En trekant har hjørner ved (4, 1), (2, 4) og (0, 2) #. Hvad er slutpunktene for trekantens vinkelrette bisektorer?

Svar:

De nemme endepunkter er midtpunkterne, #(1,3), (2, 3/2), (3, 5/2)# og de vanskeligere er, hvor bisektorerne møder de andre sider, herunder #(8/3,4/3).#

Forklaring:

Ved de trekantede bisektorer af en trekant betyder vi formodentlig den vinkelrette bisektor på hver side af en trekant. Så der er tre vinkelrette bisektorer for hver trekant.

Hver vinkelret bisektor er defineret til at krydse den ene side ved midtpunktet. Det vil også krydse en af de andre sider. Vi antager, at de to møder er endepunkterne.

Midpoints er

# D = frac 1 2 (B + C) = ((2 + 0) / 2, (4 + 2) / 2) = (1,3)

# E = frac 1 2 (A + C) = (2, 3/2) #

# F = frac 1 2 (A + B) = (3, 5/2) #

Dette er nok et godt sted at lære om parametriske repræsentationer for linjer og linjesegmenter. # T # er en parameter, der kan variere over reals (for en linje) eller fra #0# til #1# for et linjesegment.

Lad os mærke punkterne #A (4,1) #, #B (2,4) # og #C (0,2) #. De tre sider er:

# AB: (x, y) = (1-t) A + tB #

#AB: (x, y) = (1-t) (4,1) + t (2,4) = (4-2t, 1 + 3t)

# BC: (x, y) = (1-t) (2,4) + t (0,2) = (2-2t, 4-2t)

# AC: (x, y) = (1-t) (4,1) + t (0,2) = (4-4t, 1 + t) #

Som # T # går fra nul til en vi sporer ud hver side.

Lad os arbejde en ud. # D # er midtpunktet af # BC #, # D = frac 1 2 (B + C) = ((2 + 0) / 2, (4 + 2) / 2) = (1,3)

Retningsvektoren fra C til B er # B-C = (2,2) #. For vinkelret vinkler vi de to koefficienter (ingen effekt her, fordi de begge er #2#) og negere en. Så den parametriske ligning for vinkelret

# (x, y) = (1,3) + t (2, -2) = (2u + 1, -2u + 3) #

(Forskellig linje, anden parameter.) Vi kan se, hvor dette møder hver af siderne.

#BC: (2-2t, 4-2t) = (2u + 1, -2u + 3) #

# 1 = 2t + 2u #

# 1 = 2t - 2u #

# 2 = 4t #

# t = 1/2 #

# t = 1/2 # verificerer, at den vinkelrette bisektor møder BC ved dens midtpunkt.

#AB: (4-2t, 1 + 3t) = (2u + 1, -2u + 3) #

# 4-2t = 2u + 1 #

# 2t + 2u = 3 #

# 1 + 3t = - 2u + 3 #

# 3t + 2u = 2 #

subtraktion, # t = 2-3 = - 1 #

Det er uden for området, så den vinkelrette bisektor af BC ikke rammer side AB.

# AC: 4-4t = 2u + 1 quad quad 3 = 4t + 2u #

# 1 + t = -2u + 3 quad quad 2 = t + 2u #

subtraktion, # 1 = 3t #

# t = 1/3 #

Det giver det andet endepunkt som

# (4-4t, 1 + t) = (8/3, 4/3) #

Dette bliver lang, så jeg forlader de to andre endepunkter til dig.