Calculus

Strømregel: (dy) / (dx) [x ^ n] = n * x ^ (n-1) Strømregel + kæderegel: (dy) / (dx) [u ^ n] = n * u ^ -1) * (du) / (dx) Lad os = 2x så (du) / (dx) = 2 Vi er tilbage med y = sqrt (u) som kan omskrives som y = u ^ Nu kan (dy) / (dx) findes ved hjælp af kraftreglen og kædelegemet. Tilbage til vores problem: (dy) / (dx) = 1/2 * u ^ (- 1/2) * (du) / (dx) plugging (du) / (dx) vi får: dx) = 1/2 * u ^ (- 1/2) * (2) vi ved det: 2/2 = 1 derfor, (dy) / (dx) = u ^ (- 1/2) Plugging i værdien for dig finder vi det: (dy) / (dx) = 2x ^ (- 1/2) Læs mere »

Dy / dx = (ycos (xy)) / (1-xcos (xy)) Ved hjælp af implicit differentiering, får produktreglen og kædelegemet d / dxy = d / dxsin (xy) => dy / dx = cos (xy) (d / dx (xy)) = cos (xy) [x (d / dxy) + y (d / dxx)] = cos (xy) (xdy / dx + y) = xcos / dx + ycos (xy) => dy / dx - xcos (xy) dy / dx = ycos (xy) => dy / dx (1-xcos (xy)) = ycos (xy): dy / dx = (ycos (xy)) / (1-xcos (xy)) Læs mere »

Det giver os momentumligningen med hensyn til hastighed ... Funktionen eller ligningen for kinetisk energi er: bb (KE) = 1 / 2mv ^ 2 Ved at tage derivatet i betragtning af hastigheden (v) får vi: d / (dv) (1 / 2mv ^ 2) Tag konstanterne ud for at få: = 1 / 2m * d / (dv) (v ^ 2) Brug nu strømreglen, som angiver, at d / dx (x ^ n) = nx ^ 1) for at få: = 1 / 2m * 2v Forenkle for at få: = mv Hvis du lærer fysik, skal du tydeligt se, at dette er ligningen for momentum, og siger at: p = mv Læs mere »

(dv) / dt = (2pirh) / 3 ((dr) / dt) + (pir ^ 2/3 ((dh) / dt) hvis du har relaterede satser, er du sandsynligvis differentierende med hensyn til t eller tid: d / dt (v) = d / dt (pi / 3r ^ 2h) (dv) / dt = pi / 3d / dt (r2h) (dv) / dt = pi / 3 (d / dt (dv) / dt = pi / 3 (2rd / dt (r) h + (dh) / dtr2 (2r ((dr) / dt) h + ((dh) / dt) r2) (dv) / dt = (2pirh) / 3 ((dr) / dt) + (pir ^ 2/3 ( ) / dt) Læs mere »

Nå, når jeg tænker på derivat med tiden, tænker jeg på noget, der ændres, og når spændingen er involveret, tænker jeg på kondensatorer. En kondensator er en enhed, der kan lagre ladning Q, når en spænding V påføres. Denne enhed har karakteristika (fysisk, geometrisk) beskrevet af en konstant kaldet kapacitans C. Forholdet mellem disse mængder er: Q (t) = C * V (t) Hvis du udlede med tiden, får du strømmen gennem kondensatoren til en varierende spænding: d / dtQ (t) = Cd / dtV (t) Hvor derivatet af Q (t) er strømmen, dvs: i ( Læs mere »

Dy / dx = x ^ (1 / x) (1-lnx) / x ^ 2) I disse situationer, hvor en funktion hæves til kraften i en funktion, bruger vi logaritmisk differentiering og implicit differentiering som følger: y = x ^ (1 / x) lny = ln (x ^ (1 / x)) Fra det faktum at ln (a ^ b) = blna: lny = lnx / x Differentiate (venstre side vil blive differentieret implicit) / y * dy / dx = (1-lnx) / x ^ 2 Løs for dy / dx: dy / dx = y ((1-lnx) / x ^ 2) Minner om at y = x ^ (1 / x): dy / dx = x ^ (1 / x) ((1-LNX) / x ^ 2) Læs mere »

Billedreference ... Håber det hjælper .... Læs mere »

Dy / dx = -1/2 ved (x, y) = (8, 1) Lad os først finde dy / dx ved hjælp af implicit differentiering: d / dx (x ^ (2/3) + y ^ ) = d / dx5 => 2 / 3x ^ (- 1/3) + 2 / 3y ^ (- 1/3) dy / dx = 0 => 2 / 3y ^ (- 1/3) dy / dx = - Nu vurderer vi dy / dx på vores givne punkt på (x, y) = (8, 1) dy / dx | _ ((x, y) = (8,1)) = - (8/1) ^ (- 1/3) = -8 ^ (- 1/3) = -1/2 Læs mere »

1/2 (x / 2) '= 1/2 (x)' = 1/2 * 1 = 1/2 Læs mere »

Y ^ '= 4x ^ 3 + 6x ^ 2 + 2x Du kan differentiere denne funktion ved at bruge sum- og strømreglerne. Bemærk, at du kan omskrive denne funktion som y = (x ^ 2 + x) ^ 2 = [x (x + 1)] ^ 2 = x ^ 2 * (x + 1) ^ 2 y = x ^ 2 * ^ 2 + 2x + 1) = x ^ 4 + 2x ^ 2 + x ^ 2 Nu fortæller sumregelen dig, at for funktioner, der tager formularen y = sum_ (i = 1) ^ (oo) f_i (x) kan finde derivatet af y ved at tilføje derivaterne af disse individuelle funktioner. farve (blå) (d / dx (y) = f_1 ^ '(x) + f_2 ^' (x) + ... I dit tilfælde har du y ^ '= d / dx (x ^ 4 + 2x ^ 2 + x ^ 2) y ^ '= d / dx (x ^ Læs mere »

Y = x ^ (e), så y '= e * x ^ (e-1) Da e er bare en konstant, kan vi anvende strømreglen for derivater, som fortæller os, at d / dx [x ^ n] = n * x ^ (n-1), hvor n er en konstant. I dette tilfælde har vi y = x ^ (e), så y '= e * x ^ (e-1) Læs mere »

Dy / dx = x ^ x (ln (x) +1) Vi har: y = x ^ x Lad os tage den naturlige log på begge sider. ln (y) = ln (x ^ x) Brug det faktum, at log_a (b ^ c) = clog_a (b), => ln (y) = xln (x) Anvend d / dx på begge sider. = d / dx (ln (y)) = d / dx (xln (x)) Kædelegemet: Hvis f (x) = g (h (x)), så f '(x) = g' (x)) * h '(x) Strømregel: d / dx (x ^ n) = nx ^ (n-1) hvis n er en konstant. Også d / dx (lnx) = 1 / x Endelig produktreglen: Hvis f (x) = g (x) * h (x), så f '(x) = g' (x) * h ) + g (x) * h '(x) Vi har: => dy / dx * 1 / y = d / dx (x) * ln (x) + x * d / dx (ln (x)) Læs mere »

For funktionen f (x) = x ^ n, bør n ikke være 0, af grunde, der bliver tydelige. n skal også være et helt tal eller et rationelt tal (dvs. en brøkdel). Reglen er: F (x) = x ^ n => f '(x) = nx ^ (n-1) Med andre ord "låner vi" kraften af x og gør den til derivatets koefficient og derefter trække 1 fra strømmen. f (x) = x ^ 2 => f '(x) = 2x ^ 1 f (x) = x ^ 7 => f' (x) = 7x ^ 6 f (x) = x ^ => f '(x) = 1/2 * x ^ (- 1/2) Som nævnt er den specielle sag hvor n = 0. Det betyder, at f (x) = x ^ 0 = 1 Vi kan bruge vores regel og teknisk få d Læs mere »

F '(x) = 2x / x ^ (1/2) X ^ (1/2) 1 + x ^ (- 1/2) x X / x ^ (1/2) + x / x ^ 2) 2x / x ^ (1/2) Læs mere »

