Calculus

I lærebogen bruger jeg (Stewart Calculus) kritisk punkt f = kritisk tal for f = værdien af x (den uafhængige variabel), der er 1) i f-domænet, hvor f 'er enten 0 eller eksisterer ikke. (Værdier af x, der opfylder betingelserne for Fermat's sætning.) Et bøjningspunkt for f er et punkt på grafen (har både x- og y-koordinater), hvor konvaviteten ændres. (Andre mennesker synes at bruge anden terminologi. Jeg ved ikke, at de spiste forkert eller bare har forskellige terminologier. Men de lærebøger, jeg har brugt i USA siden begyndelsen af 80'erne har alle Læs mere »

Jeg vil sige, at en funktion er diskontinuerlig ved en, hvis den er kontinuerlig i nærheden af a (i et åbent interval indeholdende a), men ikke ved a. Men der er andre definitioner i brug. Funktion f er kontinuert ved nummer a hvis og kun hvis: lim_ (xrarra) f (x) = f (a) Dette kræver at: 1 "" f (a) skal eksistere. (a er inden for f) 2 "" lim_ (xrarra) f (x) skal eksistere 3 Tallene i 1 og 2 skal være ens. I den mest generelle forstand: Hvis f ikke er kontinuert ved a, er f diskontinuerlig ved a. Nogle vil så sige, at f er diskontinuerlig ved en, hvis f ikke er kontinuert hos e Læs mere »

Pi / 4 Buklængden af f (x), x i [ab] er givet ved: S_x = int_b ^ af (x) sqrt (1 + f '(x) ^ 2) dx f (x) = - xsinx + xcos = xsinx = xsinx = 0 f '(x) = 0 Da vi bare har y = 0 kan vi bare tage længden af s lige linje mellem 0 til pi / 4, hvilket er pi / 4- 0 = pi / 4 Læs mere »

Det er (7sqrt3) / 2 ^ 7 = (7sqrt3) / 128 Metode f (x) = sin ^ 7 (x) Det er meget nyttigt at omskrive dette som f (x) = (sin (x)) ^ 7 fordi det gør det klart, at hvad vi har er en 7 ^ (th) strømfunktion. Brug kraftreglen og kædelegemet (Denne kombination kaldes ofte den generaliserede kraftregel.) For f (x) = (g (x)) ^ n er derivatet f '(x) = n (g (x) ) ^ (n-1) * g '(x), I anden notation d / (dx) (u ^ n) = nu ^ (n-1) (x) = 7 (sin (x)) ^ 6 * cos (x) Du kan skrive f '(x) = 7sin ^ 6 (x) * cos (x) Ved x = - pi / 3 har vi f (- pi / 3) = 7sin ^ 6 (- pi / 3) * cos (- pi / 3) = 7 (1/2) ^ 6 (sqrt3 / 2) = ( Læs mere »

F (x) = ln ((x + 3) / 5) +1 Vi ved, at int1 / xdx = lnx + C, så: int1 / (x + 3) dx = ln (x + 3) + C Derfor f x) = ln (x + 3) + C. Vi får den oprindelige betingelse f (2) = 1. At lave nødvendige substitutioner har vi: f (x) = ln (x + 3) + C -> 1 = ln ((2) +3) + C -> 1-ln5 = C Vi kan nu omskrive f (x) som f (x) = ln (x + 3) + 1-ln5, og det er vores sidste svar. Hvis du vil, kan du bruge følgende naturlige logegenskab for at forenkle: lna-lnb = ln (a / b) Ved at anvende dette til ln (x + 3) -ln5 får vi ln ((x + 3) / 5) , så vi kan yderligere udtrykke vores svar som f (x) = ln ((x + 3) / 5) Læs mere »

Ln (x / 2) +1> Derivatet af lnx = 1 / x derfor er anti-derivatet af 1 / x "lnx rArrF (x) = int1 / x dx = lnx + c For at finde c, skal du bruge f 2) = 1 ln2 + c = 1 c = 1 - ln2 rArr F (x) = lnx + 1-ln2 ved hjælp af • lnx-lny = ln (x / y) "for at forenkle" rArr int1 / x dx = ln x / 2) + 1 Læs mere »

