Precalculus

Fælles syntetiske delingsfejl: (Jeg har antaget, at divisoren er binomial, da det er langt den mest almindelige situation). Udeladelse af 0 værdiansatte koefficienter Givet udtryk 12x ^ 5-19x ^ 3 + 100 Det er vigtigt at behandle dette som 12x ^ 5color (rød) (+ 0x ^ 4) -19x ^ 3color (rød) (+ 0x ^ 2) farve ( rød) (+ 0x) +100 Så øverste linje ser ud som: farve (hvid) ("XXX") 12 +0 -19 +0 +0 +100 Ikke negerer det konstante udtryk for divisoren. For eksempel hvis divisoren er (x + 3), skal multiplikatoren være (-3) Ikke dividere ved eller dividere på det forkerte tidspunkt Læs mere »

En egenvektor er en vektor, der transformeres af en lineær operatør i anden vektor i samme retning. Egenvalue (egenskabsnummer er ikke brugt) er proportionalitetsfaktoren mellem den oprindelige egenvektor og den transformerede. Antag, at A er en lineær transformation, som vi kan definere i et givet underrum. Vi siger at vec v er en egenvektor af den lineære transformation, hvis og kun hvis der eksisterer en lambda skalar sådan: at en cdot vec v = lambda cdot vec v Til denne skalære lambda kalder vi det egenværdi forbundet med egenvektor vec v. Læs mere »

Grafen af kvadratik af denne form er altid en parabola. Der er et par ting, vi kan fortælle netop fra din ligning: 1) Ledende koefficient er 1, hvilket er positivt, så din parabol vil åbne UP. 2) siden parabolen åbner op, er "endeadfærd" begge ender op. 3) siden parabolen åbner op, vil grafen have et minimum ved sin toppunkt. Lad os nu finde vertexet. Der er flere måder at gøre dette på, herunder ved hjælp af formlen -b / (2a) for x-værdien. (- (- 4)) / (2 * 1) = 4/2 = 2 Stedfortræder x = 2 og find y-værdien: (2) ^ 2-4 (2) = 4 - 8 = -4 Vertexet er Læs mere »

Mange ting i forskellige områder af matematik. Her er et par eksempler: Sandsynlighed (Combinatorics) Hvis en fair mønt er kastet 10 gange, hvad er sandsynligheden for præcis 6 hoveder? Svar: (10!) / (6! 4! 2 ^ 10) Serie for synd, cos og eksponentielle funktioner synd (x) = x - x ^ 3 / (3!) + X ^ 5 / (5!) -X ^ 7 / (7!) + ... cos (x) = 1 - x ^ 2 / (2!) + X ^ 4 / (4!) - x ^ 6 / (6!) + ... e ^ x = 1 + x + x ^ 2 / (2!) + x ^ 3 / (3!) + x ^ 4 / (4!) + ... Taylorserie f (x) = f (a) / !) + (f '(a)) / (1!) (xa) + (f' '(a)) / (2!) (xa) ^ 2 + (f' '' (a)) / (3 !) (xa) ^ 3 + ... Binomialudvidelse Læs mere »

Se forklaringen herunder. En grænse "ved uendelighed" af en funktion er: et tal, som f (x) (eller y) kommer tæt på som x stiger uden bundet. En grænse ved uendelighed er en grænse, da den uafhængige variabel stiger uden bundet. Definitionen er: lim_ (xrarroo) f (x) = L hvis og kun hvis: for ethvert epsilon, der er positivt, er der et tal m sådan at: hvis x> M, så abs (f (x) -L) < epsilon. Eksempel 2: Når x stiger uden bundet, bliver 7 / x tættere på 0 Som xrarroo (som x stiger uden bundet), (3x-2) / (5x + 1) rarr 3/5 Hvorfor? underbrace ((3x2) / (5x + 1 Læs mere »

Punkter på en funktion, hvor der forekommer en lokal maksimums- eller minimumsværdi. For en kontinuerlig funktion over hele dens domæne eksisterer disse punkter, hvor funktionens hældning = 0 (dvs. dens første derivat er lig med 0). Overvej en kontinuert funktion f (x) Hældningen af f (x) er lig med nul hvor f '(x) = 0 på et tidspunkt (a, f (a)). Så vil f (a) være en lokal ekstremværdi (maksimalt eller minimum) af f (x) N.B. Absolut ekstrem er en delmængde af lokal ekstrem. Dette er de punkter, hvor f (a) er den ekstreme værdi af f (x) over hele dens domæ Læs mere »

En rot af enhed er et komplekst tal, som når det hæves til noget positivt heltal, vil returnere 1. Det er et hvilket som helst komplekst tal z, som opfylder følgende ligning: z ^ n = 1 hvor n i NN, hvilket vil sige at n er en naturlig nummer. Et naturligt tal er et positivt heltal: (n = 1, 2, 3, ...). Dette kaldes undertiden som et tælleantal, og notationen for det er NN. For nogen n kan der være flere z-værdier, der tilfredsstiller denne ligning, og disse værdier omfatter enhedernes rødder for den n. Når n = 1 Roter af enhed: 1 Når n = 2 Roter af enhed: -1, 1 Når n = Læs mere »

Sandsynligvis er en af de mest almindelige fejl at glemme at sætte parenteserne på nogle funktioner. Hvis jeg for eksempel skulle grafer y = 5 ^ (2x) som angivet i et problem, kan nogle elever lægge i regnemaskine 5 ^ 2x. Regnemaskinen læser dog, at det er 5 ^ 2x og ikke som givet. Så det er vigtigt at sætte parenteser ind og skrive 5 ^ (2x). For logistiske funktioner kan en fejl involvere at bruge naturlig log vs. log forkert, som: y = ln (2x), som er e ^ y = 2x; versus y = log (2x), som er for 10 ^ y = 2x. Eksponentkonverteringer til logistiske funktioner kan også være vanskelige. Læs mere »

(1) f (x) = x ^ 2, (2) g (x) = sin (x) (3) h (x) = 3x + 1 En funktion er kontinuerlig, intuitiv, hvis den kan tegnes ) uden at skulle løfte blyanten (eller pen) fra papiret. Det vil sige at nærme ethvert punkt x, i området for funktionen fra venstre, dvs. x-epsilon, som epsilon -> 0, giver samme værdi som nærmer sig det samme punkt fra højre, dvs. x + epsilon, som ε 0. Dette er tilfældet med hver af de nævnte funktioner. Det ville ikke være tilfældet med funktionen d (x) defineret af: d (x) = 1, hvis x> = 0 og d (x) = -1, hvis x <0. Det vil sige, at der er en disk Læs mere »

Her er tre vigtige eksempler ... Geometrisk serie Hvis abs (r) <1 er summen af den geometriske serie a_n = r ^ n a_0 konvergent: sum_ (n = 0) ^ oo (r ^ n a_0) = a_0 / (1-r) Eksponentiel funktion Serien der definerer e ^ x er konvergent for enhver værdi af x: e ^ x = sum_ (n = 0) ^ oo x ^ n / (n!) For at bevise dette for en given x, lad N være et helt tal større end abs (x). Så konvergerer sum_ (n = 0) ^ N x ^ n / (n!), Da det er en endelig sum og sum_ (n = N + 1) ^ oo x ^ n / (n!) Konvergerer siden den absolutte værdi af forholdet mellem successive udtryk er mindre end abs (x) / (N + 1) <1. Læs mere »

Sluttræk for de mest grundlæggende funktioner er følgende: Konstanter En konstant er en funktion, der antager den samme værdi for hver x, så hvis f (x) = c for hver x, så er selvfølgelig også grænsen som x nærmer sig pm infty vil stadig være c. Polynomier Udemærket grad: Polynomier af ulige grad "respekterer" uendeligen mod hvilken x nærmer sig. Så hvis f (x) er et ulige grad polynom, har du det lim_ {x to-infty} f (x) = - infty og lim_ {x til + infty} f (x) = + infty ; Endnu grad: Polynomier af ens grad har en tendens til at + infty uanset hvi Læs mere »