Vi kan løse dette problem i et par trin ved hjælp af Implicit Differentiation. Trin 1) Tag derivatet fra begge sider med hensyn til x. (Delta) / (Deltax) (y ^ 2) = (Delta) / (Deltax) (x) Trin 2) For at finde (Delta) / (Deltax) (y ^ 2) skal vi bruge kædelegemet, fordi variablerne er forskellige. Kæderegel: (Delta) / (Deltax) (u ^ n) = (n * u ^ (n-1)) * (u ') Indsætte vores problem: (Delta) / (Deltax) (y ^ 2) = (Delta) / (Deltax) (Deltag) / (Deltax) Trin 3) Find (Delta) / (Deltax) (x) med den enkle strømregel, da variablerne er de samme. Strømregel: (Delta) / (Deltax) (x ^ n) = (n * x ^ Læs mere »

Dy / dx = x + x ^ -3> "differentier ved hjælp af" power (blue) "power rule" • farve (hvid) (x) d / dx (ax ^ n) = nax ^ (n-1) y = 1 / 2x ^ 2-1 / 2x ^ -2 rArrdy / dx = (2xx1 / 2) x ^ (2-1) - (- 2xx1 / 2) x ^ (- 2-1) farve (hvid) (rArrdy / dx) = x + x ^ -3 Læs mere »

Y = 3sin (x) -in (3x) y '= 3cosx- [cos (3x) * 3] farve (hvid) (ttttt ["anvendelse af kæderegel til" synd (3x)] y' = 3 (cosx-cos3x ) Læs mere »

Derivatet er 4x. Til dette kan vi bruge kraftreglen: frac d dx ax ^ n = nax ^ (n-1). Så hvis vi har y = 2x ^ 2 -5, er det eneste udtryk, der indebærer en x, 2x ^ 2, så det er det eneste udtryk, vi skal finde afledt af. (Derivatet af en konstant som -5 vil altid være 0, så vi behøver ikke bekymre os om det, da tilføjelse eller subtraktion 0 ikke ændrer vores overordnede derivat.) Efter strømreglen er frac d dx 2x ^ 2 = 2 (2) x ^ (2-1) = 4x. Læs mere »

Y '= 8sec ^ 2 (x) tan (x) Forklaring: lad os starte med generel funktion, y = (f (x)) ^ 2 differentiere med hensyn til x Brug kæderegel, y' = 2 * f (x) * f '(x) Tilsvarende følger for givet problem, giver y = 4 * sec ^ 2 (x) y' = 4 * 2 * sek (x) * sec (x) tan (x) y '= 8sec ^ 2 ) tan (x) Læs mere »

Svar: y '= sec (x) Fuld forklaring: Antag, y = ln (f (x)) Brug kæderegel, y' = 1 / f (x) * f '(x) Tilsvarende, hvis vi følger for problemet , så er y '= 1 / (sek (x) + tan (x)) * (sek (x) + tan (x))' y '= 1 / (x) tan (x) + sec ^ 2 (x)) y '= 1 / (sek (x) + tan (x)) * sec (x) (sek (x) + tan (x)) y' = sec (x) Læs mere »

Derivatet af y = sec ^ 2x + tan ^ 2x er: 4sec ^ 2xtanx Proces: Da derivatet af en sum er lig med summen af derivaterne, kan vi bare udlede sec ^ 2x og tan ^ 2x separat og tilføje dem sammen . For derivatet af sec ^ 2x skal vi anvende kædelegemet: F (x) = f (g (x)) F '(x) = f' (g (x)) g '(x) funktion er x ^ 2, og den indre funktion er secx. Nu finder vi derivatet af den ydre funktion, samtidig med at den indre funktion bliver den samme og multiplicerer den med derivatet af den indre funktion. Dette giver os: f (x) = x ^ 2 f '(x) = 2x g (x) = secx g' (x) = secxtanx Plugging disse i vores Chain Læs mere »

Efter produktregel kan vi finde y '= secx (1 + 2tan ^ 2x). Lad os se på nogle detaljer. y = secxtanx Efter produktregel, y '= secxtanx cdot tanx + secx cdot sec ^ 2x ved factoring ud sec x, = secx (tan ^ 2x + sec ^ 2x) med sec ^ 2x = 1 + tan ^ 2x, = secx 1 + 2tan ^ 2x) Læs mere »

Derivatet af tanx er sec ^ 2x. For at se hvorfor, skal du vide et par resultater. For det første skal du vide, at derivatet af sinx er cosx. Her er et bevis for det resultat af de første principper: Når du ved dette, betyder det også, at derivatet af cosx er -xin (som du også har brug for senere). Du skal kende endnu en ting, som er Quotient Rule for differentiering: Når alle disse stykker er på plads, går differentieringen som følger: d / dx tanx = d / dx sinx / cosx = (cosx. Cosx-sinx. -sinx)) / (cos ^ 2x) (ved anvendelse af kvotientregel) = (cos ^ 2x + sin ^ 2x) / (cos ^ 2x) Læs mere »

D / dx (x ^ 2-5x + 10) = 2x-5 Effektreglen giver derivatet af et udtryk for formen x ^ n. d / dx x ^ n = n * x ^ {n-1} Vi skal også bruge lineariteten af derivatet d / dx (a * f (x) + b * g (x)) = a * d / dx f (x)) + b * d / dx (g (x)) og at derivatet af en konstant er nul. Vi har f (x) = x ^ 2-5x + 10 d / dxf (x) = d / dx (x ^ 2-5x + 10) = d / dx (x ^ 2) -5d / dx (x) + d / dx (10) = 2 * x ^ 1-5 * 1 * x ^ 0 + 0 = 2x-5 Læs mere »

Der er ingen forskel, de to ord er synonyme. Læs mere »

Ubestemte integraler har ingen lavere / øvre grænser for integration. De er generelle antiderivativer, så de giver funktioner. int f (x) dx = F (x) + C, hvor F '(x) = f (x) og C er en hvilken som helst konstant. Definitive integraler har lavere og øvre grænser for integration (a og b). De giver værdier. int_a ^ bf (x) dx = F (b) -F (a), hvor F '(x) = f (x). Jeg håber, at dette var nyttigt. Læs mere »

Hastighed er en vektor og hastigheden er en størrelse. Husk, at en vektor har retning og størrelse. Hastighed er simpelthen størrelsen. Retning kan være lige så simpelt som positivt og negativt. Magnitude er altid positiv. I tilfælde af positiv / negativ retning (1D) kan vi bruge den absolutte værdi, | v |. Men hvis vektoren er 2D, 3D eller højere, skal du bruge den euklidiske norm: || v ||. For 2D er dette || v || = sqrt (v_x ^ 2 + v_y ^ 2) Og som du kan gætte, er 3D: || v || = sqrt (v_x ^ 2 + v_y ^ 2 + v_z ^ 2) Læs mere »

Intermediate Value Theorem (IVT) siger funktioner, der er kontinuerlige i et interval [a, b] påtager alle (mellemliggende) værdier mellem deres ekstremer. Extreme Value Theorem (EVT) siger funktioner, der er kontinuerlige på [a, b], når deres ekstreme værdier (høj og lav). Her er en erklæring fra EVT: Lad f være kontinuerlig på [a, b]. Derefter findes der tal c, d i [a, b] sådan at f (c) leq f (x) leq f (d) for alle x i [a, b]. På anden måde angives "supremum" M og "infimum" m af området {f (x): x i [a, b] } (de er endelige) og der findes Læs mere »

Hvis du prøver at bestemme konvergensen af summen {a_n}, kan du sammenligne med summen b_n hvis konvergens er kendt. Hvis 0 leq a_n leq b_n og sum b_n konvergerer, summen a_n også konvergerer. Hvis a_n geq b_n geq 0 og sum b_n afviger, diverger summen a_ også. Denne test er meget intuitiv, da alt det siger er, at hvis de større serier kommer sammen, så konvergerer de mindre serier også, og hvis de mindre serier afviger, divergerer de større serier. Læs mere »