F (x) = 1 / 3x ^ 3 - 3 / 2x ^ 2 + 13/3 Integrering f (x): x ^ 3/3 - 3 / 2x ^ 2 + cf (2) = 1 muliggør integrationskonstanten c) findes ved at vurdere for x = 2, y = 1 rArr 2 ^ 3/3 -3 xx 2 ^ 2/2 + c = 1 rArr 8/3 - 6 + c = 1 rArr c = 1 + 6 - 8/3 = 13/3 rArr f (x) = 1/3 x ^ 3 - 3/2 x ^ 2 + 13/3 Læs mere »

Jeg fandt: f (x) = x ^ 3/3 + x ^ 2 / 2-3x + 13/3 Vi løser det ubestemte integral: int (x ^ 2 + x-3) dx = x ^ 3/3 + x ^ 2 / 2-3x + c og så bruger vi vores betingelse for at finde c: f (2) = 3 = (2 ^ 3) / 3 + (2 ^ 2) / 2- (3 * 2) + c så: 3 = 8/3 + 4 / 2-6 + cc = 3-8 / 3-2 + 6 c = 7-8 / 3 = (21-8) / 3 = 13/3 og endelig: f (x) = x ^ 3/3 + x ^ 2 / 2-3 x + 13/3 Læs mere »

F (x) = (x ^ 2) / 2-3x + 7f (x) = intx-3 dx = (x ^ 2) / 2-3x + c Subbing i 2, f (2) = ((2) ^ 2) / 2-3 (2) + c = 2-6 + c = -4 + c Da f (2) = 3, -4 + c = 3 c = 7: .f (x) = 2) / 2-3x + 7 Læs mere »

F (x) = xe ^ xe ^ x + 3-e ^ 2 f (x) = intxe ^ xdx, f (2) = 3 vi bruger integration af dele f (x) = intu (dv) / (dx) dx = uv-intv (du) / (dx) dx i dette tilfælde u = x => (du) / (dx) = 1 (dv) / (dx) = e ^ x => v = e ^ x: .f (x) = xe ^ x-inte ^ xdx f (x) = xe ^ xe ^ x + cf (2) = 3:. f (2) = 3 = 2e ^ 2-e ^ 2 + c c = 3-e ^ 2 f (x) = xe ^ x-e ^ x + 3-e ^ 2 Læs mere »

Sqrt (1 + x ^ 2) -1/21n (abs (sqrt (1 + x ^ 2) +1)) + 1/21n (abs (sqrt (1 + x ^ 2) -1)) + C Brug dig ^ 2 = 1 + x ^ 2, x = sqrt (u ^ 2-1) 2u (du) / (dx) = 2x, dx = (udu) / x intsqrt (1 + x ^ 2) / xdx = int usqrt (1 + x ^ 2)) / x ^ 2du intu ^ 2 / (u ^ 2-1) du = int1 + 1 / (u ^ 2-1) du 1 / (u ^ 2-1) = 1 / (u + 1) (u-1)) = A / (u + 1) + B / (u-1) 1 = A (u-1) + B (u + 1) u = 1 1 = 2B, B = 1/2 u = -1 1 = -2A, A = -1/2 int1-1 / (2 (u + 1)) + 1 / (2 (u-1)) du = u-1 / 2ln (abs (u + 1)) + 1 / 2ln (abs (u-1)) + C Sæt u = sqrt (1 + x ^ 2) tilbage i giver: sqrt (1 + x ^ 2) -1/21n abs (sqrt (1 + x ^ 2) +1)) + 1 / 2ln (abs (sqrt (1 Læs mere »

(x, y), (x, y) -> (rcostheta, rsintheta) r = sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) theta = tan ^ -1 (y / x) r = sqrt (13 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt (169 + 1) = sqrt (170) = 13,0 theta = tan ^ -1 (1/13) = 0,0768 ^ c (13,1) -> (sqrt (170), tan ^ -1 (1/13)) - = (13,0,0,0768 ^ c) Læs mere »