Eksempel 1: Hæve til en jævn strøm Løs x = rod (4) (5x ^ 2-4). At hæve begge sider til 4 ^ (th) giver x ^ 4 = 5x ^ 2-4. Dette kræver, x ^ 4-5x ^ 2 + 4 = 0. Factoring giver (x ^ 2-1) (x ^ 2-4) = 0. Så vi har brug for (x + 1) (x-1) (x + 2) (x-2) = 0. Løsningssættet af den sidste ligning er {-1, 1, -2, 2}. Ved at tjekke disse viser, at -1 og -2 ikke er løsninger på den oprindelige ligning. Husk at rod (4) x betyder den ikke-negative 4. rod.) Eksempel 2 Multiplicere med nul Hvis du løser (x + 3) / x = 5 / x ved krydsudvikling, får du x ^ 2 + 3x = 5x som føre Læs mere »

At komponere en funktion er at indtaste en funktion i den anden for at danne en anden funktion. Her er et par eksempler. Eksempel 1: Hvis f (x) = 2x + 5 og g (x) = 4x - 1, bestem f (g (x)) Dette ville betyde at indtaste g (x) for x inde i f (x). f (g (x)) = 2 (4x-1) + 5 = 8x-2 + 5 = 8x + 3 Eksempel 2: Hvis f (x) = 3x ^ 2 + 12 + 12x og g (x) = sqrt 3x), bestem g (f (x)) og angiv domænet Sæt f (x) i g (x). g (f (x)) = sqrt (3x3 + 2x12)) g (f (x)) = sqrt (9x ^ 2 + 36x + 36) g (f (x)) = sqrt 3x + 6) ^ 2) g (f (x)) = | 3x + 6 | Domænet af f (x) er x i RR. Domænet for g (x) er x> 0. Dermed er domænet Læs mere »

Eksempel 1: f (x) = x ^ 2 / {(x + 2) (x-3)} Vertikale asymptoter: x = -2 og x = 3 Horisontal asymptote: y = 1 Slant Asymptote: Ingen Eksempel 2: g x) = e ^ x Vertikal asymptote: Ingen Horisontal asymptote: y = 0 Slant Asymptote: Ingen Eksempel 3: h (x) = x + 1 / x Vertikal asymptote: x = 0 Horisontal asymptote: Ingen Slant Asymptote: y = x I håber at dette var nyttigt. Læs mere »

Her er et par eksempler ... Her er en prøve animation af lang dividering x ^ 3 + x ^ 2-x-1 ved x-1 (som deler nøjagtigt). Skriv udbytte under linjen og divisoren til venstre. Hver er skrevet i faldende rækkefølge af x. Hvis en strøm af x mangler, skal du inkludere den med en 0-koefficient. Hvis du for eksempel delte med x ^ 2-1, så ville du udtrykke divisoren som x ^ 2 + 0x-1. Vælg kvotientens første term for at få ledende udtryk til at matche. I vores eksempel vælger vi x ^ 2, da (x-1) * x ^ 2 = x ^ 3-x ^ 2 matcher udbyttets førende x ^ 3-periode. Skriv produktet af d Læs mere »

Dette er direkte skalær multiplikation og derefter subtraktion af matricer. Scalar multiplikation af matricer betyder simpelthen, at hvert element i matrixen multipliceres med konstanten. Så bliver hvert element i A multipliceret med 2. Derefter udføres matrix subtraktion (og tilføjelse) af element ved element subtraktion. Så i dette tilfælde er 2 (-8) = -16. Derefter trækker du 1 i øverste højre hjørne af B for at give -16 - 1 = -17. Så, a = 17 Læs mere »

Nogle typer af intervaller: skydebane, komfur + ovn, rækkevidde af et våben, (som verb) til at bevæge sig rundt, hjemme på intervallet osv. Nej, men seriøst er rækkevidden enten y-værdien af en funktion eller forskellen mellem de laveste og højeste værdier af et sæt tal. For ligningen y = 3x-2 er rækkevidden alle reelle tal, fordi en værdi af x kan indlæses for at give et reelt tal y (y = RR). For ligningen y = sqrt (x-3) er rækkevidden alle reelle tal større eller lig med 3 (y = RR> = 3). For ligningen y = (x-1) / (x ^ 2-1) er rækkevidden Læs mere »

(2x + 3) ^ 3 = 8x ^ 3 + 36x ^ 2 + 54x + 27 Med Pascals trekant er det let at finde hver binomial ekspansion: Hvert udtryk i denne trekant er resultatet af summen af to udtryk på top-line. (eksempel i rødt) 1 1. 1 farve (blå) (1. 2. 1) 1. farve (rød) 3. farve (rød) 3. 1 1. 4. farve (rød) 6. 4. 1 ... Mere, hver linje har oplysninger om en binomial ekspansion: 1. linie, for effekten 0 2., for effekten 1 Den 3., for effekten 2 ... For eksempel: (a + b ) ^ 2 vi vil bruge den tredje linje i blåt efter denne udvidelse: (a + b) ^ 2 = farve (blå) 1 * a ^ 2 * b ^ 0 + farve (blå) 2 * a ^ Læs mere »

Det pendler ikke eller er ikke altid defineret. Produktet af to firkantede matricer (en firkantet matrix er en matrix, der har det samme antal rækker og kolonner) AB er ikke altid lig med BA. Prøv det med A = ((0,1), (0,0)) og B = ((0,0), (0,1)). For at beregne produktet af to rektangulære matricer C og D, skal du have C for at have samme antal kolonner som antallet af rækker af D. Hvis du vil have CD, er det samme problem med antallet af kolonner af D og antallet af linjer af C. Læs mere »

X ^ 2 / (x-1) (x + 2)) = 1 / (3 (x-1)) - 4 / (3 (x + 2)) Vi skal skrive disse i forhold til hver enkelt faktor. x ^ 2 / (x-1) (x + 2)) = A / (x-1) + B / (x + 2) x ^ 2 = A (x + 2) + B (x-1) Putting i x = -2: (-2) ^ 2 = A (-2 + 2) + B (-2-1) 4 = -3B B = -4 / 3 Indlæsning x = 1: 1 ^ 2 = A 1 + 2) + B (1-1) 1 = 3A A = 1/3 x ^ 2 / (x-1) (x + 2)) = (1/3) / (x-1) + (- 4/3) / (x + 2) farve (hvid) (x ^ 2 / (x-1) (x + 2))) = 1 / (3 (x-1)) - 4 / 2)) Læs mere »

"Se forklaring" jeg "er et tal med egenskaben" i ^ 2 = -1. "Så hvis du udfylder" 5i ", får du" (5 i) ^ 2 + 23 = 25 i ^ 2 + 23 = 25 * -1 + 23 = -2! = 6 "Så" 5 i "er ikke en løsning." "Tilføjelse og multiplikation med" i "går ligesom med normale" "reelle tal, du skal bare huske at" i ^ 2 = -1. "En underlig kraft af" i "kan ikke konverteres til et reelt tal:" "(5 i) ^ 3 = 125 * i ^ 3 = 125 * i ^ 2 * i = 125 * -1 * i = -125 i. "Så er den imaginære enhed" jeg " Læs mere »

Uendelig csc x = 1 / sin x 0,5 csc x = 0,5 / sin x et hvilket som helst tal divideret med 0 giver et udefineret resultat, så 0,5 over 0 er altid udefineret. funktionen g (x) vil være udefineret ved eventuelle x-værdier, for hvilke sin x = 0. fra 0 ^ til 360 ^ @, x-værdierne, hvor sin x = 0 er 0 ^, 180 ^ og 360 ^ @. Alternativt, i radianer fra 0 til 2pi, er x-værdierne, hvor sint x = 0, 0, pi og 2pi. da grafen for y = sin x er periodisk, gentages de værdier for hvilke synd x = 0 gentager hver 180 ^, eller pi radianer. Derfor er punkterne for hvilke 1 / sin x og derfor 0,5 / sin x ikke defineret Læs mere »

Ved at skrive lidt, g (x) = sec2x = 1 / {cos2x}. Der vil være lodrette asymptoter, når nævneren bliver 0, og cos2x bliver nul, når 2x = pi / 2 + npi = {2n + 1} / 2pi for hele heltal n, så ved at dividere med 2, Rightarrow x = {2n + 1 } / 4pi Derfor er de vertikale asymptoter x = {2n + 1} / 4pi for hele heltal n. Jeg håber, at dette var nyttigt. Læs mere »