Int ("d" x) / (x ^ 2-1) ^ 2 = 1/4 (ln (x + 1) -ln (x-1) - (2x) / (x ^ 2-1)) + C int ("d" x) / (x ^ 2-1) ^ 2 = int ("d" x) / ((x + 1) ^ 2 (x-1) ^ 2) Lad os nu partielle fraktioner. Antag at 1 / (x + 1) ^ 2 (x-1) ^ 2) = A / (x + 1) + B / (x + 1) ^ 2 + C / (x-1) + D / x-1) ^ 2 for nogle konstanter A, B, C, D. Derefter 1 = A (x + 1) (x-1) ^ 2 + B (x-1) ^ 2 + C (x + 1) ^ 2 (x-1) + D (x + 1) ^ 2 Udvid for at få 1 = (A + C) x ^ 3 + (B + C + DA) x ^ 2 + (2D-2B-AC) x + A + B-C + D. Ækvivalente koefficienter: {A + C = 0), (B + C + DA = 0), (2D-2B-AC = 0), (A + B-C + D = 1):} Opløsning giv Læs mere »

3 "Øjeblikkelig ændringshastighed for f (x) ved x = a" betyder "derivat af f (x) ved x = a. Derivatet på et punkt repræsenterer funktionens ændringshastighed på det tidspunkt eller den øjeblikkelige forandringshastighed , ofte repræsenteret af en tangentlinje med hældningen f '(a) .f (x) = 3x + 5 f' (x) = 3, er derivatet af en konstant nul, hvilket betyder at de fem spiller ingen rolle her. ved x = 1, eller ved en hvilken som helst x faktisk er ændringshastigheden 3. Læs mere »

F '(x) = 2xe ^ (x ^ 2) Vi har en kæderegel, vi har den ydre funktion f (u) = e ^ u og den indvendige funktion u = x ^ 2 Kædelegemet udleder begge funktioner og multiplicerer derefter derivater så f '(u) * u' f '(u) = e ^ u u' = 2x Mutply-derivater 2xe ^ u = 2xe ^ (x ^ 2) = f '(x) Læs mere »

Ingen ændring f '' '' (x) = - 5e ^ x Bare hent det 4 gange Regel for at afgive e ^ xf (x) = e ^ x rArre ^ xf (x) = - 5e ^ xf '(x) = -5e ^ x f '' (x) = - 5e ^ x f '' '(x) = - 5e ^ x f' '' '(x) = - 5e ^ x Læs mere »

Ln (2) +1/2 (x-2) -1/8 (x-2) ^ 2 + 1/24 (x-2) ^ 3. Den generelle form for en Taylor-ekspansion centreret ved en af en analytisk funktion f er f (x) = sum_ {n = 0} ^ o ^^ (n)) (a) / (n!) (X-a) ^ n. Her er f ^ ((n)) det nth derivat af f. Tredje graders Taylor-polynom er et polynom bestående af de første fire (n spænder fra 0 til 3) termer af den fulde Taylor-ekspansion. Derfor er dette polynom f (a) + f '(a) (xa) + (f' '(a)) / 2 (xa) ^ 2 + (f' '' (a)) / 6 (xa) ^ 3 . f (x) = ln (x), derfor f '(x) = 1 / x, f' '(x) = - 1 / x ^ 2, f' '' (x) = 2 / x ^ 3. Således Læs mere »

Svar: Domæne x i [-6 / 5, oo) Område [0, oo) Du skal huske på, at for domænet: sqrt (y) -> y> = 0 ln (y) -> y> 0 1 / y-> y! = 0 Derefter vil du føre til en ulighed, der giver dig domænet. Denne funktion er en kombination af lineære og firkantede funktioner. Lineær har domæne RR. Den firkantede funktion skal dog have et positivt tal inde i firkanten. Derfor: (5x + 6) / 2> = 0 Da 2 er positiv: 5x + 6> = 0 5x> = -6 Siden 5 er positiv: x> = -6/5 Funktionsdomænet er: x i [ -6 / 5, oo) Rødfunktionens rækkevidde (ydre funktion) er [0, oo) (uend Læs mere »

F '(x) = (ye ^ y) / ((yx) ^ 2 + ye ^ y-xe ^ y + xe ^ y) Først skal vi familiere os med nogle beregningsregler f (x) = 2x + 4 vi kan differentiere 2x og 4 separat f '(x) = dy / dx2x + dy / dx4 = 2 + 0 = 2 På samme måde kan vi differentiere 4, y og - (xe ^ y) / (yx) separat dy / dx4 = dy / dxy-dy / dx (xe ^ y) / (yx) Vi ved, at differentierende konstanter dy / dx4 = 0 0 = dy / dxy-dy / dx (xe ^ y) / (yx) Ligeledes er reglen for differentiering y dy / dxy = dy / dx 0 = dy / dx-dy / dx (xe ^ y) / (yx) Endelig at differentiere (xe ^ y) / (yx) vi skal bruge kvotientreglen Lad xe ^ y = u og Let yx = v Kvoti Læs mere »

Dy / dx = (ye ^ (xy) y ^ 3) / (x-xe ^ (xy) y ^ 2) 1 = x / ye ^ (xy) Først skal vi vide, at vi kan differentiere hver enkelt del. Tag y = 2x + 3 vi kan differentiere 2x og 3 separate dy / dx = dy / dx2x + dy / dx3 rArrdy / dx = 2 + 0 På samme måde kan vi differentiere 1, x / y og e ^ (xy) separat dy / dx1 = dy / dxx / y-dy / dxe ^ (xy) Regel 1: dy / dxC rArr 0 derivat af en konstant er 0 0 = dy / dxx / y-dy / dxe ^ (xy) dy / dxx / y vi skal differentier dette ved hjælp af kvotientreglen Regel 2: dy / dxu / v rArr ((du) / dxv- (dv) / dxu) / v ^ 2 eller (vu'-uv ') / v ^ 2 u = x rArr u' = 1 Rege Læs mere »

F (x) = (4e ^ (2x)) / (1 + e ^ (2x)) ^ 2sin ((1-e ^ (2x)) / (1 + e ^ (2x))) Vi har at gøre med kvotientreglen inde i kædelegemet Kædelegemet for cosinus cos (r) rArr s '* - sin (s) Nu skal vi gøre kvotientreglen s = (1-e ^ (2x)) / (1 + e ^ 2x)) dy / dxu / v = (u'v-v'u) / v ^ 2 Regel til udledning e Regel: e ^ u rArr u'e ^ u Afled både de øverste og nederste funktioner 1-e ^ (2x ) rArr 0-2e ^ (2x) 1 + e ^ (2x) rArr 0 + 2e ^ (2x) Sæt den i kvotientreglen s '= (u'v-v'u) / v ^ 2 = (- 2e ^ (2x) (1 + e ^ (2x)) - 2e ^ (2x) (1-e ^ (2x))) / (1 + e ^ (2x)) 2 Simpelthen s Læs mere »

A = 2sqrt2 Formlen for parametrisk buelængde er: A = int_a ^ b sqrt ((dx / dt) ^ 2 + (dy / dt) ^ 2) dt Vi begynder med at finde de to derivater: dx / dt = 1 og dy / dt = 1 Dette giver, at lysbuen er: A = int_2 ^ 4sqrt (1 ^ 2 + 1 ^ 2) dt = int_2 ^ 4sqrt2 dt = [sqrt2t] _2 ^ 4 = 4sqrt2-2sqrt2 = 2sqrt2 , da den parametriske funktion er så enkel (det er en lige linje), behøver vi ikke engang den integrerede formel. Hvis vi plotter funktionen i en graf, kan vi bare bruge den almindelige afstandsformel: A = sqrt ((x_1-x_2) ^ 2 + (y_1-y_2) ^ 2) = sqrt (4 + 4) = sqrt8 = sqrt 4 * 2) = 2sqrt2 Dette giver os det samme r Læs mere »