Dette kan ikke besvares uden kontekst. Her er nogle af anvendelserne i matematik. Et sæt har uendelig kardinalitet, hvis den kan kortlægges en-til-en på en ordentlig delmængde af sig selv. Dette er ikke brugen af uendelig i calculus. I Calculus bruger vi "uendelig" på 3 måder. Interval notation: Symbolerne oo (henholdsvis -oo) bruges til at angive, at et interval ikke har et højre (henholdsvis venstre) endepunkt. Intervallet (2, oo) er det samme som sætet x Infinite Limits Hvis en grænse ikke eksisterer, fordi når x nærmer sig a, øges værdierne for Læs mere »

Øjeblikkelig hastighed er den hastighed, hvormed en genstand rejser på nøjagtigt det øjeblik, der er angivet. Hvis jeg rejser nordpå nøjagtigt 10m / s i nøjagtigt ti sekunder, drej så mod vest og kør nøjagtigt 5m / s i yderligere ti sekunder nøjagtigt, min gennemsnitshastighed er ca. 5,59m / s i en (omtrent) nordvestlig retning. Min øjeblikkelige hastighed er dog min hastighed på et givet tidspunkt: på præcis fem sekunder i min tur er min øjeblikkelige hastighed 10m / s nord; på præcis femten sekunder ind er det 5m / s vest. Læs mere »

Lad os opdele intervallet [a, b] i n delintervaller af lige længder. [x, x_3], ..., [x_ {n-1}, x_n]}, hvor a = x_0 <x_1 <x_2 < cdots <x_n = b. Vi kan tilnærme den konkrete integral int_a ^ bf (x) dx ved hjælp af Trapezoidregel T_n = [f (x_0) + 2f (x_1) + 2f (x_2) + cdots2f (x_ {n-1}) + f (x_n)] { ba} / {2n} Læs mere »

L'hopital's regel bruges primært til at finde grænsen som x-> a af en funktion af formen f (x) / g (x), når grænserne for f og g ved a er sådan, at f (a) / g (a) resulterer i en ubestemt form, såsom 0/0 eller oo / oo. I sådanne tilfælde kan man tage grænsen for derivaterne af disse funktioner som x-> a. Således ville man beregne lim_ (x-> a) (f '(x)) / (g' (x)), som vil være lig med grænsen for den indledende funktion. Som et eksempel på en funktion, hvor dette kan være nyttigt, overvej funktionssynden (x) / x. I dette tilfæ Læs mere »

L'Hopital's Rule Hvis {(lim_ {x til a} f (x) = 0 og lim_ {x til a} g (x) = 0), (eller), (lim_ {x til a} f (x) = pm ifty og lim_ {x til a} g (x) = pm infty):} derefter lim_ {x til a} {f (x)} / {g (x)} = lim_ {x til a} {f ' x)} / {g '(x)}. Eksempel 1 (0/0) lim_ {x til 0} {sinx} / x = lim_ {x til 0} {cosx} / 1 = {cos (0)} / 1 = 1/1 = 1 Eksempel 2 (infty / infty) lim_ {x til infty} {x} / {e ^ x} = lim_ {infty} {1} / {e ^ x} = 1 / {e ^ {infty}} = {1} / {infty} = 0 Jeg håber, at dette var nyttigt. Læs mere »

X = -4 og -8/5 Så er en lodret asymptote en linje, der strækker sig lodret til uendeligt. Hvis vi bemærker det, betyder det, at y-koordinatet af kurven når meget uendeligt. Vi ved, at uendeligheden = 1/0 Så i forhold til f (x) betyder det, at nævneren af f (x) skal være nul. Derfor (5x + 8) (x + 4) = 0 Dette er en kvadratisk ligning, hvis rødder er -4 og -8/5. Derfor har vi ved x = -4, -8/5 vertikale asymptoter Læs mere »