Det er en ellipse. Ovennævnte ligning kan let omdannes til ellipseformen (xh) ^ 2 / a ^ 2 + (yk) ^ 2 / b ^ 2 = 1 som koefficienter af x ^ 2 ogy ^ 2 begge er positive), hvor (h, k) er centrum for ellipse og akse er 2a og 2b, med større en som hovedakse en anden mindre akse. Vi kan også finde vertices ved at tilføje + -a til h (holde ordinat samme) og + -b til k (holde abscisse samme). Vi kan skrive ligningen 16x ^ 2 + 25y ^ 2-18x-20y + 8 = 0 som 16 (x ^ 2-18 / 16x) +25 (y ^ 2-20 / 25y) = - 8 eller 16 (x ^ 2-2 * 9 / 16x + (9/16) ^ 2) +25 (y ^ 2-2 * 2 / 5y + (2/5) ^ 2) = - 8 + 16 (9/16) ^ 2 + 25 ( 2/5) ^ 2 Læs mere »

Dette er en cirkel. Udfyld firkanterne for at finde: 0 = x ^ 2 + y ^ 2-10x-2y + 10 = (x ^ 2-10x + 25) + (y ^ 2-2y + 1) -16 = (x-5) ^ 2 + (y-1) ^ 2-4 ^ 2 Tilføj 4 ^ til begge ender og transponér for at få: (x-5) ^ 2 + (y-1) ^ 2 = 4 ^ 2, som er i form: (xh) ^ 2 + (yk) ^ 2 = r ^ 2 ligningen for en cirkel, center (h, k) = (5, 1) og radius r = 4 graf {(x ^ 2 + y ^ 2-10x -2y + 10) ((x-5) ^ 2 + (y-1) ^ 2-0.01) = 0 [-6,59, 13,41, -3,68, 6,32]} Læs mere »

(3, 3) Sammen med punktet (5, 1) er disse punkter en firkantets hjørner, så centrum af cirklen vil være midt på diagonalen mellem (1, 1) og (5, 5) det vil sige: (1 + 5) / 2, (1 + 5) / 2) = (3,3) Radien er afstanden mellem (1, 1) og (3, 3), der er: sqrt 3-1) ^ 2 + (3-1) ^ 2) = sqrt (8) Så ligningen af cirklen kan skrives: (x-3) ^ 2 + (y-3) ^ 2 = 8 graf { (x-3) ^ 2 + (y-3) ^ 2-8) ((x-3) ^ 2 + (y-3) ^ 2-0.01) ((x-1) ^ 2 + (y-1 ) ^ 2-0.01) ((x-5) ^ 2 + (y-1) ^ 2-0.01) ((x-1) ^ 2 + (y-5) ^ 2-0.01) ((x-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2-0.01) ((x-3) ^ 100 + (y-3) ^ 100-2 ^ 100) (xy) (sqrt (17- (x + y-6) ^ 2) / sqrt (17 Læs mere »

Cirklen har et center i C = (4,5) og radius r = 7 For at finde centrumets koordinater og en cirkels radius skal vi omdanne dens ligning til: (xa) ^ 2 + (yb) ^ 2 = r ^ 2 I det givne eksempel kan vi gøre dette ved at gøre: x ^ 2 + y ^ 2-8x-10y-8 = 0 x ^ 2-8x + 16 + y ^ 2-10y + 25-8- 16-25 = 0 (x-4) ^ 2 + (y-5) ^ 2-49 = 0 Endelig: (x-4) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 49 Fra denne ligning får vi centeret og radius. Læs mere »

Hvad et køligt spørgsmål! Planlægger du på wallpapering en kæmpe basketball? Nå, formlen er SA = 4pir ^ 2, bare hvis du vil beregne det! Wikipedia giver dig formlen, samt yderligere oplysninger. Du kan endda bruge denne formel til at beregne, hvor meget overfladen af månen er! Sørg for at følge rækkefølgen af operationerne, når du går: For det første, firkant din radius og multiplicér den med 4pi ved hjælp af en lommeregner med en gemt omtrentlig værdi for pi. Runde passende, og marker derefter dit svar i kvadratiske enheder, afh Læs mere »

| synd (x) | <= 1, "og" arctan (x) / x> = 0 "Som" | synd (x) | <= 1 "og" arctan (x) / x> = 0, "vi har" | (sin (1 / sqrt (x)) arctan (x)) / (x sqrt (ln (1 + x))) | <= | arctan (x) / (x sqrt (ln (1 + x))) = arctan (x) / (x sqrt (ln (1 + x))) "(både arctan (x) / x og" sqrt (...)> = 0 ")" = arctan (x) / x) sqrt (x ^ -1) x sqrt (ln (1 + x))) = arctan (x) / (sqrt (x) x sqrt (x ^ -1 ln (1 + x))) Læs mere »

Svaret er: F_ (1,2) (0, + - sqrt15). Standard ækvivalens for en ellipse er: x ^ 2 / a ^ 2 + y ^ 2 / b ^ 2 = 1. Denne ellipse er med foci (F_ (1,2)) på y-aksen siden a <b. Så x_ (F_ (1,2)) = 0 Ordinaterne er: c = + - sqrt (b ^ 2-a ^ 2) = + - sqrt (64-49) = + - sqrt15. Så: F_ (1,2) (0, + - sqrt15). Læs mere »

Heltalets værdier for x er 1,3,0,4 Lets omskrive dette som følger x / (x-2) = [(x-2) +2] / (x-2) = 1 + 2 / (x-2 ) For at 2 / (x-2) skal være heltal x-2 skal være en af divisorerne 2, der er + -1 og + -2 Derfor x-2 = -1 => x = 1 x-2 = 1 => x = 3 x-2 = -2 => x = 0 x-2 = 2 => x = 4 Derfor er heltalets værdier af x 1,3,0,4 Læs mere »

Hvis spørgsmålet er: "I hvilket punkt afbryder funktionen y-aksen?", Svaret er: på ingen punkter. Dette skyldes, at hvis dette punkt ville eksistere, skal dets x-koordinat være 0, men det er umuligt at give denne værdi til x, fordi 0 gør fraktionen et nonsens (det er umuligt at opdele for 0). Hvis spørgsmålet er: "I hvilke punkter afbryder funktionen x-aksen?" Er svaret: i alle de punkter, hvis y-koordinat er 0. Så: (x ^ 2-49) / (7x ^ 4) = 0rArrx ^ 2 = 49rArrx = + - 7. Poengene er: (-7,0) og (7,0). Læs mere »

X = 7 og x = (- 7 + -7sqrt (3) i) / 2 Hvis du mener, at ligningens komplekse rødder: x ^ 3 = 343 Vi kan finde den ene rigtige rod ved at tage den tredje rod på begge sider: root (3) (x ^ 3) = root (3) (343) x = 7 Vi ved, at (x-7) skal være en faktor, da x = 7 er en rod. Hvis vi bringer alt til den ene side, kan vi faktor ved at bruge polynomial lang division: x ^ 3-343 = 0 (x-7) (x ^ 2 + 7x + 49) = 0 Vi ved, når (x-7) er lig med nul, men vi kan finde de resterende rødder ved at løse for når den kvadratiske faktor er lig med nul. Dette kan gøres med den kvadratiske formel: x ^ 2 + 7x Læs mere »

Udvid firkanterne, substituer y = rsin (theta) og x = rcos (theta), og løs derefter for r. Givet: (x - 1) ^ 2 - (y + 5) ^ 2 = -24 Her er en graf af ovenstående ligning: Konverter til polære koordinater. Udvid firkanterne: x ^ 2 -2x + 1 - (y ^ 2 + 10y + 25) = -24 Omgruppering med magt: x ^ 2 - y ^ 2 -2x - 10y + 1 - 25 = -24 Kombiner de konstante udtryk : x ^ 2 - y ^ 2 -2x - 10y = 0 Substitutions-rcos (theta) for x og rsin (theta) for y: (rcos (theta)) 2 - (rsin (theta)) 2-2 (rcos (theta)) - 10 (rsin (theta)) = 0 Lader bevæge faktorerne r udenfor (): (cos ^ 2 (theta) - sin ^ 2 (theta)) r2-2 (2cos (theta) Læs mere »

