Calculus

F (x) falder ved pi / 6 For at kontrollere om denne funktion er stigende eller faldende, skal vi beregne farve (blå) (f '(pi / 6)) Hvis farve (rød) (f' (pi / 6) <0 så er denne funktion faldende farve (rød) (f '(pi / 6)> 0 så er denne funktion stigende f (x) = cos2x-sin ^ 2x f' (x) = - 2sin2x-2sinxcosx f '(x) = -2sin2x-sin2x f '(x) = - 3sin2x farve (blå) (f' (pi / 6)) = - 3sin (2 * (pi / 6)) = - 3sin (pi / 3) = - 3 * sqrt3 / 2 farve (rød) (f '(pi / 6) = - 3sqrt3 / 2 <0 så falder denne funktion Læs mere »

Sin2xcos2x I denne øvelse skal vi anvende: to egenskaber derivatet af produktet: farve (rød) (uv) '= u' (x) v (x) + v '(x) u (x)) derivatet af en magt: farve (blå) ((u) n (x)) '= n (u) ^ (n-1) (x) u' (x)) I denne øvelse skal du: farve = cos ^ 2 (x)) farve (blå) (u '(x) = 2cosxcos'x) u' (x) = - 2cosxsinx At kende den trigonometriske identitet, der siger: farve (grøn) (sin2x = 2sinxcosx) u ' x) = - farve (grøn) (sin2x) Lad: farvning (brun) (v (x) = sin ^ 2 (x)) farve (blå) (v '(x) = 2sinxsin'x) v' = 2sinxcosx v '(x) = farve (grøn Læs mere »

F '(x) = 2xe ^ (x ^ 2) (4x ^ 2 + 9) Produktregel: f' (x) = u'v + v'u f (x) = (4x ^ 2 + 5) * e ^ (x ^ 2) Lad u = 4x ^ 2 + 5 og v = e ^ (x ^ 2) u '= 8x v' = 2xe ^ (x ^ 2): .f '(x) = 8x * (x ^ 2) + 2xe ^ (x ^ 2) * (4x ^ 2 + 5) = 2xe ^ (x ^ 2) (4 + 4x ^ 2 + 5) = 2xe ^ (x ^ 2) 9) Læs mere »

2 / (2x + 1) y = ln (2x + 1) indeholder en funktion inden for en funktion, det vil sige 2x + 1 inden for ln (u). Lad u = 2x + 1, vi kan anvende kæde regel. Kæderegel: (dy) / (dx) = (dy) / (du) * (du) / (dx) (dy) / (du) = d / (du) ln (u) = 1 / / (dx) = 1 / u * 2 = 1 / (2x + 1) * 2 = 2 / (2x + 1) Læs mere »

Y = (- 1/4) x + 1 Farve (rød) (hældning) af tangentlinjen til den givne funktion 2-sqrtx er farve (rød) (f '(4)) Lad os beregne farve (rød) f '(4)) f (x) = 2-kvadratf' (x) = 0-1 / (2sqrtx) = - 1 / (2sqrtx) farve (rød) (f '(4)) = - 1 / 2sqrt4) = - 1 / (2 * 2) = farve (rød) (- 1/4) Da denne linje er tangent til kurven ved (farve (blå) (4,0)) går den igennem dette punkt: Ligning af linjen er: y-farve (blå) 0 = farve (rød) (- 1/4) (x-farve (blå) 4) y = (- 1/4) x + 1 Læs mere »

Først skal du finde f '(x), som er derivatet af f (x). f '(x) = 2x-0 = 2x Andet, erstat i værdien af x, i dette tilfælde x = 1. f '(1) = 2 (1) = 2 Kurvens hældning y = x ^ 2-3 ved x-værdien på 1 er 2. Læs mere »

Sin (x) ^ tanh (x) * (1-tanh ^ 2 (x)) * ln (sin (x)) + "" "synd (x) ^ (tanh (x) -1) * tanh * cos (x) "Der er en vanskelig formel til at huske." Hvis du ikke kan huske det godt, kan du udlede det som følger: "x ^ y = exp (y * ln (x)) => f (x) ^ g (x) = exp (g (x) * ln (f (x))) => (f (x) ^ g (x)) ' = exp (g (x) * ln (f (x))) (g (x) * ln (f (x))) "" (kæderegel + derivat af exp (x)) "= exp ) * ln (f (x))) (g '(x) * ln (f (x)) + g (x) (f' (x)) / f (x)) = f (x) ^ g x) * f (x) ^ (g (x) - 1) * g (x) * f '(x) "Her har vi" f (x) = sin (x) => f Læs mere »

Y = r / k-Be ^ (- kx) Vi har: dy / dx = r-ky Hvilket er en første ordens adskillelig Differential Equation. Vi kan omarrangere som følger 1 / (r-ky) dy / dx = 1 Så vi kan "adskille variablerne" for at få: int 1 / (r-ky) dy = int dx Integrering giver os: -1 / k ln (r-ky) = x + C:. ln (r-ky) = -kx-kC:. ln (r-ky) = -kx + ln A (ved at skrive lnA == kC):. ln (r-ky) -lnA = -kx:. ln ((r-ky) / A) = -kx:. (r-ky) / A = e ^ (- kx):. r-ky = Ae ^ (- kx):. ky = r-Ae ^ (- kx):. y = r / k-Be ^ (- kx) Læs mere »