Sec (5x) tan (5x) * 5 Derivatet af sek (x) er sek (x) tan (x). Men da vinklen er 5x og ikke kun x, bruger vi kædelegemet. Så vi multiplicerer igen med derivatet af 5x som er 5. Dette giver os vores endelige svar som sek (5x) tan (5x) * 5 Håb, der hjalp! Læs mere »

Hvis du foretrækker Leibniz notation, betegnes andet derivat (d ^ 2y) / (dx ^ 2). Eksempel: y = x ^ 2 dy / dx = 2x (d ^ 2y) / (dx ^ 2) = 2 Hvis du kan lide primærnotationen, er andet derivat betegnet med to primærmærker, i modsætning til det ene mærke med først derivater: y = x ^ 2 y '= 2x y' '= 2 Tilsvarende, hvis funktionen er i funktionsnotation: f (x) = x ^ 2 f' (x) = 2x f '' (x) = 2 De fleste folk er bekendt med begge notationer, så det betyder ikke noget, hvilken notation du vælger, så længe folk kan forstå, hvad du skriver. Jeg foret Læs mere »

En rationel funktion er, hvor der er x'er under delingslinjen. Den del under linjen kaldes nævneren. Dette sætter grænser for domænet af x, da nævneren måske ikke virker som 0 Enkelt eksempel: y = 1 / x domæne: x! = 0 Dette definerer også den vertikale asymptot x = 0, fordi du kan gøre x så tæt til 0 som du vil, men aldrig nå det. Det gør en forskel, om du bevæger dig mod 0 fra den positive side af det negative (se graf). Vi siger lim_ (x-> 0 ^ +) y = oo og lim_ (x-> 0 ^ -) y = -oo Så er der en diskontinuitetsgraf {1 / x [-16.02, 16.01, -8 Læs mere »

F '(x) = 72x-18 Generelt angiver produktreglen, at hvis f (x) = g (x) h (x) med g (x) og h (x) nogle funktioner af x, så f' x) = g '(x) h (x) + g (x) h' (x). I dette tilfælde er g (x) = 6x-4 og h (x) = 6x + 1, så g '(x) = 6 og h' (x) = 6. Derfor f (x) = 6 (6x + 1) +6 (6x-4) = 72x-18. Vi kan tjekke dette ved at udarbejde produktet af g og h først og derefter differentiere. f (x) = 36x ^ 2-18x-4, så f '(x) = 72x-18. Læs mere »

Den absolutte ekstrem af en funktion i et lukket interval [a, b] kan være eller lokal ekstrem i det interval eller de punkter, hvis ascissæer er a eller b. Så lad os finde den lokale ekstrem: y '= 2 * (1 * (x ^ 2 + 1) -x * 2x) / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = 2 * (- x ^ 2 + 1) / (x ^ 2 + 1) ^ 2. y '> = 0 hvis -x ^ 2 + 1> = 0rArrx ^ 2 <= 1rArr-1 <= x <= 1. Så vores funktion er decresing i [-2, -1) og i (1,2) og den vokser i (-1,1), og så er punktet A (-1-1) et lokalt minimum og punktet B (1,1) er et lokalt maksimum. Lad os nu finde ordinaten af punkterne i ekstremt af intervallet: y (-2) Læs mere »

Mindste punkt ved (1 / e, -1 / e) givne f (x) = x * ln x opnå det første derivat f '(x) og ækvate derefter til nul. f '(x) = x * (1 / x) + ln x * 1 = 0 1 + ln x = 0 ln x = -1 e ^ -1 = xx = 1 / e Løsning for f (x) ved x = 1 / ef (x) = (1 / e) * ln (1 / e) f (x) = (1 / e) * (- 1) f (x) = - 1 / e så punktet , -1 / e) er placeret ved fjerde kvadrant, hvilket er et minimumspunkt. Læs mere »