-4, 2 og 3. P (2) = 0. Så, n-2 er en faktor. Nu, P (n) = (n-2) (n ^ 2 + kn-12)). Sammenligning af koefficienten n ^ 2 = k-2 med -3, k = -1. Så, P (n) = (n-2) (n ^ 2-n-12) = (4-2) (n + 4) (n-3). Og så er de to andre nuller -4 og 3.. Læs mere »

De "mulige" integrale nuller er: + -1, + -2, + -4 Faktisk har P (p) ingen rationelle nuller. I betragtning af: P (p) = p ^ 4-2p ^ 3-8p ^ 2 + 3p-4 Ved den rationelle rødder sætning er eventuelle rationelle nuller af P (p) eksprimerbare i form p / q for heltal p, q med pa divisor af det konstante udtryk -4 og qa divisor af koefficienten 1 i det førende udtryk. Det betyder, at de eneste mulige rationelle nuller (som også er heltal) er: + -1, + -2, + -4 I praksis finder vi at ingen af disse rent faktisk er nuller, så P (p) har ingen rationelle nuller . Læs mere »

De "mulige" integrale nuller er + -1, + -2, + -4 Ingen af disse arbejder, så P (y) har ingen integrerede nuller. > P (y) = y ^ 4-5y ^ 3-7y ^ 2 + 21y + 4 Ved rationelle rotteorem er eventuelle rationelle nuller af P (x) eksprimerbare i form p / q for heltal p, q med pa divisor af den konstante term 4 og qa divisor af koefficienten 1 i den førende term. Det betyder, at de eneste mulige rationelle nuller er mulige heltal nuller: + -1, + -2, + -4 Forsøger hver af disse, finder vi: P (1) = 1-5-7 + 21 + 4 = 14 P (-1) = 1 + 5-7-21 + 4 = -18 P (2) = 16-40-28 + 42 + 4 = -6P (-2) = 16 + 40-28-42 + 4 = -1 Læs mere »

De mulige integerrødder, der skal prøves, er pm 1, pm 3, pm 5, pm 15. Lad os forestille os, at et andet heltal kunne være en rod. Vi vælger 2. Dette er forkert. Vi er ved at se hvorfor. Polynomet er z ^ 4 + 5z ^ 3 + 2z ^ 2 + 7z-15. Hvis z = 2 er alle betingelserne, selv fordi de er multipler af z, men så skal det sidste udtryk være ens for at gøre hele summen lig med nul ... og -15 er ikke engang. Så z = 2 fejler, fordi delbarheden ikke virker. For at få delbarheden til at fungere, skal et helt tal for z være noget, der fordeler jævnt i konstant sigt, som her er -15. H Læs mere »

Diskriminanten af den kvadratiske formel fortæller dig om karakteren af rødder, som ligningen har. b ^ 2-4ac = 0, en reel løsning b ^ 2-4ac> 0, to reelle løsninger b ^ 2-4ac <0, to imaginære løsninger Hvis diskriminant er et perfekt firkant, er rødderne rationelle eller ellers hvis det ikke er et perfekt firkant, rødderne er irrationelle. Læs mere »

For at løse dette problem kan vi bruge p / q metoden, hvor p er konstanten og q er den førende koefficient. Dette giver os + -12 / 1, som giver os mulige faktorer + -1, + -2, + -3, + -4, + -6 og + -12. Nu skal vi bruge syntetisk division til opdeling af kubikfunktionen. Det er lettere at starte med + -1 og derefter + -2 og så videre. Ved brug af syntetisk division må vi have en rest på 0 for udbyttet at være nul. Ved at bruge syntetisk division for at få vores ligning til en kvadratisk, så ved at fakturere den kvadratiske, finder vi rødderne er 2, -2 og 3. Læs mere »

Se forklaring ... Et polynom i en variabel x er summen af endeligt mange udtryk, der hver for sig har formen a_kx ^ k for noget konstant a_k og ikke-negativt heltal k. Så nogle eksempler på typiske polynomer kan være: x ^ 2 + 3x-4 3x ^ 3-5 / 2x ^ 2 + 7 En polynom funktion er en funktion wholse værdier er defineret af et polynom. For eksempel: f (x) = x ^ 2 + 3x-4g (x) = 3x ^ 3-5 / 2x ^ 2 + 7 En nul af et polynom f (x) er en værdi på x sådan at f (x ) = 0. For eksempel er x = -4 en nul på f (x) = x ^ 2 + 3x-4. En rationel nul er et nul, der også er et rationelt tal, det vil sige Læs mere »

X = -1 + -i "Kontroller værdien af" farve (blå) "diskriminator" "med" a = 1, b = 2, c = 2 Delta = b ^ 2-4ac = 4-8 = -4 " da "Delta <0" har ligningen ingen egentlige løsninger "" løses ved hjælp af den "farve" (blå) kvadratiske formel "x = (- 2 + -sqrt (-4)) / 2 = (- 2 + -2i) / 2 rArrx = -1 + -i "er løsningerne" Læs mere »

Identitet: f (x) = x Firkant: f (x) = x ^ 2 Kube: f (x) = x ^ 3 Gensidig: f (x) = 1 / x = x ^ (- 1) Firkantet: f x) = sqrt (x) = x ^ (1/2) Eksponentiel: f (x) = e ^ x Logaritmisk: f (x) = ln (x) Logistisk: f (x) = 1 / (x) = Sine: f (x) = sin (x) Kosin: f (x) = cos (x) Absolut værdi: f (x) = abs (x) Integer Trin: f (x) = "int" (x) Læs mere »

R <1 / e er betingelsen for konvergensen af sum_ (n = 1) ^ over ^ ln (n) Jeg vil bare svare på delen om konvergensen, idet den første del er blevet besvaret i kommentarerne. Vi kan bruge r ^ ln (n) = n ^ ln (r) til at omskrive summen sum (n = 1) ^ over ^ ln (n) i form sum_ (n = 1) ^ oon ^ ln (r) = sum_ (n = 1) ^ oo 1 / n ^ p, qquad mbox {for} p = -ln (r) Serien til højre er serieformularen til den berømte Riemann Zeta-funktion. Det er velkendt, at denne serie konvergerer når p> 1. Ved hjælp af dette resultat gives direkte -ln (r)> 1 betyder ln (r) <- 1 betyder r <e ^ -1 = 1 / e Læs mere »

Ujævnelsen er kvadratisk i form. Trin 1: Vi kræver nul på den ene side. x ^ 6 + x ^ 3 - 6 ge 0 Trin 2: Siden venstre side består af en konstant term, et mellemfrist og et udtryk, hvis eksponent er nøjagtigt det dobbelte på mellemfristen, er denne ligning kvadratisk "i form. " Vi enten faktor det som en kvadratisk, eller vi bruger den kvadratiske formel. I dette tilfælde er vi i stand til at faktor. Ligesom y ^ 2 + y - 6 = (y + 3) (y - 2) har vi nu x ^ 6 + x ^ 3 - 6 = (x ^ 3 + 3) (x ^ 3-2). Vi behandler x ^ 3 som om det var en simpel variabel, y. Hvis det er mere nyttigt, kan du Læs mere »

9x ^ 2 + 16y ^ 2 = 144 Opdel hvert udtryk med 144. (9x ^ 2) / 144 + (16y ^ 2) / 144 = 144/144 Forenkle (x ^ 2) / 16 + (y ^ 2) / 9 = 1 Hovedaksen er x-aksen, fordi den største nævneren er under x ^ 2 termen. Koordinaterne af knudepunkterne er som følger ... (+ -a, 0) (0, + - b) a ^ 2 = 16 -> a = 4 b ^ 2 = 4 -> b = 2 (+ -4, 0) (0, + - 2) Læs mere »