Integralet afviger. Vi kunne bruge sammenligningstesten for forkerte integraler, men i dette tilfælde er integralet så enkelt at vurdere, at vi bare kan beregne det og se om værdien er afgrænset. int_0 ^ oo1 / sqrtx dx = int_0 ^ oox ^ (- 1/2) = [2sqrtx] _0 ^ oo = lim_ (x-> oo) (2sqrtx) -2sqrt (0) = lim_ (x-> oo) 2sqrtx) = oo Dette betyder, at integralet afviger. Læs mere »

=> (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) ((2x-1) / sqrt3) + c At fortsætte ... Lad 3/4 u ^ 2 = (x-1/2) ^ 2 => sqrt 3) / 2 u = x-1/2 => sqrt (3) / 2 du = dx => int 1 / (3 / 4u ^ 2 + 3/4) * sqrt (3) / 2 du => sqrt3 / 2 int 1 / (3/4 (u ^ 2 + 1)) du => (2sqrt3) / 3 int 1 / (u ^ 2 + 1) du Brug af en antivirivativ, hvad skal der være forpligtet til hukommelse ... => 2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) u + c => u = (2x-1) / sqrt3 => (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) ((2x-1) / sqrt3) + c Læs mere »

F (x) er konkav ved x = -3 note: konkav op = konveks, konkav ned = konkav Først skal vi finde de intervaller, hvor funktionen er konkave og konkave ned. Dette gør vi ved at finde det andet derivat og sætte det som nul for at finde x-værdierne f (x) = (x-9) ^ 3 - x + 15 d / dx = 3 (x-9) ^ 2 - 1 d ^ 2 / dx ^ 2 = 6 (x-9) 0 = 6x - 54 x = 9 Nu tester vi x-værdier i det andet derivat på begge sider af dette tal for positive og negative intervaller. positive intervaller svarer til konkave og negative intervaller svarer til konkave ned, når x <9: negativ (konkave ned), når x> 9: positi Læs mere »

(2x) + C Først kan vi bruge identiteten: 2sinthetacostheta = sin2x som giver: int e ^ xsinxcosx dx = 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx Nu kan vi bruge integration af dele. Formlen er: int f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) dx Jeg vil lade f (x) = sin 2x) og g '(x) = e ^ x / 2. Anvendelsen af formlen får vi: int e ^ x / 2sin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-int cos (2x) e ^ x dx Nu kan vi anvende integration af dele igen Denne gang med f (x) = cos (2x) og g '(x) = e ^ x: int e ^ x / 2sin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2- 2x) e ^ x-int -2sin (2x) e ^ x dx) 1 / 2int ^ e xxin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / Læs mere »

Den generelle løsning er: y = 1-1 / (e ^ t + C) Vi har: dy / dt = e ^ t (y-1) ^ 2 Vi kan samle vilkår for tilsvarende variabler: 1 / (y-1) ^ 2 dy / dt = e ^ t Hvilket er en separabel første ordens ordinære ikke-lineære differencekvation, så vi kan "adskille variablerne" for at få: int 1 / (y-1) ^ 2 dy = int e ^ t dt Begge integraler er standardfunktioner, så vi kan bruge denne viden til direkte at integrere: -1 / (y-1) = e ^ t + C Og vi kan let omarrangere for y: - (y-1) = 1 / (e ^ t + C):. 1-y = 1 / (e ^ t + C) Ledende til den generelle løsning: y = 1-1 / (e ^ t + C) Læs mere »

-2sin (2t) / (cos (2t) ^ 2 + 1) Derivatet af tan ^ -1 (x) er 1 / (x ^ 2 + 1) når vi erstatter cos (2t) for x får vi 1 / cos (2t) ^ 2 + 1) Så bruger vi kædelegemet for cos (2t) 1 / (cos (2t) ^ 2 + 1) * -2sin (2t) Vores sidste svar er -2sin (2t) / (cos (2t) ^ 2 + 1) Læs mere »

Konvergerer ved direkte sammenligningstest. Vi kan bruge Direct Comparison Test, så vidt vi har sum_ (n = 1) ^ oocos (1 / k) / (9k ^ 2), IE, serien starter ved en. For at anvende Direct Comparison Test må vi bevise at a_k = cos (1 / k) / (9k ^ 2) er positiv på [1, oo). For det første bemærk at i intervallet [1, oo), cos (1 / k) er positiv. For værdier af x = 1, 1 / kLæs mere »

D / (dx) ln (e ^ (4x) + 3x) = (4e ^ (4x) +3) / (e ^ (4x) + 3x) Derivat af lnx er 1 / x So-derivat af ln (e ^ 4x) + 3x) er 1 / (e ^ (4x) + 3x) d / dx (e ^ (4x) + 3x) (kæderegel) Derivat af e ^ (4x) + 3x er 4e ^ (4x) +3 Således er derivatet af ln (e ^ (4x) + 3x) 1 / (e ^ (4x) + 3x) * (4e ^ (4x) +3) = (4e ^ (4x) +3) / 4x) + 3x) Læs mere »

Som dette: Den anti-derivative eller primitive funktion opnås ved at integrere funktionen. En tommelfingerregel her er, hvis du bliver bedt om at finde antiderivativ / integreret af en funktion, der er polynom: Tag funktionen og øg alle indekser af x ved 1, og divider derefter hvert udtryk med deres nye indeks for x. Eller matematisk: int x ^ n = x ^ (n + 1) / (n + 1) (+ C) Du tilføjer også en konstant til funktionen, selv om konstanten vil være vilkårlig i dette problem. Nu, ved hjælp af vores regel kan vi finde den primitive funktion, F (x). F (x) = ((8x ^ (3 + 1)) / (3 + 1)) + ((5x ^ ( Læs mere »

Nej. For det første observere funktionen f (x) = -2 ^ x Denne funktion falder tydeligvis og negativ (dvs. under x-aksen) over dens domæne. Overvej samtidig funktionen h (x) = 1-x ^ 2 over intervallet 0 <= x <= 1. Denne funktion falder over det nævnte interval. Det er dog ikke negativt. Derfor behøver en funktion ikke at være negativ over det interval, den falder på. Læs mere »

Y = 1 / 108x-3135/56 Den normale linje til en tangent er vinkelret på tangenten. Vi kan finde hældningen af tangentlinjen ved hjælp af derivatet af den oprindelige funktion, og derefter tage det modsatte gensidige for at finde hældningen af den normale linje på samme punkt. f (x) = 3x ^ 4-x ^ 3f '(x) = 12x ^ 3-3x ^ 2 f' (- 2) = 12 (-2) ^ 3-3 (-2) ^ 2 = 12 -8) -3 (4) = - 108 Hvis -108 er tangentlinjens hældning, er hældningen på den normale linje 1/108. Punktet på f (x), som den normale linje vil krydse, er (-2, -56). Vi kan skrive ligningen for den normale linje i punk Læs mere »

Y = x / 4 + 23 / 4f (x) = x ^ 3 + 3x ^ 2 + 7x-1 Gradientfunktionen er det første derivat f '(x) = 3x ^ 2 + 6x + 7 Så gradienten når X = -1 er 3-6 + 7 = 4 Normalens vinkel, vinkelret på tangenten er -1/4 Hvis du ikke er sikker på dette, skal du trække en linje med gradient 4 på kvadreret papir og tegne vinkelret. Så normal er y = -1 / 4x + c Men denne linje går gennem punktet (-1, y) Fra den oprindelige ligning, når X = -1 y = -1 + 3-7-1 = 6 Så 6 = -1 / 4 * -1 + c C = 23/4 Læs mere »

12x ^ 3-8x "og" 36x ^ 2-8> "differentieres ved hjælp af" farve (blå) "strømreglen • farve (hvid) (x) d / dx (ax ^ n) = nax ^ (n-1 ) dy / dx = (4xx3) x ^ 3- (2xx4) x + 0 farve (hvid) (dy / dx) = 12x ^ 3-8x (d ^ 2y) / (dx ^ 2) = 36x ^ 2-8 Læs mere »