(ln (x ^ 4) +4) / (2sqrt (xln (x ^ 4))) Lad os omskrive det som: [(xln (x ^ 4)) ^ (1/2)] 'Nu skal vi aflede fra ydersiden til indersiden ved hjælp af kædelegemet. 1/2 [xln (x ^ 4)] ^ (- 1/2) * [xln (x ^ 4)] 'Her har vi et derivat af et produkt 1/2 (xln (x ^ 4)) ^ 1/2 (xl)) x (ln (x ^ 4))]] 1/2 (xln (x ^ 4)) ^ (- 1/2) * [1 * ln (x ^ 4) + x (1 / x ^ 4 * 4x ^ 3)] Brug blot basisalgebra for at få en semplificeret version: 1/2 (xln (x ^ 4)) ^ (- 1/2) * [ ln (x ^ 4) +4] Og vi får løsningen: (ln (x ^ 4) +4) / (2sqrt (xln (x ^ 4)) Forresten kan du endda omskrive det initale problem for at gøre Læs mere »

Afstandsfunktionen er: D = sqrt ((Deltax) ^ 2 + (Deltay) ^ 2) Lad os manipulere dette. = sqrt (Deltax) ^ 2 + (Deltag) ^ 2 / (Deltax) ^ 2 (Deltax) ^ 2) = sqrt (1 + (Deltay) ^ 2 / (Deltax) ^ 2) Deltax Da antiderivativet i grunden er en ubestemt integreret bliver dette en uendelig sum af uendeligt lille dx: = sumsqrt (1 + (Deltay) ^ 2 / (Deltax) ^ 2) Deltax = int sqrt (1 + (dy) / (dx)) 2 2 dx som tilfældigvis er formlen for bue længden af enhver funktion, du nemt kan integrere efter manipulationen. Læs mere »

Jeg finder det lettere at tænke på dette, når man ser på derivatet først. Jeg mener: hvad ville efter en differentiering blive konstant? Selvfølgelig en førstegrad variabel. For eksempel, hvis din differentiering resulterede i f '(x) = 5, er det tydeligt, at antiderivativet er F (x) = 5x Så, antidivivative for en konstant er det gange den pågældende variabel (det være sig x, y, osv. .) Vi kunne sætte det på denne måde, matematisk: intcdx <=> cx Bemærk at c er mutiplying 1 i integralet: intcolor (green) (1) * cdx <=> cx Det betyder, a Læs mere »

L = 3 / 4pisqrt (pi ^ 2 + 1) + 3 / 4ln (pi + sqrt (pi ^ 2 + 1)) enheder. > r = 3 / 4theta r ^ 2 = 9 / 16theta ^ 2 r '= 3/4 (r') ^ 2 = 9/16 Arklængde er givet ved: L = int_-pi ^ pisqrt (9 / 16theta ^ 2 + 9/16) d theta Forenkle: L = 3 / 4int_-piqqq (theta ^ 2 + 1) d theta Fra symmetri: L = 3 / 2int_0 ^ pisqrt (theta ^ 2 + 1) d theta Anvend substitutionen theta = tanphi: L = 3 / 2intsec ^ 3phidphi Dette er et kendt integral: L = 3/4 [secphitanphi + ln | secphi + tanphi |] Omvendt substitution: L = 3/4 [thetasqrt (theta ^ 2 + 1) + ln | theta + sqrt (theta ^ 2 + 1) |] _0 ^ pi Indsæt integrationens græn Læs mere »

Ca 27.879 Dette er en omrids metode. Malen af noget af arbejdet er blevet udført af computer. Arc længde s = int punkt s dt og punkt s = sqrt (vec v * vec v) Nu for vec r = 4 theta hat r vec v = dot r hat r + r dot theta hat theta = 4 dot theta hat r + 4 theta dot theta hat theta = 4 dot theta (hat r + theta hat theta) Så prikken s = 4 dot theta sqrt (1 + theta ^ 2) Buklængde s = 4 int_ (t_1) ^ (t_2 ) (1 + theta ^ 2) dot theta dt = 4 int _ (- pi / 4) ^ (pi) sqrt (1 + theta ^ 2) theta = 2 [theta sqrt (theta ^ 2 + 1) + sinh ^ (- 1) theta] _ (- pi / 4) ^ (pi) computeropløsning. Se Youtube linket her Læs mere »