Jeg synes der er noget galt med spørgsmålet, se venligst nedenfor. Udvidelsen af dit udtryk giver frac {(x + 6) ^ 2} {4} = 1 derfor (x + 6) ^ 2 = 4 derfor x ^ 2 + 12x + 36 = 4 derfor x ^ 2 + 12x + 32 = 0 Dette er ikke rigtig ligningen for noget, du kan grave, da en graf repræsenterer en relation mellem x-værdierne og y-værdierne (eller dog generelt forholdet mellem en uafhængig variabel og en afhængig). I dette tilfælde har vi kun en variabel, og ligningen er lig med nul. Det bedste, vi kan gøre i dette tilfælde er at løse ligningen, dvs. at finde værdierne af x, Læs mere »

Vinklerne er (3,0), (-1,0), (1,3), (-1, -3) Foci er (1, sqrt5) og (1, -sqrt5) Lad os omarrangere ligningen ved at udfylde firkanter 9x ^ 2-18x + 4y ^ 2 = 27 9 (x ^ 2-2x + 1) + 4y ^ 2 = 27 + 9 9 (x-1) ^ 2 + 4y ^ 2 = 36 Fordeling med 36 (x- 1) ^ 2/4 + y ^ 2/9 = 1 (x-1) ^ 2/2 ^ 2 + y ^ 2/3 ^ 2 = 1 Dette er ligningen for en ellipse med en lodret hovedakse Sammenligning af denne ligning til (xh) ^ 2 / a ^ 2 + (yk) ^ 2 / b ^ 2 = 1 Centret er = (h, k) = (1,0) Vinklerne er A = (h + a, k) = (3,0); A '= (h-a, k) = (- 1,0); B = (h.k + b) = (1,3); B '= (h, kb) = (1, -3) For at beregne foci har vi brug for c = sqrt (b ^ 2-a ^ 2 Læs mere »

Det første forsøg på at gøre er at forsøge at faktor den polinomi. For resten af sætningen skal vi beregne f (h) for alle de heltalstal, der deler 216. Hvis f (h) = 0 for et tal h, så er dette et nul. Divisorerne er: + -1, + - 2, ... Jeg forsøgte nogle små af dem, der fungerede ikke, og den anden var for stor. Så denne polinomi kan ikke faktoriseres. Vi må prøve en anden måde! Lad os prøve at studere funktionen. Domænet er (-oo, + oo), grænserne er: lim_ (xrarr + -oo) f (x) = + - oo og så er der ikke nogen somymptoter af nogen type (skr&# Læs mere »

Da log_3 (13) = 1 / (log_13 (3)) har vi (log_3 (13)) (log_13 (x)) (log_x (y)) = (log_13 (x) / (log_13 (3))) (y)) Kvoten med en fælles base på 13 følger ændringen af basisformlen, således at log_13 (x) / (log_13 (3)) = log_3 (x) og venstre side er lig med (log_3 (x)) (log_x (y)) Da log_3 (x) = 1 / (log_x (3)) er venstre side lig med log_x (y) / log_x (3), hvilket er en ændring af basis for log_3 (y) Nu hvor vi ved, at log_3 (y) = 2, konverterer vi til eksponentiel form, således at y = 3 ^ 2 = 9. Læs mere »

Du vil begynde med at dividere hvert udtryk med 4 for at ende med ... x ^ 2 + y ^ 2 = 4 Dette er en ligning for en cirkel, (xh) ^ 2 + (yk) ^ 2 = r ^ 2, hvor (h, k) er midten af cirklen og r = radius I vores problem (h, k) er (0,0) og r ^ 2 = 4 sqrt (r ^ 2) = sqrt (4) r = 2 Det er ligningen for en cirkel med et center ved (0,0) og en radius på 2. Læs mere »

Find først koefficienterne for x ^ 2 termen, A og y ^ 2 termen, C. A = 2 C = 6 Karakteristik af en ellipse. A * C> 0 A! = C 2 * 6> 0 Ægte 2! = 6 Ægte Dette er en ellipse. Læs mere »

I dette problem vil vi stole på at fuldføre den firkantede teknik til at massere denne ligning i en ligning, som er mere genkendelig. x ^ 2-4x + 4y ^ 2 + 8y = 60 Lad os arbejde med x termen (-4/2) ^ 2 = (- 2) ^ 2 = 4, Vi skal tilføje 4 til begge sider af ligningen x ^ 2-4x + 4 + 4y ^ 2 + 8y = 60 + 4 x ^ 2-4x + 4 => (x-2) ^ 2 => Perfekt kvadratisk trinomisk Re-skriv ligning: (x-2) ^ 2 + 4y ^ 2 + 8y = 60 + 4 Lad os fakse en 4 fra y ^ 2 & y termerne (x-2) ^ 2 + 4 (y ^ 2 + 2y) = 60 + 4 Lad os arbejde med y-termen (2 / 2) ^ 2 = (1) ^ 2 = 1, Vi skal tilføje 1 til begge sider af ligningen, men husk a Læs mere »

Denne ligning er i nær standard fra. Vilkårene skal bestilles igen. Aks ^ 2 + Bxy + Cy ^ 2 + Dx + Ey + F = 0 x ^ 2 + xy + y ^ 2-x + 2y = 0 Vi har brug for koefficienterne A og C for at bestemme. A = 1 C = 1 A = C 1 = 1 Dette er en cirkel. Læs mere »

Ellipse Hvis a, b og 2h er koefficienterne af betingelserne i x ^ 2. y ^ 2 og xy, så repræsenterer andengradsligningen en ellipsparabola eller hyperbola som ab-h ^ 2>. = eller <0. Her er ab-h ^ 2 = 225> 0. Ligningen kan omorganiseres som (x + 2) ^ 2/9 + (y-1) ^ 2/25 = 1. Ellens censjon C er (-2,1). Semiakser a = 5 og b = 3. Hovedaksen er x = -2 er parallel med y-akse. Ekscentricitet e = sqrt (9 ^ 2-5 ^ 2) / 5 = 2sqrt14 / 5. For foci S og S ', CS = CS' = ae = sqrt14. Foci: (-2, 1 + sqrt14) og (-2,1 -sqrt14) Læs mere »

Hyperbel. Cirkel (x - h) ^ 2 + (y - k) ^ 2 = r ^ 2 Ellipser (x - h) ^ 2 / a ^ 2 + (y - k) ^ 2 / b ^ 2 = 1 (x - h ) ^ 2 / b ^ 2 + (y - k) ^ 2 / a ^ 2 = 1 Parabola y - k = 4p (x - h) ^ 2 x - h = 4p (y - k) ^ 2 Hyperbola h) ^ 2 / a ^ 2 - (y - k) ^ 2 / b ^ 2 = 1 (y - k) ^ 2 / a ^ 2 - (x - h) ^ 2 / b ^ 2 = 1 Læs mere »

For ellipser, a> = b (når a = b, vi har en cirkel) a repræsenterer halv længden af hovedaksen, mens b repræsenterer halv længden af mindre akse. Dette betyder, at ellipsens hovedakse er enheden (vandret eller lodret) fra midten (h, k), mens ellipsens mindre akse er b-enheder (lodret eller vandret) fra midten. Ellipsens foci kan også fås fra a og b. En ellipsens foci er f enheder (langs hovedaksen) fra ellipsens centrum, hvor f ^ 2 = a ^ 2 - b ^ 2 Eksempel 1: x ^ 2/9 + y ^ 2/25 = 1 a = 5 b = 3 (h, k) = (0, 0) Da a er under y er hovedaksen lodret. Så hovedpunktets endepunkter er ( Læs mere »

En funktions endeadfærd er opførelsen af grafen for funktionen f (x), når x nærmer sig positiv uendelighed eller negativ uendelighed. En funktions endeadfærd er opførelsen af grafen for funktionen f (x), når x nærmer sig positiv uendelighed eller negativ uendelighed. Dette bestemmes af graden og den førende koefficient for en polynomial funktion. For eksempel i tilfælde af y = f (x) = 1 / x, som x -> + - oo, f (x) -> 0. graf {1 / x [-10, 10, -5, 5]} Men hvis y = f (x) = (3x ^ 2 + 5) / ((x + 2) (x + 7)) som x-> + -oo, y-> 3 graf {(3x ^ 2 + 5) / ((x + 2) (x + 7) Læs mere »