Y'' = 12x ^ 2-12 I den givne øvelse er derivatet af dette udtryk baseret på differentieringen af kraftreglen, der siger: farve (blå) (dx ^ n / dx = nx ^ (n-1)) Først derivat: y = x ^ 4-6x ^ 2 + 8x + 8 y '= 4x ^ 3-12x + 8 Andet derivat: y "= 12x ^ 2-12 Læs mere »

(dy) / (dx) = 4/3 * x ^ (- 2/3) + 8/3 * x ^ (1/3) "(det første derivat)" (d ^ 2 y) / (dt ^ 2 ) = 8/9 * x ^ (- 2/3) (- x ^ -1 + 1) "(det andet derivat)" y = 4x ^ (1/3) + 2x ^ (4/3) / (dx) = 1/3 * 4 * x ^ ((1/3-1)) + 4/3 * 2x ^ ((4 / 3-1)) (dy) / (dx) = 4/3 * x ^ (- 2/3) + 8/3 * x ^ (1/3) "(det første derivat)" (d ^ 2 y) / (dt ^ 2) = - 2/3 * 4/3 * x ^ ((- 2 / 3-1)) + 8/3 * 1/3 * x ^ ((1/3-1)) (d ^ 2 y) / (dt ^ 2) = - 8/9 * x ^ (± 5/3)) + 8/9 * x ^ ((- 2/3) (d ^ 2 y) / (dt ^ 2) = 8/9 * x ^ (- 2/3) x ^ -1 + 1) "(det andet derivat)" Læs mere »

Første Derivat Test for Local Extrema Lad x = c være en kritisk værdi af f (x). Hvis f '(x) ændrer sit tegn fra + til - omkring x = c, er f (c) et lokalt maksimum. Hvis f '(x) ændrer sit tegn fra - til + omkring x = c, er f (c) et lokalt minimum. Hvis f '(x) ikke ændrer tegnet omkring x = c, er f (c) hverken et lokalt maksimum eller et lokalt minimum. Læs mere »

Hvis den første derivat af ligningen er positiv på det tidspunkt, så øges funktionen. Hvis det er negativt, falder funktionen. Hvis den første derivat af ligningen er positiv på det tidspunkt, så øges funktionen. Hvis det er negativt, falder funktionen. Se også: http://mathworld.wolfram.com/FirstDerivativeTest.html Antag, at f (x) er kontinuerlig på et stationært punkt x_0. Hvis f ^ '(x)> 0 på et åbent interval, der strækker sig til venstre fra x_0 og f ^' (x) <0 på et åbent interval, der strækker sig lige fra x_0, har f (x) Læs mere »

Første Derivat Test for Local Extrema Lad x = c være en kritisk værdi af f (x). Hvis f '(x) ændrer sit tegn fra + til - omkring x = c, er f (c) et lokalt maksimum. Hvis f '(x) ændrer sit tegn fra - til + omkring x = c, er f (c) et lokalt minimum. Hvis f '(x) ikke ændrer tegnet omkring x = c, er f (c) hverken et lokalt maksimum eller et lokalt minimum. Læs mere »

= 0 lim_ (x-> 0) (sin ^ 2x) / x ---- lim_ (x-> 0) (sinx) / x = 1 multiplicere med lim_ (x-> 0) (sinx.sinx) / x = xx (x-> 0) (x) / x (sinx.sinx) / x lim_ (x-> 0) (x) / x (sinx.sinx) / x = lim_ (x-> 0) x sinx.xx) (xx) = lim_ (xx> 0) (sinx / x) (sinx / x) (x) lim_ (x-> 0) = 1.1.x = x lim_ (x-> 0) (sin ^ 2x) / x = lim_ (x-> 0) x lim_ (x-> 0) x = 0 Læs mere »

1 oo) | a_ (n + 1) / a_n |. Hvis L <1 er serien helt konvergent (og dermed konvergent) Hvis L> 1, afviger serien. Hvis L = 1 er forholdstesten utilstrækkelig. For Power Series er der dog tre tilfælde muligt a. Effektserien konvergerer for alle reelle tal; dens konvergensinterval er (-oo, oo) b. Effektserien konvergerer for Læs mere »

F '(x) = (x (ln (x ^ 2 + 3)) ^ (- 1/2)) / (x ^ 2 + 3) = x / ((x ^ 2 + 3) (ln (x ^ 2 + 3)) ^ (1/2)) = x / ((x ^ 2 + 3) sqrt (ln (x ^ 2 + 3))) Vi gives: y = (ln (x ^ 2 + 3) ) ^ (1/2) y '= 1/2 * (ln (x ^ 2 + 3)) ^ (1 / 2-1) * d / dx [ln (x ^ 2 + 3)] y' = ln (x ^ 2 + 3)) ^ (- 1/2) / 2 * d / dx [ln (x ^ 2 + 3)] d / dx [ln (x ^ 2 + 3)] = (d / dx [x ^ 2 + 3]) / (x ^ 2 + 3) d / dx [x ^ 2 + 3] = 2x y '= (ln (x ^ 2 + 3)) ^ (- 1/2) / 2 * (2x) / (x ^ 2 + 3) = (x (ln (x ^ 2 + 3)) ^ (- 1/2)) / (x ^ 2 + 3) = x / ((x ^ 2 + 3) (ln (x ^ 2 + 3)) ^ (1/2)) = x / ((x ^ 2 + 3) sqrt (ln (x ^ 2 + 3))) Læs mere »

F (x) = -1 / (ln (10)) [x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + ... + x ^ (n + 1) / 1) ^ 2] Visual: Tjek denne graf Vi kan tydeligt ikke evaluere denne integral, da den bruger nogen af de regelmæssige integrationsteknikker vi har lært. Men da det er en konkret integreret del, kan vi bruge en MacLaurin-serie og gøre det, der kaldes term ved termintegration. Vi skal finde MacLaurin serien. Da vi ikke ønsker at finde den nth derivat af den funktion, skal vi prøve at passe den ind i en af MacLaurin serien, vi allerede kender. For det første kan vi ikke lide log; vi vil gøre det til en ln. For at Læs mere »

Sqrt (6) a ^ x = exp (x * ln (a)) = 1 + x * ln (a) + (x * ln (a)) ^ 2/2 + (x * ln (a)) ^ 3 / 6 + ... => 3 ^ x + 2 ^ x = 2 + x * (ln (3) + ln (2)) + x ^ 2 * (ln (3) ^ 2 + ln (2) ^ 2 ) / 2 + x ^ 3 * (ln (3) ^ 3 + ln (2) ^ 3/6 + ... = 2 + x * ln (6) + x ^ 2 3 ^ x) ^ 2 + (2x) ^ 2 = 3 ^ (2x) + 2 ^ (2x) = 2 + 2 * x * ln (6) + 4 * x ^ 2 * (ln (2) ^ 2 + ln (3) ^ 2/2 + 8 * x ^ 3 * (ln (3) ^ 3 + ln (2) ^ 3) / 6 + ... => (3 ^ (2x) + 2 ^ (2x)) / (3xx2xx) = "1 + (x * ln (6) + 3 * x ^ 2 * ...) / (2 + x * ln (6) + x ^ 2 * ...) ~~ 1+ (x * ln (6)) / 2 "(for x" -> "0)" "hævet til effekten 1 / x ud Læs mere »

Som nævnt i nedenstående bemærkninger er dette MacLaurin-serien for f (x) = cos (x), og vi ved, at dette konvergerer på (-oo, oo). Men hvis du ville se processen: Da vi har en faktor i nævneren bruger vi forholdstesten, da dette gør forenklingerne lettere. Denne formel er: lim_ (n-> oo) (a_ (n + 1) / a_n) Hvis dette er <1, konvergerer din serie Hvis dette er> 1, afviger din serie Hvis dette er = 1, er testen ubetinget , lad os gøre dette: lim_ (k-> oo) abs ((- 1) ^ (k + 1) (x ^ (2k + 2) / ((2k + 2)!)) (2k)!) / (X ^ (2k)) Bemærk: Vær meget forsigtig med, hvordan du t Læs mere »