Arc længde ~~ -2.42533 (5dp) Bue længden er negativ, fordi den nederste grænse 1 er større end den øvre grænse af ln2 Vi har en parametrisk vektor funktion, givet af: bb ul r (t) = << te ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t, 1 / t >> For at beregne bue-længden vil vi kræve vektorderivatet, som vi kan beregne ved hjælp af produktreglen: bb ul r '(t) = << (t) (2te ^ (t ^ 2)) + (1) (e ^ (t ^ 2)), (t ^ 2) (e ^ t) + (2t) / t ^ 2 >> = << 2t ^ 2e ^ (t ^ 2) + e ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t + 2te ^ t, -1 / t ^ 2 >> Så beregner vi størrelsen af den afledte Læs mere »

Sqrt (3) Vi søger bue længden af vektorfunktionen: bb (ul r (t)) = << t, t, t >> for t i [1,2] Hvilket vi let kan evaluere ved hjælp af: L = int_alpha ^ beta || bb (ul (r ') (t)) || dt Så beregner vi derivatet, bb (ul (r ') (t)): bb (ul r' (t)) = << 1,1,1 >> Således får vi bue længden: L = int_1 ^ 2 || << 1,1,1 >> || dt = int_1 ^ 2 sqrt (1 ^ 1 + 1 ^ 2 + 1 ^ 2) dt = int_1 ^ 2 sqrt (3) dt = [sqrt (3) t] _1 ^ 2 = sqrt (3) (2-1) = sqrt (3) Dette trivielle resultat bør ikke komme som nogen overraskelse, da den givne oprindelige ligning Læs mere »

V = piint_0 ^ 24 (5-sqrt (y + 1)) ^ 2dy = pi (85 + 1/3) For at beregne dette volumen vil vi på en vis måde skære det i (uendeligt slanke) skiver. Vi forestiller regionen for at hjælpe os med dette, jeg har vedlagt grafen, hvor regionen er den del under kurven. Vi bemærker, at y = x ^ 2-1 krydser linjen x = 5 hvor y = 24, og at den krydser linjen y = 0 hvor x = 1 graf {x ^ 2-1 [1, 5, -1, 24] } Når du skærer denne region i vandrette skiver med højde dy (en meget lille højde). Længden af disse skiver afhænger meget af y-koordinaten. For at beregne denne længde skal Læs mere »

Dy / dx = (7 * t ^ (4/3)) / 3 + 4 / (3 * t ^ (2/3) Multiplicér terningroten af t i parenteserne, vi får y = (t ^ (2 + 1 / 3)) + 4 * t ^ (1/3) Dette giver os y = t ^ (7/3) + 4t ^ (1/3) Ved differentiering får vi dy / dx = (7 * t ^ / 3)) / 3 + (4 * t ^ (- 2/3)) / 3 Hvilket giver, dy / dx = (7 * t ^ (4/3)) / 3 + 4 / (3 * t ^ 2/3) Læs mere »

98 Gennemsnitsværdien af f på [a, b] er 1 / (b-a) int_a ^ bf (x) dx. For dette problem er det 1 / (10-0) int_0 ^ 10 (18x + 8) dx = 1/10 [9x ^ 2 + 8x] _0 ^ 10 = 1/10 [980] = 98. Læs mere »

Den gennemsnitlige værdi er 4948/5 = 989.6 Gennemsnitsværdien af f på interval [a, b] er 1 / (ba) int_a ^ bf (x) dx Så får vi: 1 / (2-0) int_0 ^ 2 2x ^ 3 (x ^ 2 + 1) ^ 4 dx = 2/2 int_0 ^ 2 x ^ 3 (x ^ 8 + 4x ^ 6 + 10x ^ 4 + 4x ^ 2 + 1) dx = int_0 ^ 2 (x ^ 11 + 4x ^ 9 + 10x ^ 7 + 4x ^ 5 + x ^ 3) dx = x ^ 12/12 + (4x ^ 10) / 10 + (6x ^ 8) / 8 + (4x ^ 6) / 6 + x ^ 4/4] _0 ^ 2 = (2) ^ 12/12 + (2 (2) ^ 10) / 5 + (3) 2) ^ 4 + (2 (2) ^ 6/3 + 2) ^ 4/4 = 4948/5 = 9896/10 = 989,6 Læs mere »