En lineær funktion modellerer en retlinie, som har en konstant hældning eller en ændringshastighed. Der er forskellige former for lineære ligninger. Standardformular Ax + By = C hvor A, B og C er reelle tal. Hældningsindskrænkning Form y = mx + b hvor m er hældningen, og b er y-intercept Point Slope Form (y-y_1) = m (x-x_1) hvor (x_1, y_1) er et punkt på linjen og m er hældningen. Læs mere »

Refleksionen af den eksponentielle funktion på aksen y = x Logaritmer er den inverse af en eksponentiel funktion, så for y = a ^ x ville logfunktionen være y = log_ax. Så fortæller logfunktionen dig, hvilken kraft en skal hæves til, for at få x. Graf for lnx: graf {ln (x) [-10, 10, -5, 5]} Graf af e ^ x: graf {e ^ x [-10, 10, -5, 5]} Læs mere »

"Det er ikke muligt" "0 skal være i intervallet." "Da 0 er i rækken, og 0 er et rationelt tal, kan vi ikke" "have dette." "Tænk på det: Funktionen skal passere over X-aksen, hvis ikke" "funktionen ikke ville være kontinuerlig overalt." Læs mere »

Vec {a} quad "og" quad vec {b} quad "vil være ortogonale præcist, når:" qquad qquad qquad qquad qquad quad k = -10 / 3. # "Husk det for to vektorer:" qquad vec {a}, vec {b} qquad "vi har:" qquad vec {a} quad "og" quad vec {b} qquad quad " er ortogonale " qquad qquad vec {a} cdot vec {b} = 0." Således: " qquad <-2, 3> quad" og " quad <-5, k> qquad quad "er ortogonale" qquad qquad hArr qquad qquad <-2, 3> cdot <-5, k> = 0 qquad qquad hArr qquad qquad qquad ) (-5) + (3) (k) = 0 qquad qquad qqua Læs mere »

A = b = c De generiske udtryk for en AP-sekvens kan repræsenteres af: sf ({a, a + d, a + 2d}) Vi fortælles at {a, b, c}, og vi bemærker, at hvis vi tager et højere udtryk og trække sit tidligere udtryk får vi den fælles forskel; således c-b = b-a:. 2b = a + c ..... [A] De generiske udtryk for en GP-sekvens kan repræsenteres af: sf ({a, ar, ar ^ 2}) Vi fortælles at {a ^ 2, b ^ 2, c ^ 2}, og vi bemærker, at hvis vi tager et højere term og opdeler ved sin tidligere term, får vi det fælles forhold, således: c ^ 2 / b ^ 2 = b ^ 2 / a ^ 2 => c / b = b Læs mere »

"Se forklaring" z ^ 3 - 1 = 0 "er ligningen der giver kubens rødder af" "enhed. Så vi kan anvende teorien om polynomer til at konkludere at" z_1 * z_2 * z_3 = 1 "(Newtons identiteter )." "Hvis du virkelig vil beregne det og tjekke det:" z ^ 3 - 1 = (z - 1) (z ^ 2 + z + 1) = 0 => z = 1 "OR" z ^ 2 + z + 1 = 0 => z = 1 "OR" z = (-1 pm sqrt (3) i) / 2 => (z_1) * (z_2) * (z_3) = 1 * ((- 1 + sqrt ) / 2) * (- 1-kvadrat (3) i) / 2 = 1 * (1 + 3) / 4 = 1 Læs mere »

K = 1/3 Givet f (x) = klog_2x og f ^ -1 (1) = 8 Vi ved, at hvis f ^ -1 (x) = y så f (y) = x. Så i den anden ligning betyder det, at f (8) = 1 Vi har den første ligning der, så vi erstatter x = 8 og f (x) = 1 for at få 1 = klog_2 (8) Jeg er sikker på at du ved hvad skal man gøre herfra for at få ovenstående svar. Tip: - log_xy ^ z = zlog_xy log_x (x) = 1 Læs mere »

Svaret er = - (I + p + ......... p ^ (n-1)) Vi ved, at p ^ -1p = I I + p + p ^ 2 + p ^ 3 .... .p ^ n = O Multiplicere begge sider med p ^ -1 p ^ -1 * (1 + p + p ^ 2 + p ^ 3 ..... p ^ n) = p ^ -1 * 0 p ^ 1 * 1 + p ^ -1 * p + p ^ -1 * p ^ 2 + ...... p ^ -1 * p ^ n = 0 p ^ -1 + (p ^ -1p) + (p ^ -1 * p * p) + ......... (p ^ -1p * p ^ (n-1)) = O p ^ -1 + (I) + (I * p) +. ........ (I * p ^ (n-1)) = O Derfor p ^ -1 = - (I + p + ......... p ^ (n-1)) Læs mere »

5 Lad de fire vektorer k_1, k_2, k_3 og k_4 danne grundlaget for vektorrummet K. Da K er et underrum af V, danner disse fire vektorer et lineært uafhængigt sæt i V. Da L er et underrum af V, der er forskellig fra K , skal der være mindst ét element, siger l_1 i L, som ikke er i K, dvs. som ikke er en lineær kombination af k_1, k_2, k_3 og k_4. Så er sætet {k_1, k_2, k_3, k_4, l_1} et lineært uafhængigt sæt af vektorer i V. Dermed er dimensionen af V mindst 5! Faktisk er det muligt for spændvidden af {k_1, k_2, k_3, k_4, l_1} at være hele vektorrummet V - s Læs mere »

Scalars are multiplied in. 3A= -2C= To add the vectors, simply add each component separately. 3A+(-2C)= = Læs mere »

(-6,4,3) Til vektoraddition adskiller du simpelthen de tilsvarende komponenter. Og vektor subtraktion defineres som A-B = A + (- B), hvor -B kan defineres som skalær multiplikation af hver komponent med -1. Så i dette tilfælde er -A + B-C = (- 1-2-3,0 + 5-1,3 + 1-1) = (- 6,4,3) Læs mere »

Bestemmende for er M + N = 69 og MXN = 200ko Man må også definere sum og produkt af matricer. Men det antages her, at de er lige som defineret i tekstbøger til 2xx2 matrix. M + N = [(- 1,2), (- 3, -5)] + [(- 6,4), (2, -4)] = [(- 7,6), (- 1, - 9)] Derfor er dens determinant (-7xx-9) - (- 1xx6) = 63 + 6 = 69 MXN = [(((- 1) xx (-6) + 2xx2), ((- 1) xx4 + 2xx (-4))), ((- 1) xx2 + (- 3) xx (-4)), ((- 3) xx4 + (- 5) xx (-4)))] = [(10, -12 ), (10,8)] Derfor deeminant af MXN = (10xx8 - (- 12) xx10) = 200 Læs mere »

Kvadratiske funktioner har grafer kaldet parabolas. Den første graf af y = x ^ 2 har begge "ender" af grafen pegende opad. Du vil beskrive dette som overskrift mod uendelig. Ledningskoefficienten (multiplikator på x ^ 2) er et positivt tal, hvilket får parabolen til at åbne opad. Sammenlign denne opførsel med den for den anden graf, f (x) = -x ^ 2. Begge ender af denne funktion peger nedad til negativ uendelighed. Ledningskoefficienten er negativ denne gang. Nu, når du ser en kvadratisk funktion med bly-koefficienten positiv, kan du forudsige dens endeadfærd, når begge ende Læs mere »

-24883200 "Dette er afgørende for en Vandermonde matrix." "Det er kendt, at determinanten er så et produkt af" "forskellene i basisnumrene (det eller taget til successive" "beføjelser)." "Så her har vi" (6!) (5!) (4!) (3!) (2!) "= 24.883,200" "Der er dog en forskel dog med Vandermonde matrixen" "og det er, at de laveste kræfter er normalt på venstre side af matrixen, så kolonnerne spejles, giver dette et ekstra "" minustegn til resultatet: "" determinant = -24.883,200 " Læs mere »