Ingen minutter eller maks. Indsprøjtningspunkt ved x = -2/3. graf {3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10 [-10, 10, -10, 20]} #Mins og Maxes For en given x-værdi (lad os kalde det c) at være en max eller min for en given funktion, det skal tilfredsstille følgende: f '(c) = 0 eller undefined. Disse værdier af c kaldes også dine kritiske punkter. Bemærk: Ikke alle kritiske punkter er max / min, men alle max / min er kritiske punkter. Lad os finde disse for din funktion: f '(x) = 0 => d / dx (3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10) = 0 => 9x ^ 2 + 12x + 6 = 0 Dette betyder ikke, så lad os prøv Læs mere »

"Se forklaring" "Måske er mit svar ikke helt til punkt, men jeg ved" "om" farven (rød) ("Hopf-Cole transformation"). "" Hopf-Cole transformationen er en transformation, som kortlægger " "løsningen af" farve (rød) ("Burgersligning") "til" farve (blå) ("varmekvation"). " "Måske kan du finde inspiration der." Læs mere »

Dr | _ (r = 10) = 0,45 m // min. Da området af en cirkel er A = pi r ^ 2, kan vi tage forskellen på hver side for at opnå: dA = 2pirdr Derfor ændrer radius med hastigheden dr = (dA) / (2pir) = (9pi) / (2pir) ) Således er dr | _ (r = 10) = 9 / (2xx10) = 0,45m // min. Læs mere »

206,6 "km / h" Dette er et relateret sats problem. For problemer som dette er det nøglen til at tegne et billede. Overvej diagrammet herunder: Næste, skriver vi en ligning. Hvis vi kalder R afstanden mellem Roses bil og skæringspunktet, og F afstanden mellem Franks bil og skæringspunktet, hvordan kan vi skrive en ligning, der finder afstanden mellem de to til enhver tid? Godt, hvis vi bruger pythogoransk teorum, finder vi, at afstanden mellem bilerne (kald at x) er: x = sqrt (F ^ 2 + R ^ 2) Nu skal vi finde den øjeblikkelige hastighed x med hensyn til tid (t). Så, vi tager derivatet Læs mere »

E ^ x / 2 (sin (x) + cos (x)) - ln | cos (x) | -1 / 2sec ^ 2 (x) -cos (x) +5 / 3 + sqrt3 / 2- (1 / 4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) Vi begynder med at opdele integralet i tre: int e ^ xcos (x) dx-int tan ^ 3 (x) dx + x (x) dx-cos (x) Jeg vil kalde det venstre integral Integral 1 og den rigtige Integral 2 Integral 1 Her har vi brug for integration af dele og et lille trick. Formlen for integration af dele er: int f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) dx I dette tilfælde er jeg ' ll lader f (x) = e ^ x og g '(x) = cos (x). Vi får det f '(x) = e ^ x og g (x) = sin (x). Dette Læs mere »

Du kan bruge Stevins lov til at vurdere trykforandringen på forskellige dybder: Du skal også kende dens vanddygtighed rho (fra litteraturen du skal få: 1.03xx10 ^ 3 (kg) / m ^ 3, som er mere eller mindre nøjagtigt i betragtning af at sandsynligvis på grund af det kolde hav (jeg tror det var Barentshavet) og dybden sandsynligvis ville ændre sig, men vi kan omtrentlige for at kunne beregne vores beregning). Stevin Law: P_1 = P_0 + rhog | h | Som tryk er "force" / "area" kan vi skrive: "force" = "pressure" xx "area" = 1.06xx10 ^ 6xx4 = 4.24xx10 ^ Læs mere »

Lim_ (x-> 0) x / sqrt (1-cos (x)) = sqrt (2) lim_ (x-> 0) x / sqrt (1-cos (x)) = lim_ x-> 0) x / sqrt (1-cos (x)) * sqrt (1 + cos (x)) / sqrt (1 + cos (x)) = lim_ (x-> 0) (xsqrt (x)) / sqrt (1-cos ^ 2 (x)) = lim_ (x-> 0) (xsqrt (1 + cos (x))) / sin (x) = lim_ (x-> 0) x / sin (x) sqrt (1 + cos (x)) = lim_ (x-> 0) x / sin (x) * lim_ (x-> 0) sqrt (1 + cos (x)) = 1 * sqrt 2) = sqrt (2) Læs mere »

X ^ (tanx) (lnxsec ^ 2x + 1 / xtanx) Express x ^ tanx som effekt af e: x ^ tanx = e ^ ln (x ^ tanx) = e ^ (lnxtanx) = d / dxe ^ (lnxtanx) kædelegemet, d / dxe ^ (lnxtanx) = (de ^ u) / (du) ((du) / dx), hvor u = lnxtanx og d / (du) (e ^ u) = e ^ u = d / dx (lnxtanx)) e ^ (lnxtanx) Ekspres e ^ (lnxtanx) som en effekt af x: e ^ (lnxtanx) = e ^ ln (x ^ tanx) = x ^ tanx = x ^ tanx. d / (dx) (lnxtanx) Brug produktreglen, d / (dx) (uv) = v (du) / (dx) + u (dv) / (dx), hvor u = lnx og v = tanx = lnx d / (dx) (tanx) + d / (dx) (lnxtanx) x ^ tanx Derivatet af tanx er sec ^ 2x = x ^ tanx (sec ^ 2xlnx + (d / (dx) (lnx)) tanx) Der Læs mere »

Serien er divergerende, fordi grænsen for dette forhold er> 1 lim_ (n-> oo) a_ (n + 1) / a_n = lim_ (n-> oo) (4 (n + 1/2)) / (n + 1)) = 4/3> 1 Lad a_n være n-th termen i denne serie: a_n = ((2n)!) / (3 ^ n (n!) ^ 2) Så a_ (n + 1 ) = ((2 (n + 1))) / (3 ^ (n + 1) ((n + 1)!) 2) = ((2n + 2)!) / (3 * 3 ^ n (n + 1)!) ^ 2) = ((2n)! (2n + 1) (2n + 2)) / (3 * 3 ^ n (n!) ^ 2 (n + 1) ^ 2) = (2n + 1) (2n + 2)) / (3 (n + 1) ^ 2) = a_n * ((2n + 1) 2 (n + 1)) / (3 (n + 1) ^ 2) a_ (n + 1) = a_n * (2 (2n + 1)) / (3 (n + 1)) a_ (n + 1) / a_n = (4 (n + 1/2)) / (3 (n + 1)) Under grænsen for dette forhold lim_ ( Læs mere »

Vi er nødt til at finde ud af, hvor konkaviteten ændres. Disse er bøjningspunkterne; normalt er det hvor den anden derivat er nul. Vores funktion er y = f (x) = x e ^ x. Lad os se hvor f '' (x) = 0: y = f (x) = x * e ^ x Så brug produktreglen: f '(x) = x * d / dx (e ^ x) + e ^ x * d / dx (x) = xe ^ x + e ^ x * 1 = e ^ x (x + 1) f '' (x) = (x + 1) * d / dx (e ^ x) + e ^ x * d / dx (x + 1) = (x + 1) e ^ x + e ^ x * 1 = e ^ x (x + 2) = 0 Indstil f '' (x) = 0 og løse for at få x = -2. De anden afledte ændringer skifter til -2, og derfor ændres konkaviteten ved Læs mere »

Int (2 + x + x ^ 13) dx = 2x + x ^ 2/2 + x ^ 14/14 + c Vi bruger strømreglen til integration, det vil sige: int x ^ n dx = x ^ (n + 1) / (n + 1) (+ c) for enhver konstant n! = -1 Så ved at bruge dette har vi: int (2 + x + x ^ 13) dx = 2x + x ^ 2/2 + x ^ 14/14 + c Læs mere »

Integralet er lig med x ^ 4 + C Som givet af effektreglen int x ^ ndx = x ^ (n + 1) / (n + 1). I = 4x ^ (3 + 1) / (3 + 1) = x ^ 4 + C Forhåbentlig hjælper dette! Læs mere »

