Hvorfor kan du ikke have nul til nulpunktet?

Dette er et rigtig godt spørgsmål. Generelt definerer matematikere i de fleste situationer #0^0 = 1#.

Men det er det korte svar. Dette spørgsmål er blevet debatteret siden Eulers tid (dvs. hundredvis af år).

Vi ved, at ethvert ikke-nummer, der er rejst til #0# magt er lig med #1 #

# n ^ 0 = 1 #

Og det nul hevet til et ikke-nulltal er lig med #0#

# 0 ^ n = 0 #

Stykke tid #0^0# er defineret som ubestemt, det forekommer i nogle tilfælde at være lig med #1# og andre #0.#

To kilde jeg brugte er:

www.khanacademy.org/math/cc-seventh-grade-math/cc-7th-negative-numbers-multiply-and-divide/cc-7th-exponents-negative-base/v/powers-of- nul

Nå, det kunne du have #0^0#. Generelt går matematikere #0^0# undefined. Der er 3 overvejelser, der kan føre til, at nogen definerer en definition #0^0#.

Problemet (hvis det er et problem) er, at de ikke er enige om, hvad definitionen skal være.

Overvejelse 1:

For ethvert nummer # P # andet end #0#, vi har # P ^ 0 = 1 #.

Dette er faktisk en definition af, hvad nul eksponenten betyder. Det er en definition valgt af gode grunde. (Og det gør ikke "break" aritmetik.)

Her er en af de gode grunde: at definere # P ^ 0 # at være #1# lad os holde (og udvide) reglerne for at arbejde med eksponenter, For eksempel, #(5^7)/(5^3)=5^4# Dette virker ved aflysning og også af reglen # (P ^ n) / (p ^ m) = p ^ (n-m) # til #n> m #.

Så hvad med #(5^8)/(5^8)#?

Afbestilling (reduktion af fraktionen) giver os #1#. Vi får til at holde vores "subtraher the exponents" -reglen, hvis vi Definere #5^0# at være #1#.

Så måske må vi bruge den samme regel til at definere #0^0#.

Men…

Overvejelse 2

For enhver positiv eksponent, # P #, vi har # 0 ^ p = 0 #. (Dette er ikke en definition, men en kendsgerning, vi kan bevise.)

Så hvis det er sandt for positive eksponenter, må vi måske udvide det til #0# eksponent og Definere #0^0=0#.

Overvejelse 3

Vi har set på udtrykene: # X ^ 0 # og # 0 ^ x #.

Se nu på udtrykket # X ^ x #. Her er grafen for # Y = x ^ x #:

graf {y = x ^ x -1,307, 3,018, -0,06, 2,103}

En af de ting, du måske bemærker om dette, er, hvornår #x# er meget tæt på #0# (men stadig positiv) # X ^ x # er meget tæt på #1#.

I nogle felter i matematik er dette en god grund til Definere #0^0# at være #1#.

Afsluttende noter

Definition er vigtig og kraftfuld, men kan ikke bruges uforsigtigt. Jeg nævnte "breaking arithmetic". Ethvert forsøg på at Definere division således at division af #0# er tilladt vil bryde en vigtig del af aritmetik. Ethvert forsøg.

Sidste notat: definitionerne af #x ^ (- n) = 1 / (x ^ n) # og # x ^ (1 / n) = root (n) x # er også delvist motiveret af et ønske om at holde vores velkendte regler for at arbejde med eksponenter.