Du skriver ud den sjette række af Pascals trekant og foretager de nødvendige udskiftninger. > Pascals trekant er Tallene i den femte række er 1, 5, 10, 10, 5, 1. De er koefficienterne af betingelserne i en femte rækkepolynom. (x + y) ^ 5 = x ^ 5 + 5x ^ 4y + 10x ^ 3y ^ 2 + 10x ^ 2y ^ 3 + 5xy ^ 4 + y ^ 5 Men vores polynom er (x + 2) ^ 5. (x + 2) ^ 5 = x ^ 5 + 5x ^ 4 × 2 + 10x ^ 3 × 2 ^ 2 + 10x ^ 2 × 2 ^ 3 + 5x × 2 ^ 4 + 2 ^ 5 (x + 2) ^ 5 = x ^ 5 + 10x ^ 4 + 40x ^ 3 + 80x ^ 2 + 80x + 32 Læs mere »

Som forklaret nedenfor I statistikken, når to variabler sammenlignes, betyder negativ korrelation, at når en variabel stiger, falder den anden eller omvendt. En perfekt negativ korrelation er repræsenteret ved værdien -1,00, mens en 0,00 indikerer ingen korrelation og en +1,00 indikerer en perfekt positiv korrelation. En perfekt negativ korrelation betyder, at forholdet, der synes at eksistere mellem to variabler, er negativt 100% af tiden. Læs mere »

Før vi begynder at fortolke vores hyperbola, vil vi først sætte det i standardformular. Betydning, vi vil have, at det er i y ^ 2 / a ^ 2 - x ^ 2 / b ^ 2 = 1 form. For at gøre dette, begynder vi ved at dividere begge sider med 36, for at få 1 på venstre side. Når det er gjort, skal du have: y ^ 2/4 - x ^ 2/9 = 1 Når du har dette, kan vi lave et par observationer: Der er ingen h og k Det er ay ^ 2 / a ^ 2 hyperbola ( hvilket betyder at den har en lodret tværgående akse. Nu kan vi begynde at finde nogle ting. Jeg vil guide dig igennem hvordan du finder nogle af de ting, de fl Læs mere »

Se venligst forklaringen nedenfor. Den generelle ligning for en hyperbola er (xh) ^ 2 / a ^ 2- (yk) ^ 2 / b ^ 2 = 1 Her er ligningen (x-1) ^ 2/2 ^ 2- (y + 2) ^ 2/3 ^ 2 = 1 a = 2 b = 3 c = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) = sqrt (4 + 9) = sqrt13 Centret er C = (h, k) = (1, -2) Spidserne er A = (h + a, k) = (3, -2) og A '= (ha, k) = (- 1, -2) Foci er F = + c, k) = (1 + sqrt13, -2) og F '= (hc, k) = (1-sqrt13, -2) Ekscentriciteten er e = c / a = sqrt13 / 2 graf { 1) ^ 2 / 4- (y + 2) ^ 2 / 9-1) = 0 [-14,24, 14,25, -7,12, 7,12]} Læs mere »

Ret meget! Her har vi standard hyperbolisk ligning. (xh) ^ 2 / a ^ 2- (yk) ^ 2 / b ^ 2 = 1 Centret er ved (h, k) Den halvtransversale akse er a Den halvkonjugerede akse er b Grafernes hjørner er (h + a, k) og (ha, k) Gradenes fokser er (h + a * e, k) og (ha * e, k) Gradenes direktiver er x = h + a / e og x = h - a / e Her er et billede, der hjælper. Læs mere »

Ifølge faktoretningen: Hvis x = a opfylder polynomet P (x), dvs. hvis x = a er en rot af polynomækvationen P (x) = 0, så vil (x-a) være en faktor af polynomet P (x) Læs mere »

Det betyder, at hvis en kontinuert funktion (i et interval A) tager 2 separate værdier f (a) og f (b) (a, b i A selvfølgelig), så vil det tage alle værdierne mellem f (a) og f (b). For at huske eller forstå det bedre, skal du vide, at matematisk ordforråd bruger mange billeder. For eksempel kan du helt forestille dig en stigende funktion! Det er det samme her, med mellemliggende kan du forestille dig noget mellem 2 andre ting, hvis du ved hvad jeg mener. Tøv ikke med at stille spørgsmål, hvis det ikke er klart! Læs mere »

12,5, 15, 17,5 Sekvensen bruger en sekvens, hvor den øges med 2,5 hver gang. For et kort svar, hvor du kun leder efter de næste tre udtryk, kan du bare tilføje det, eller hvis du skal finde et svar, der for eksempel er 135. i sekvensen ved hjælp af ligningen: a_n = a_1 + (n- 1) d Så det ville være: a_n = 2.5 + (135-1) 2.5 som svarer til farve (blå) (337.5 Jeg håber det hjælper! Læs mere »

Hvad vil du vide om det? Resterende sætning betyder hvad det siger. Hvis en polynom P (x) er divideret med x-n, er resten P (n). Så hvis for eksempel P (x) = 3x ^ 4-7x ^ 2 + 2x-8 er divideret med x-3, er resten P (3). Læs mere »

Dette er en lineær ligning. En lineær ligning er repræsentationen af lige linje. Denne særlige ligning kaldes hældningsaflytningsform. M i formlen er hældningen. B i formlen er hvor linjen skærer y-aksen kaldes dette y-afsnit. Læs mere »

Den kvadratiske formel bruger koefficienterne for den kvadratiske ligning i standardformular, når den er lig med nul (y = 0). En kvadratisk ligning i standardform ligner y = ax ^ 2 + bx + c. Den kvadratiske formel er x = (-b + - sqrt (b ^ 2 - 4ac)) / (2a), når y = 0. Her er et eksempel på hvordan koefficienterne i den kvadratiske ligning anvendes som variabler i den kvadratiske formel : 0 = 2x ^ 2 + 5x + 3 Dette betyder a = 2, b = 5 og c = 3. Så den kvadratiske formel bliver: x = (-5 + - sqrt (5 ^ 2 - 4 (2) )) / (2 * 2) x = (-5 + - sqrt (25 - 4 (2) (3))) / (2 * 2) x = (-5 + - sqrt (25-24)) / (2 * 2) x = Læs mere »

-1,22x, -220x ^ 2,28160x ^ 9, -11264x ^ 10,2048x ^ 11 (ax + b) ^ n = sum_ (r = 0) ^ n (n), (r)) ^ rb ^ (nr) = sum_ (r = 0) ^ n (n!) / (r! (nr!!) (ax) ^ rb ^ (nr) Så vi vil have rin {0,1,2,9 , 10,11} (11!) / (0! (11-0)!) (2x) ^ 0 (-1) ^ 11 = 1 (1) (- 1) = - 1 (11!) / ! (11-1)!) (2x) ^ 1 (-1) ^ 10 = 11 (2x) (1) = 22x (11!) / (2! (11-2)!) (2x) ^ 2 -1) ^ 9 = 55 (4x ^ 2) (- 1) = - 220x ^ 2 (11!) / (9! (11-9)!) (2x) ^ 9 (-1) ^ 2 = 55 512x ^ 9) (1) = 28160x ^ 9 (11!) / (10! (11-10)!) (2x) ^ 10 (-1) ^ 1 = 11 (1024x ^ 10) 11264x ^ 10 (11!) / (11! (11-11)!) (2x) ^ 11 (-1) ^ 0 = 1 (2048x ^ 11) (1) = 2048x ^ 11 Disse er de fø Læs mere »

Lad os først gøre det på den hårde måde. Du forsøger at finde ud af løsningen for n! = 720 Dette betyder 1 * 2 * 3 * ... * n = 720 Du kan opdele med alle konsequtive tal, indtil du ender med 1 som resultat: 720 // 1 = 720, 720 // 2 = 360,360 // 3 = 120 osv. GC (TI-83): MATH - PRB -! Og prøv et par tal. Svar: 6 Læs mere »

Se nedenunder. Ifølge faktor sætning, hvis (x-4) er en faktor, så vil f (4) = 0 derfor lade f (x) = x ^ 2-3x-4f (4) = 4 ^ 2-3 (4) - 4 = 16-12-4 = 16-16 = 0 derfor (x-4) er en faktor. Læs mere »