Først indstille problemet. int (dy) / (dx) dx Umiddelbart de to dx termer annullerer, og du er tilbage med; int dy Den løsning der er; y + C hvor C er en konstant. Dette bør ikke være meget overraskende, idet derivater og integraler er modsætninger. Derfor skal integralet af et derivat returnere den oprindelige funktion + C Læs mere »

2e ^ {0,5x} + C intx ^ 0,5x} dx = int e ^ {0,5x} 1 / 0,5d (0,5x) = 1 / 0,5 int e ^ {0,5 x} d 0,5x) = 2e ^ {0,5x} + C Læs mere »

Integration af Dele int u dv = uv-int v du Lad u = ln (7x) "" "" dv = dx => du = {dx} / x "" "" => v = x Ved integration ved Dele, int ln (7x) dx = ln (7x) cdot x-int x cdot {dx} / x = x ln (7x) -int dx + C = x ln (7x) - x + CI håber at dette var nyttigt. Læs mere »

Du kan ikke udtrykke dette integral med hensyn til elementære funktioner. Afhængigt af hvad du har brug for integrationen for, kan du vælge en måde at integrere eller en anden på. Integration via power series Husk at e ^ x er analytisk på mathbb {R}, så forall x i mathbb {R} gælder følgende ligestilling e ^ x = sum_ {n = 0} ^ {+ infty} x ^ n / { n!} og det betyder at e ^ {x ^ 3} = sum_ {n = 0} ^ {+ infty} (x ^ 3) ^ n / {n!} = sum_ {n = 0} ^ {+ infty} {x ^ {3n}} / {n!} Nu kan du integrere: int e ^ {x ^ 3} dx = int (sum_ {n = 0} ^ {+ infty} {x ^ {3n}} / {n! }} dx = c + sum_ {n = 0 Læs mere »

Tip: Anvend først trigonometrisk substitution. Dette spørgsmål er i formularen sqrt (a ^ 2-x ^ 2). Så du lader x = en sinx (a i dette tilfælde er 1), og tag derefter derivatet af x. Sæt det tilbage i spørgsmålet int sqrt (1-x ^ 2) dx Du skal bruge halvvinkelidentiteten efter. Integrere. Du får en ubestemt integrering. Opsæt en ret trekant for at finde værdien for ubestemt integreret. Jeg håber, at denne video ville hjælpe med at rydde op. Læs mere »

Når jeg ser disse slags funktioner, erkender jeg (ved at øve meget) at du skal bruge en særlig substitution her: int sqrt (9-x ^ 2) dx x = 3sin (u) Dette kan se ud som en underlig substitution, men du skal se, hvorfor vi gør dette. dx = 3cos (u) du Erstat alting i integralet: int sqrt (9- (3sin (u)) 2) * 3cos (u) du Vi kan bringe 3 ud af integreret: 3 * int sqrt (3sin (u)) 2) * cos (u) du 3 * int sqrt (9-9sin ^ 2 (u)) * cos (u) du Du kan faktor 9 ud: 3 * int sqrt -sin ^ 2 (u)) * cos (u) du 3 * 3int sqrt (1-sin ^ 2 (u)) * cos (u) du Vi kender identiteten: cos ^ 2x + sin ^ 2x = 1 Hvis vi løser for co Læs mere »

Int 1 / x dx = ln abs x + C Årsagen afhænger af hvilken definition af ln x du har brugt. Jeg foretrækker: Definition: lnx = int_1 ^ x 1 / t dt for x> 0 Ved grundlægningen af calculus får vi: d / (dx) (lnx) = 1 / x for x> 0 Fra det og kæden , vi får også d / (dx) (ln (-x)) = 1 / x for x <0 I et interval, der udelukker 0, er antidivativet 1 / x lnx, hvis intervallet består af positive tal, og det er ln (-x), hvis intervallet består af negative tal. ln abs x dækker begge sager. Læs mere »

1/6 ln | {sqrt (x ^ 3 + 4) -2} / {sqrt (x ^ 3 + 4) +2} | + C Erstatning x ^ 3 + 4 = u ^ 2. Derefter 3x ^ 2dx = 2udu, således at dx / {x sqrt {x ^ 3 + 4}} = {2udu} / {3x ^ 3u} = 2/3 {du} / (u ^ 2-4) = 1 / Således er int dx / {x sqrt {x ^ 3 + 4}} = 1/6 int ({du} / {u- 2} - {du} / {u + 2}) = 1/6 ln | {u-2} / {u + 2} | + C = 1/6 ln | {sqrt (x ^ 3 + 4) -2 } / {sqrt (x ^ 3 + 4) +2} | + C Læs mere »

-2 / 3sqrt (1-x) (2 + x) + C Lad u = sqrt (1-x) eller u ^ 2 = 1-x eller x = 1-u ^ 2 eller, dx = -2udu Nu, int (xdx) / (sqrt (1-x)) = int (1-u ^ 2) (- 2udu) / u = int 2u ^ 2du -int 2du Nu, int 2u ^ 2 du -int 2du = 2u3) / 3-2 (u) + C = 2/3u (u ^ 2-3) + C = 2 / 3sqrt (1-x) {(1-x) -3} + C = 2 / 3sqrt (1-x) (- 2-x) + C = -2 / 3sqrt (1-x) (2 + x) + C Læs mere »

Se nedenunder. Ved anvendelse af polynomidentiteten (x ^ n-1) / (x-1) = 1 + x + x ^ 2 + cdots + x ^ (n-1) har vi for abs x <1 lim_ (n-> oo) x ^ n-1) / (x-1) = 1 / (1-x) og for x ne k pi, k i ZZ har vi sum_ (k = 0) ^ oo (cos x) ^ k = 1 / (1-cos x) Læs mere »

] -oo, -4 ["U"] 5, oo ["er konvergensintervallet for x" "x = 3 er ikke i konvergensintervallet, så summen for x = 3 er" oo "Behandle summen som det er en geometrisk serie ved at erstatte "" z = log_2 (x + 1) / (x-2)) "Så har vi" sum_ {n = 0} z ^ n = 1 / (1-z) "for" | z | <1 "Så konvergensintervallet er" -1 <log_2 ((x + 1) / (x-2)) <1 => 1/2 <(x + 1) / (x-2) < 2 => (x-2) / 2 <x + 1 <2 (x-2) "OR" (x-2) / 2> x + 1> 2 (x-2) "(x-2 negativ)" "Positive tilfælde:" => x-2 & Læs mere »

X i (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) Vi kan vække det sum_ {n = 0} ^ oo (1 / (x (1-x))) ^ n er en geometrisk serie med forholdet r = 1 / (x (1-x)). Nu ved vi, at den geometriske serie konvergerer, når absolutværdien af forholdet er mindre end 1: | r | <1 iff-1 <r <1 Så vi skal løse denne ulighed: 1 / (x (1-x)) <1 og 1 / (x (1-x))> -1 Lad os begynde med den første: 1 / (x (1-x)) <1 iff 1 / (x (1-x)) - Vi kan let bevise, at tælleren altid er positiv, og nævneren er negetiv i (x-x) intervallet x i (-oo, 0) U (1, oo). Så det er løsningen for vores Læs mere »

(-3, -8) De stationære punkter i en funktion er, når dy / dx = 0 y = x ^ 2 + 6x + 1 dy / dx = 2x + 6 dy / dx = 0 = 2x + 6 x = -6 / 2 = -3 (-3) ^ 2 + 6 (-3) + 1 = 9-18 + 1 = -8 Stationært punkt forekommer ved (-3, -8) Læs mere »

Cylinderens maksimale volumen findes, hvis vi vælger r = sqrt (2/3) R og h = (2R) / sqrt (3) Dette valg fører til et maksimalt cylindervolumen på: V = (4pi R ^ 3) / (3sqrt (3)) `` Forestil dig et tværsnit gennem midten af cylinderen, og lad cylinderen have højde h og volumen V, så har vi; h og r kan varieres og R er en konstant. Cylinderens volumen er angivet ved standardformlen: V = pir ^ 2h Kuglens radius, R er hypotenusen af trekanten med siderne r og 1 / 2h, så ved hjælp af Pythagoras har vi: R ^ 2 = r ^ 2 + (1 / 2h) ^ 2:. R ^ 2 = r ^ 2 + 1 / 4h ^ 2:. 2 = R ^ 2-1 / 4h ^ 2 Vi Læs mere »

