# X = -pi / 2 # og # Y = pi #

# X = -pi / 2 # og # Y = -pi #

# X = pi # og # Y = pi / 2 #

# X = pi # og # Y = -pi / 2 #

# X = -pi # og # Y = pi / 2 #

# X = -pi # og # Y = -pi / 2 #

Forklaring:

At finde de kritiske punkter i a #2#-variable funktion, skal du beregne gradienten, som er en vektor, der samler derivaterne med hensyn til hver variabel:

# (d / dx f (x, y), d / dy f (x, y)) #

Så har vi

# d / dx f (x, y) = 6cos (x) sin (y) #, og lignende

# d / dy f (x, y) = 6sin (x) cos (y) #.

For at finde de kritiske punkter skal gradienten være nulvektoren #(0,0)#, hvilket betyder at løse systemet

# {(6cos (x) sin (y) = 0), (6sin (x) cos (y) = 0):} #

hvilket selvfølgelig vi kan forenkle at slippe af med #6#'S:

# {(cos (x) sin (y) = 0), (sin (x) cos (y) = 0):}

Dette system er løst at vælge for #x# et punkt, der udsletter cosinus og for # Y # et punkt, som udslett sinus, og omvendt, så

# x = pm pi / 2 #, og # y = pm pi #, og omvendt # x = pm pi # og # y = pm pi / 2 #, opnåelse af #8# point i alt.

Hvad er ekstreme og sadpunkterne for f (x, y) = 2x ^ (2) + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2 - y / x?

Denne funktion har ingen stationære punkter (er du sikker på, at f (x, y) = 2x ^ 2 + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2-y / x er den du ønskede at studere ?!). Ifølge den mest diffustede definition af sadelpunkter (stationære punkter, der ikke er ekstrem), søger du efter de stationære punkter i funktionen i sit domæne D = (x, y) i RR ^ 2 = RR ^ 2 setminus {(0 , y) i RR ^ 2}. Vi kan nu omskrive udtrykket givet til f på følgende måde: f (x, y) = 7x ^ 2 + x ^ 2y ^ 2-y / x Måden at identificere dem er at søge efter de punkter, der ophæver gradienten af f, som er vektoren af

Hvad er ekstreme og sadpunkterne for f (x, y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2?

{(Kritisk punkt, "Konklusion"), ((0,0), "min"), ((-1, -2), "sadlen"), ((-1,2), "sadlen" ), ((-5 / 3,0), "max"):} Teorien om at identificere ekstremt af z = f (x, y) er: Løs samtidigt de kritiske ligninger (delvist f) / (del f) / (del y) = 0 (dvs. z_x = z_y = 0) Vurdere f_ (xx), f_ (yy) og f_ (xy) (= f_ (yx)) på hvert af disse kritiske punkter . Vurder derfor Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 på hvert af disse punkter. Bestem ekstrems karakter {: (Delta> 0, "Der er minimum hvis" f_ (xx) <0), ("og et maksimum hvis" f_ (yy)> 0),

Hvad er ekstreme og sadpunkterne for f (x, y) = e ^ y (y ^ 2-x ^ 2)?

{0,0} sadelpunkt {0, -2} lokale maksimum f (x, y) = e ^ y (y ^ 2-x ^ 2), så sationspunkterne bestemmes ved at løse grad f (x, y) = vec 0 eller {(-2 e ^ yx = 0), (2 ^ yy + e ^ y (-x ^ 2 + y ^ 2 = 0):} giver to opløsninger ((x = 0, y = 0 ), (x = 0, y = -2)) Disse punkter er kvalificerede ved hjælp af H = grad (grad f (x, y)) eller H = ((- 2 e ^ y, -2 e ^ yx) 2 e ^ yx, 2 e ^ y + 4 e ^ yy + e ^ y (-x ^ 2 + y ^ 2))) så H (0,0) = ((-2,0), (0, 2 )) har egenværdier {-2,2}. Dette resultat kvalificerer punkt {0,0} som et sadelpunkt. H (0, -2) = ((- 2 / e ^ 2, 0), (0-2 / e ^ 2)) har egenværdier {-2