Den endelige adfærd af kubiske funktioner eller en funktion med en overordnet ulige grad går i modsatte retninger. Kubiske funktioner er funktioner med en grad på 3 (dermed kubisk), hvilket er mærkeligt. Lineære funktioner og funktioner med ulige grader har modsatte endeadfærd. Formatet for at skrive dette er: x -> oo, f (x) -> oo x -> -oo, f (x) -> - oo For billedet nedenfor, som x går til oo, er y-værdien er også stigende til uendelig. Men som x nærmer sig -oo, fortsætter y-værdien med at falde; For at teste venstre adfærd skal du se grafen fra Læs mere »

Generelt: For en eksponentiel funktion, hvis eksponent har tendens til at + - oo som x-> oo, har funktionen tendens til at være oo eller 0 som x-> oo. Bemærk at dette også gælder for x -> - oo Yderligere, som eksponenten nærmer sig + -oo, vil minutændringer i x (typisk) føre til drastiske ændringer i værdien af funktionen. Bemærk, at adfærd ændres for funktioner, hvor basen af den eksponentielle funktion, dvs. a i f (x) = a ^ x, er sådan, at -1 <= a <= 1. De der involverer -1 <= a <0 vil opføre sig mærkeligt (da f (x) ikke vil Læs mere »

TLDR: Lang version: Hvis eksponenten af en strømfunktion er negativ, har du to muligheder: Eksponenten er lige, eksponenten er mærkelig Eksponenten er lige: f (x) = x ^ (- n) hvor n er jævnt. Alt til den negative effekt betyder den gensidige kraft. Dette bliver f (x) = 1 / x ^ n. Lad os nu se på, hvad der sker med denne funktion, når x er negativt (til venstre for y-aksen) Nævneren bliver positiv, da du multiplicerer et negativt tal i sig selv en lige lang tid. The smallerx er (mere til venstre), jo højere nævneren får. Jo højere nævneren bliver, desto mindre bliver r Læs mere »

Der er yderligere spørgsmål spurgt om graferne og ligningerne, men for at få en god skitse af grafen: Du skal vide, om akserne er blevet roteret. (Du skal bruge trigonometri for at få grafen, hvis den har været.) Du skal identificere typen eller typen af konisk sektion. Du skal sætte ligningen i standardform for sin type. (Du behøver ikke "dette" til at afgrænse noget som y = x ^ 2-x, hvis du skal regne med en skitse baseret på at den er en opadgående parabola med x-aflytter 0 og 1) Afhængigt af type konisk, skal du bruge andre oplysninger afhængigt af Læs mere »

Hvis det er kendt, er hyperbolas ligning, det vil sige: (x-x_c) ^ 2 / a ^ 2- (y-y_c) ^ 2 / b ^ 2 = + - 1, vi kan grafere hyperbolerne på denne måde: find centret C (x_c, y_c); Lav et rektangel med midten i C og med siderne 2a og 2b; Tegn de linjer, der passerer fra rektangelens modsatte vinkler (asymptoterne); hvis tegnet på 1 er +, end de to grene er tilbage og til højre for rektangulæret, og hjørnerne er midt på de vertikale sider, hvis tegnet på 1 er - end de to grene er op og ned af rektanglen og hjørnerne er i midten af de vandrette sider. Læs mere »

(7 + 6i) / (10 + i) = 76/101 + 53 / 101i Vi kan gøre nævneren reel ved at multiplicere nævneren med dens komplekse konjugat, således: (7 + 6i) / (10 + i) = + (10i) / (10 + i) * (10-i) / (10-i) "" = ((7 + 6i) (10-i)) / ((10 + i) "= (70 + 53i + 6) / (100 + 1)" "= (76 + 53i) / (100i10i + 10i-i2) (101) "" = 76/101 + 53 / 101i Læs mere »

Se nedenfor. Cardioidkurve er nogle ting som en hjerteformet figur (det er hvordan ordet 'cardio' er kommet). Det er stedet for et punkt på omkredsen af en cirkel, der bevæger sig på en anden cirkel uden at glide. Matematisk er den givet ved polærligningen r = a (1-costheta), til tider også skrevet som r = 2a (1-costheta). Det fremgår som vist nedenfor. Læs mere »

Der er flere definitioner af kontinuerlig funktion, så jeg giver dig flere ... Meget groft sagt er en kontinuerlig funktion en, hvis graf kan tegnes uden at løfte din pen fra papiret. Det har ingen diskontinuiteter (hopper). Meget mere formelt: Hvis A sub RR så f (x): A-> RR er kontinuerlig iff AA x i A, delta i RR, delta> 0, EE epsilon i RR, epsilon> 0: AA x_1 i (x - epsilon , x + epsilon) nn A, f (x_1) i (f (x) - delta, f (x) + delta) Det er snarere en mundfuld, men betyder i princippet, at f (x) ikke pludselig hopper i værdi.Her er en anden definition: Hvis A og B er sæt med en definiti Læs mere »

Det er en sekvens af tal, der går ned på en regelmæssig, lineær måde. Et eksempel er 10,9,8,7, ... der går ned 1 hvert trin eller trin = -1. Men 1000, 950, 900, 850 ... ville også være en, fordi det går ned 50 hvert trin, eller trin = -50. Disse trin kaldes den 'fælles forskel'. Regel: En aritmetisk sekvens har en konstant forskel mellem to trin. Dette kan være positivt, eller (i dit tilfælde) negativt. Læs mere »

En diskontinuerlig funktion er en funktion med mindst et punkt, hvor det ikke er kontinuerligt. Det er lim_ (x-> a) f (x) eksisterer heller ikke eller er ikke lig med f (a). Et eksempel på en funktion med en simpel aftagelig diskontinuitet ville være: z (x) = {(1, hvis x = 0), (0, hvis x! = 0):} Et eksempel på en patologisk diskontinuerlig funktion fra RR at RR ville være: r (x) = {(1, "hvis x er rationelt"), (0, "hvis x er irrationel"):} Dette er diskontinuerligt på hvert punkt. Overvej funktionen q (x) = {(1, "hvis x = 0"), (1 / q, "hvis x = p / q for heltal Læs mere »

En venstre grænse betyder grænsen for en funktion, som den nærmer sig fra venstre side. På den anden side betyder en højre grænse grænsen for en funktion, som den nærmer sig fra højre side. Når man får grænsen for en funktion, når den nærmer sig et tal, er ideen at kontrollere funktionsfunktionen, da den nærmer sig nummeret. Vi erstatter værdier så tæt som muligt på det nummer, der henvender sig til. Det nærmeste tal er nummeret der henvendes til sig selv. Derfor erstatter man som regel bare det nummer, der bliver henvendt t Læs mere »

Hvis vi har en grænse nedenunder, er det det samme som en grænse fra venstre (mere negativ). Vi kan skrive dette som følgende: lim_ (x-> 0 ^ -) f (x) i stedet for den traditionelle lim_ (x -> 0) f (x) Dette betyder, at vi kun overvejer, hvad der sker, hvis vi starter med et nummer lavere end vores grænseværdi og nærmer den fra den retning. Dette er generelt mere interessant med en Piecewise funktion. Forestil dig en funktion, der er defineret som y = x for x <0 og y = x + 1 for x> 0. Vi kunne forestille os, at 0 er et lille hop. Det skal se sådan ud: graf / (2x) + 1/2 + x [-3, Læs mere »

Logaritmen base b af et tal n er tallet x, når b hæves til xth power, er den resulterende værdi n log_b n = x <=> b ^ x = n Eksempel: log_2 8 = x => 2 ^ x = 8 => 2 ^ x = 2 ^ 3 => x = 3 log_5 1 = x => 5 ^ x = 1 => 5 ^ x = 5 ^ 0 => x = 0 Læs mere »

En logistisk funktion er en form for sigmoidfunktion, der typisk findes i modelleringsbefolkningstilvækst (se nedenfor). Her er grafen for en typisk logistisk funktion: Grafen starter ved en basepopulation og vokser næsten eksponentielt, indtil den begynder at nærme sig den befolkningsgrænse, der pålægges af miljøet. Bemærk, at logistiske modeller også anvendes på en række andre områder (fx neurale netværksanalyser osv.), Men vækstmodelapplikationen er sandsynligvis det nemmeste at visualisere. Læs mere »