Så løsningen af denne ulighed gør det til sand x i (0,1) betragter f (x) = e ^ x-lnx-e / x, vi har f '(x) = e ^ x-1 / x + e / x ^ 2 argumenterer for at f '(x)> 0 for alle reelle x og konkluderer at f (1) = 0 f (1) = e-ln1-e = 0 betragter grænsen for f som x går til 0 lim_ (xrarr0) e ^ x-lnx-e / x lim_ (xrarr0 ^ +) e ^ x-lnx-e / x = -oo Med andre ord viser du at funktionen stiger strenge ved at vise f '(x)> 0 Hvis f (1) = 0 betyder det, at f (x) <0 for x <1, fordi funktionen altid vokser. Fra definitionen af lnx lnx er defineret for hver x> 0 fra definitionen af e ^ xe Læs mere »

Dy / dx = - (2sin (xy) + 2xcos (xy)) / (1-2xcos (xy)) Vi kan omarrangere og forenkle for at få: -2xsin (xy) = yd / dx [y] = d / dx [ -2xsin (xy)] d / dx [y] = d / dx [-2x] sin (xy) -2xd / dx [sin (xy)] d / dx [y] = - 2sin (xy) -2xd / dx [sin (xy)] d / dx [y] = - 2sin (xy) -2xcos (xy) d / dx [xy] d / dx [y] = - 2sin (xy) -2xcos (xy) [x] -d / dx [y]) d / dx [y] = - 2sin (xy) -2xcos (xy) (d / dx [x] -d / dx [y]) Ved hjælp af chqain-reglen får vi d / dx = dy / dx * d / dy dy / dxd / dy [y] = - 2sin (xy) -2xcos (xy) (1-dy / dxd / dy [y]) dy / dx = -2sin ) -2xcos (xy) (1-dy / dx) dy / dx = -2sin (xy) -2xcos (xy) + Læs mere »

"F (x) h" - f (x)) / h "Her har vi" f (x) = ln (x) => f ' (x) = lim_ {h-> 0} (ln (x + h) - ln (x)) / h = lim_ {h-> 0} ln ((x + h) / x) / h = lim_ (1 + h / x) ^ (1 / h) = e ^ (1 / x) "(Euler's grænse)" => y = 1 / x => f '(x) = 1 / x Læs mere »

Y = (Ax + B) e ^ (4x) (d ^ 2y) / (dx ^ 2) -8 (dy) / (dx) = -16y bedst skrevet som (d ^ 2y) / (dx ^ 2) 8 (dy) / (dx) + 16y = 0 qquad trekant, som viser at dette er lineær anden ordens homogene differentialekvation, den har karakteristisk ligning r ^ 2 -8 r + 16 = 0 som kan løses som følger (r-4) ^ 2 = 0, r = 4 Dette er en gentagen rod, så den generelle løsning er i form y = (Ax + B) e ^ (4x) Dette er ikke-oscillerende og modellerer en slags eksponentiel adfærd, som virkelig afhænger af værdien af A og B. Man kan gætte, at det kunne være et forsøg på at modellere be Læs mere »

I = (e ^ (ln (2) x) (3sin (3x) + ln (2) cos (3x)) / ((ln (2)) ^ 2 + 3 ^ 2) + C Vi vil løse jeg = int2 ^ xcos (3x) dx = ikke ^ (ln (2) x) cos (3x) dx Lad prøve det mere generelle problem I_1 = inte ^ (ax) cos (bx) dx Hvor vi søger løsningen I_1 = ^ (ax) (bsin (bx) + acos (bx))) / (a ^ 2 + b ^ 2) + C Tricket er at bruge integration af dele to gange intudv = uv-intvdu Lad u = e ^ og dv = cos (bx) dx Så du = ae ^ (ax) dx og v = 1 / bsin (bx) I_1 = 1 / be ^ (ax) sin (bx) -a / binte ^ (ax) sin ) dx Anvend integration af dele til den resterende integral I_2 = a / binte ^ (ax) sin (bx) dx Lad u = e ^ (ax) Læs mere »

Dy / dx = (cos (7x)) ^ x * (ln (cos (7x)) - 7x (tan (7x))) Dette er ubehageligt. y = (cos (7x)) x Start med at tage den naturlige logaritme på begge sider og bring eksponenten x ned til højre for højre side: rArr lny = xln (cos (7x)) Differentier nu hver side med hensyn til x, ved hjælp af produktreglen på højre side. Husk reglen om implicit differentiering: d / dx (f (y)) = f '(y) * dy / dx: .1 / y * dy / dx = d / dx (x) * ln (cos (7x)) + d / dx (ln (cos (7x))) * x Ved hjælp af kædelegemet for naturlige logaritmefunktioner - d / dx (ln (f (x))) = (f '(x)) / f (x) vi kan diff Læs mere »