Hvordan bestemmer du om det ukorrekte integral konvergerer eller afviger int 1 / [sqrt x] fra 0 til uendelig?

Svar:

Integralet afviger.

Forklaring:

Vi kunne bruge sammenligningstesten for forkerte integraler, men i dette tilfælde er integralet så enkelt at vurdere, at vi bare kan beregne det og se om værdien er afgrænset.

(2sqrtx) _0 ^ oo = lim_ (x-> oo) (2sqrtx) -2sqrt (0) = lim_ (x-> oo) (2sqrtx) = oo #

Dette betyder, at integralet afviger.

To motorcykler A og B afviger samtidigt fra modsat sted mod hinanden 50 km fra hinanden. De har 120km / h og 80km / h. Bestem tid, hvor mødet og afstanden rejste?

0.25h og 30km fra A til B Motorcykel A og B er 50 km fra hinanden. Hastighed A = 120 km // h, mod en hastighed på B = 80 km // h, mod B. Antag at de mødes efter tid t Afstand tilbagelagt af A = 120xxt Afstand tilbagelagt B = 80xxt Total afstand tilbagelagt af begge = 120t + 80t = 200t Denne tilbagelagte afstand skal være = "Afstand mellem de to" = 50km Ligesom begge 200t = 50, Løsning for tt = 50/200 = 0,25 h Afstand tilbagelagt af A = 120xx0.25 = 30km mod B

Ved hjælp af definitionen af konvergens, hvordan viser du at sekvensen {5+ (1 / n)} konvergerer fra n = 1 til uendelig?

Lad: a_n = 5 + 1 / n derefter for enhver m, n i NN med n> m: abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) -a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) som n> m => 1 / n <1 / m: abs (a_m-a_n) = 1 / m -1 / n og som 1 / n> 0: abs (a_m-a_n) <1 / m. Giv et rigtigt tal epsilon> 0, vælg derefter et helt tal N> 1 / epsilon. For et helt tal m, n> N har vi: abs (a_m-a_n) <1 / N abs (a_m-a_n) <epsilon, der beviser Cauchys tilstand for konvergens af en sekvens.

Ved hjælp af definitionen af konvergens, hvordan viser du at sekvensen {2 ^ -n} konvergerer fra n = 1 til uendelig?

Brug egenskaberne af den eksponentielle funktion til at bestemme N, såsom | 2 ^ (- n) -2 ^ (- m) | <epsilon for hver m, n> N Definitionen af konvergensstilstande, at {a_n} konvergerer hvis: AA epsilon> 0 "" EE N: AA m, n> N "" | a_n-a_m | <epsilon Så givet epsilon> 0 tager N> log_2 (1 / epsilon) og m, n> N med m <n Som m <n, (2 ^ (- m) - 2 ^ (- n))> 0 så | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | = 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) = 2 ^ (- m) (1 - 2 ^ (mn)) Nu som 2 ^ x er altid positiv, (1-2) (mn)) <1, så 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) Og da 2 ^ (