Hvad er asymptot (er) og huller (hvis) af f (x) = xsin (1 / x)?

Svar:

Se nedenfor.

Forklaring:

Nå er der åbenbart et hul på # X = 0 #siden division af #0# er ikke muligt.

Vi kan grafisere funktionen:

graf {xsin (1 / x) -10, 10, -5, 5}

Der er ingen andre asymptoter eller huller.

Svar:

#F (x) # har et hul (aftagelig diskontinuitet) på # X = 0 #.

Det har også en vandret asymptote # Y = 1 #.

Det har ingen lodrette eller skrå asymptoter.

Forklaring:

Givet:

#f (x) = x sin (1 / x) #

Jeg vil bruge et par af egenskaber af #sin (t) #, nemlig:

• #abs (sin t) <= 1 "" # for alle reelle værdier af # T #.

• #lim_ (t> 0) sin (t) / t = 1 #

• #sin (-t) = -in (t) "" # for alle værdier af # T #.

Først bemærk at #F (x) # er en jævn funktion:

#f (-x) = (-x) sin (1 / (-x)) = (-x) (- sin (1 / x)) = x sin (1 / x) = f (x)

Vi finder:

#abs (x sin (1 / x)) = abs (x) abs (sin (1 / x)) <= abs (x)

Så:

Abs = x (x / 0) abs (x sin (1 / x)) <= lim_ (x-> 0+)

Da dette er #0#det er også det #lim_ (x-> 0+) x sin (1 / x) #

Også siden #F (x) # er endda:

#lim_ (x-> 0 ^ -) x sin (1 / x) = lim_ (x-> 0 ^ +) x sin (1 / x) = 0 #

Noter det #F (0) # er udefineret, da det indebærer division af #0#, men både venstre og højre grænser eksisterer og er enige om # X = 0 #, så det har et hul (aftagelig diskontinuitet) der.

Vi finder også:

#lim_ (x-> oo) x sin (1 / x) = lim_ (t> 0 ^ +) sin (t) / t = 1 #

på tilsvarende måde:

#lim_ (x -> - oo) x sin (1 / x) = lim_ (t> 0 ^ -) sin (t) / t = 1 #

Så #F (x) # har en vandret asymptote # Y = 1 #

graf {x sin (1 / x) -2,5, 2,5, -1,25, 1,25}