Hvad er de omtrentlige løsninger på 5x ^ 2 - 7x = 1 afrundet til nærmeste hundrededel?

subtraktion #1# fra begge sider får vi:

# 5x ^ 2-7x-1 = 0 #

Dette er af formularen # ax ^ 2 + bx + c = 0 #, med #a = 5 #, #b = -7 # og #c = -1 #.

Den generelle formel for rødder af en sådan kvadratisk giver os:

#x = (-b + - sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

# = (7 + -sqrt ((- 7) ^ 2- (4xx5xx-1))) / (2xx5) #

# = (7 + -sqrt (69)) / 10 #

# = 0,7 + - sqrt (69) / 10 #

Hvad er en god tilnærmelse til #sqrt (69) #?

Vi kunne slå det i en lommeregner, men lad os gøre det med hånden i stedet ved at bruge Newton-Raphson:

#8^2 = 64#, så #8# ser ud som en god første tilnærmelse.

Herefter iterere ved hjælp af formlen:

#a_ (n + 1) = (a_n ^ 2 + 69) / (2a_n) #

Lade # A_0 = 8 #

# a_1 = (64 + 69) / 16 = 133/16 = 8,3125 #

Dette er næsten helt sikkert godt nok til den ønskede nøjagtighed.

Så #sqrt (69) / 10 ~ = 8,3 / 10 = 0,83 #

#x ~ = 0,7 + - 0,83 #

Det er #x ~ = 1.53 # eller #x ~ = -0,13 #

Omskriv # 5x ^ 2-7x = 1 # i standardformularen af # ax ^ 2 + bx + c = 0 #

giver

# 5x ^ 2-7x-1 = 0 #

brug derefter den kvadratiske formel for rødder:

#x = (-b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

I dette tilfælde

#x = (7 + -sqrt (49 + 20)) / 10 #

Brug af en lommeregner:

#sqrt (69) = 8.306624 # (Ca.).

Så

# x = 15.306624 / 10 = 1.53 # (afrundet til nærmeste hundrede)

eller

#x = -1,306624 / 10 = -0,13 # (afrundet til nærmeste hundrede)