Advarsel: Din matematiklærer vil ikke lide denne metode til løsning! (men det er tættere på, hvordan det ville ske i den virkelige verden). Bemærk at hvis x er meget lille (så stigen er næsten lodret), vil stigenes længde være næsten oo, og hvis x er meget stor (så stigen er næsten vandret) vil stigenes længde (igen) være næsten oo Hvis vi starter med en meget lille værdi for x og gradvist øger den, bliver ladestien (i starten) kortere, men på et tidspunkt skal den begynde at stige igen. Vi kan derfor finde bracketingværdier en & Læs mere »

Jeg vil sige oo; I din grænse kan du nærme 1 fra venstre (x mindre end 1) eller højre (x større end 1) og nævneren vil altid være et meget lille tal og positivt (på grund af kraften af to), der giver: lim_ x-> 1) (5 / (x-1) ^ 2) = 5 / (+ 0.0000 .... 1) = oo Læs mere »

Lim_ (x-> 0) (cos (x) -1) / x = 0. Vi bestemmer dette ved at bruge L'hospital's Rule. For at omskrive, erklærer L'Hospital's regel, at når der gives en grænse for formen lim_ (x a) f (x) / g (x), hvor f (a) og g (a) er værdier, der forårsager grænsen ubestemt (oftest hvis begge er 0 eller en form for ), så så længe begge funktioner er kontinuerlige og differentierbare i og i nærheden af a, kan man angive, at lim_ (x a) f (x) / g (x) = lim_ (x a) (f '(x)) / (g' (x)) Eller i ord er grænsen for kvoten for to funktioner lig med grænsen f Læs mere »

Der er flere måder at skrive det på. De alle indfanger den samme idé. For y = f (x) er derivatet af y (med hensyn til x) y '= dy / dx = lim_ (Deltax rarr0) (Delta y) / (Delta x) f' (x) = lim_ (Deltax rarr0 ) (f (x + Delta x) -f (x)) / (Delta x) f '(x) = lim_ (hrarr0) (f (x + h) -f (x)) / x) = lim_ (urarrx) (f (u) -f (x)) / (ux) Læs mere »

Lim_ (x-> 0) sin (x) / x = 1. Vi bestemmer dette ved brug af L'Hospital's Rule. For at omskrive, nævner L'Hospital's regel, at når der gives en grænse for formen lim_ (x-> a) f (x) / g (x), hvor f (a) og g (a) er værdier, der giver grænsen til være ubestemt (oftest hvis begge er 0 eller en eller anden form for oo), så så længe begge funktioner er kontinuerlige og differentierbare i og i nærheden af a, kan man angive at lim_ (x-> a) f (x ) / g (x) = lim_ (x-> a) (f '(x)) / (g' (x)) Eller i ord er grænsen for kvoten af to funktioner Læs mere »

E ^ 4 Bemærk binomialdefinitionen for Euler's nummer: e = lim_ (x-> oo) (1 + 1 / x) ^ x- = lim_ (x-> 0) (1 + x) ^ (1 / x) Her Jeg vil bruge x-> oo definitionen. I denne formel, lad y = nx Derefter 1 / x = n / y og x = y / n Eulers tal udtrykkes derefter i en mere generel form: e = lim_ (y-> oo) (1 + n / y) ^ (y / n) Med andre ord, e ^ n = lim_ (y-> oo) (1 + n / y) ^ y Da y også er en variabel, kan vi erstatte x i stedet for y: e ^ n = lim_ (x-> oo) (1 + n / x) ^ x Derfor, når n = 4, lim_ (x-> oo) (1 + 4 / x) ^ x = e ^ 4 Læs mere »

Lim_ (x rarr 0 ^ +) 1 / x- (1) / (e ^ x-1) = 1/2 Lad: f (x) = 1 / x- (1) / (e ^ x-1) " "= (exx-1x) / (xxxx)) Så søger vi: L = lim_ (x rarr 0 ^ +) f (x) lim_ (x rarr 0 ^ +) (e ^ x-1 - x) / (xe ^ xx) Da dette har en ubestemt form 0/0 kan vi anvende L'Hôpital's regel. L = lim_ (x rarr 0 ^ +) (d / dx (e ^ x-1 - x)) / (d / dx (xe ^ xx)) = lim_ (x rarr 0 ^ +) -1) / (xe ^ x + e ^ x - 1) Igen er dette en ubestemt form 0/0 Vi kan igen anvende L'Hôpital's regel igen: L = lim_ (x rarr 0 ^ +) (d / dx (e ^ x-1)) / (d / dx (xe ^ x + e ^ x-1)) = lim_ (x rarr 0 ^ +) (e x) / (xe ^ x + e ^ x Læs mere »

Hvis to grænser tilføjes sammen individuelt nærmer sig 0, går hele sagen til 0. Brug den egenskab, der begrænser fordelingen over tilføjelse og subtraktion. => lim_ (x-> oo) 1 / x - lim_ (x-> oo) 1 / (e ^ x - 1) Den første grænse er trivial; 1 / "stor" ~ ~ 0. Den anden spørger dig om at vide, at e ^ x stiger som x stiger. Således som x-> oo, e ^ x -> oo. => farve (blå) (lim_ (x-> oo) 1 / x - 1 / (e ^ x - 1)) = 1 / oo - 1 / (oo - annullere (1) ^ "lille") = 0 - 0 = farve (blå) (0) Læs mere »

Lim_ (x-> 0 ^ +) (1 / x-1 / (e ^ x-1)) = 1/2 Sum de to udtryk: 1 / x-1 / (e ^ x-1) = x + 1) / (x (e ^ x-1)) Grænsen er nu i ubestemt form 0/0, så vi kan nu anvende l'Hospital's regel: lim_ (x-> 0 ^ +) (1 / x- 1 / (e ^ x-1)) = lim_ (x-> 0 ^ +) (d / dx (e x x 1-x)) / (d / dx x x-> 0 ^ +) (1 x-1 / (e ^ x-1)) = lim_ (x-> 0 ^ +) (e ^ x-1) / (e ^ x-1 + xe ^ x ) og da dette er tilfældet i formularen 0/0 en anden gang: lim_ (x-> 0 ^ +) (1 / x-1 / (e ^ x-1)) = lim_ (x-> 0 ^ +) (d / dx (e ^ x-1)) / (d / dx (e ^ x-1 + xe ^ x)) lim_ (x-> 0 ^ +) 1)) = lim_ (x-> 0 ^ +) e ^ x / (e ^ x + x Læs mere »

Se nedenfor Første omskriv dette som lim_ (x-> 1) 7 / (4 (x-1) ^ 2 nu faktor (x-1) ^ 2 = (x-1) (x-1) = x ^ 2- 2x + 1 frac {7} {4x ^ 2-2x + 1} nu erstatter x -> 1 frac {7} {4 (1) ^ 2 -2 (1) +1 7/3 derfor lim_ (x- > 1) 7 / (4 (x-1) ^ 2) = 7/6 Læs mere »

1 / ex ^ (1 / (1-x)): graf {x ^ (1 / (1-x)) [-2.064, 4.095, -1.338, 1.74]} Nå ville det være meget lettere, hvis vi simpelthen tog ln på begge sider. Da x ^ (1 / (1-x)) er kontinuerlig i det åbne interval til højre for 1, kan vi sige at: ln [lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ x) (1 x (1 x)) = lim_ (x-> 1 ^ (+)) ln (x ^ Siden ln (1) = 0 og (1 - 1) = 0, er dette af formularen 0/0, og L'Hopital's regel gælder: = lim_ (x-> 1 ^ (+)) (1 "/" x) / (- 1) Og selvfølgelig er 1 / x kontinuert fra hver side af x = 1. => ln [lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x))] = -1 Som følge h Læs mere »