Polynomien af grad 5, P (x) har førende koefficient 1, har rødder af multiplication 2 ved x = 1 og x = 0 og en rot af multiplicitet 1 ved x = -3, hvordan finder du en mulig formel for P (x)?

Svar:

#P (x) = x ^ 5 + x ^ 4-5x ^ 3 + 3x ^ 2 #

Forklaring:

Hver rod svarer til en lineær faktor, så vi kan skrive:

#P (x) = x ^ 2 (x-1) ^ 2 (x + 3) #

# = X ^ 2 (x ^ 2-2x + 1) (x + 3) #

# = x ^ 5 + x ^ 4-5x ^ 3 + 3x ^ 2 #

Enhver polynom med disse nuller og i det mindste disse multiplikationer vil være et multiple (skalar eller polynom) af dette #P (x) #

Fodnote

Strengt taget en værdi af #x# det resulterer i #P (x) = 0 # hedder a rod af #P (x) = 0 # eller a nul af #P (x) #. Så spørgsmålet burde virkelig have talt om nuller af #P (x) # eller om rødder af #P (x) = 0 #.

Polynomien af grad 4, P (x) har en rod af multiplicitet 2 ved x = 3 og rødder af multiplicitet 1 ved x = 0 og x = -3. Det går gennem punktet (5.112). Hvordan finder du en formel for P (x)?

Et polynom af grad 4 har rodformularen: y = k (x-r_1) (x-r_2) (x-r_3) (x-r_4) Erstatning i værdierne for rødderne og brug derefter punktet til at finde værdien af k. Substitut i værdierne for rødderne: y = k (x-0) (x-3) (x-3) (x - (- 3)) Brug punktet (5,112) for at finde værdien af k: 112 = k (5-3) (5-3) (5 - (-3)) 112 = k (5) (2) (2) (8) k = 112 / ((5) (2) 2) (8)) k = 7/10 Roten fra polynomet er: y = 7/10 (x-0) (x-3) (x-3) (x - (-3))

Polynomien af grad 5, P (x) har førende koefficient 1, har rødder af multiplication 2 ved x = 1 og x = 0, og en rot af multiplicitet 1 ved x = -1 Find en mulig formel for P (x)?

P (x) = x ^ 2 (x-1) ^ 2 (x + 1) Da vi har en rot af multiplicitet 2 ved x = 1, ved vi, at P (x) har en faktor (x-1) ^ 2 Da vi har en rot af multiplicitet 2 ved x = 0, ved vi, at P (x) har en faktor x ^ 2 Da vi har en rot af multiplicitet 1 ved x = -1, ved vi, at P (x) har en faktor x + 1 Vi har givet, at P (x) er et polynom af grad 5, og vi har derfor identificeret alle fem rødder og faktorer, så vi kan skrive P (x) = 0 => x ^ 2 -1) ^ 2 (x + 1) = 0 Og vi kan derfor skrive P (x) = Axe ^ 2 (x-1) ^ 2 (x + 1) Vi ved også, at den ledende koefficient er 1 => A = 1 P (x) = x ^ 2 (x-1) ^ 2 (x + 1)

Polynomien af grad 5, P (x) har førende koefficient 1, har rødder af multiplicitet 2 ved x = 3 og x = 0 og en rot af multiplicitet 1 ved x = -1?

P (x) = x ^ 5-5x ^ 4 + 3x ^ 3 + 9x ^ 2> "givet" x = a "er en rod af et polynom så" (xa) "er en faktor af polynomet" "hvis" x = a "af multiplication 2 derefter" (xa) ^ 2 "er en faktor af polynomet" "her" x = 0 "multiplication 2" rArrx ^ 2 "er en faktor" "også" x = 3 "multiplication 2" rArr (x-3) ^ 2 "er en faktor" "og" x = -1 "multiplicitet 1" rArr (x + 1) "er en faktor" "polynomet er produktet af dets faktorer" P (x) = x ^ 2 (x-3) ^ 2 (x + 1) farve (hvi