1 / 2sin (2), ca. 0,4546487 Gennemsnitsværdien c af en funktion f i intervallet [a, b] er givet ved: c = 1 / (ba) int_a ^ bf (x) dx Her oversættes dette til gennemsnittet værdi af: c = 1 / (0 - (- 4)) int _ (- 4) ^ 0cos (x / 2) dx Lad os bruge substitution u = x / 2. Dette indebærer, at du = 1 / 2dx. Vi kan derefter omskrive integralet som sådan: c = 1 / 4int _ (- 4) ^ 0cos (x / 2) dx c = 1 / 2int _ (- 4) ^ 0cos (x / 2) (1 / 2dx) Opdeling 1 / 4 til 1/2 * 1/2 giver mulighed for 1 / 2dx at være til stede i integralet, så vi nemt kan foretage substitutionen 1 / 2dx = du. Vi skal også &# Læs mere »

Den gennemsnitlige værdi er 16/3 Gennemsnitsværdien af en funktion f på et interval [a, b] er 1 / (ba) int_a ^ bf (x) dx Så værdien vi søger er 1 / (5-1) int_1 ^ 5 (x-1) ^ 2 dx = 1/4 [(x-1) ^ 3/3] _1 ^ 5 = 1/12 [(4) ^ 3- (0) ^ 3] = 16/3 Læs mere »

Det er (4 (sqrt2-1)) / pi Gennemsnitsværdien af en funktion f på et interval [a, b] er 1 / (ba) int_a ^ bf (x) dx Så værdien vi søger er 1 / (pi / 4-0) int_0 ^ (pi / 4) secxtanx dx = 4 / pi [secx] _0 ^ (pi / 4) = 4 / pi [sek (pi / 4) -sec (0)] = 4 / sqrt2-1] = (4 (sqrt2-1)) / pi Læs mere »

Gennemsnitsværdien af f på [a, b} er 1 / (b-a) int_a ^ bf (x) dx. For denne funktion i dette interval får jeg -1/3 Ave = 1 / (2-0) int_0 ^ 2 (xx ^ 2) dx = 1/2 [x ^ 2/2-x ^ 3/3] _0 ^ 2 = 1/2 [(4 / 2-8 / 3) - (0)] = 1/2 (-2/3) = -1/3 Læs mere »

Se nedenunder. Den gennemsnitlige værdi er 1 / (sqrtpi-0) int_0 ^ sqrtpi 10xsin (x ^ 2) dx = 5 / sqrtpiint_0 ^ sqrtpi 2xsin (x ^ 2) dx = 5 / sqrtpi [-cos (x ^ 2)] _ 0 ^ sqrtpi = 12 / sqrtpi Pedantic Note (12sqrtpi) / pi har IKKE en rationel nævneren. Læs mere »

Tag den integrerede int_1 ^ ooxe ^ -xdx, som er endelig, og bemærk at den grænser sum_ (n = 2) ^ oo n e ^ (- n). Derfor er det konvergent, så sum_ (n = 1) ^ oo n e ^ (- n) er ligeledes. Den formelle erklæring af integralprøven angiver, at hvis fin [0, oo) rightarrowRR er en monoton faldende funktion, der er ikke-negativ. Derefter er summen sum (n = 0) ^ oof (n) konvergent, hvis og kun hvis "sup" _ (N> 0) int_0 ^ Nf (x) dx er endelig. (Tau, Terence. Analyse I, anden udgave. Hindustan bogbureau. 2009). Denne erklæring kan virke lidt teknisk, men ideen er følgende. I dette tilf& Læs mere »

D) f (x) = x ^ 3, c = 3 Definitionen af et derivat af en funktion f (x) ved et punkt c kan skrives: lim_ (h-> 0) (f (c + h) -f (c)) / h I vores tilfælde kan vi se, at vi har (3 + h) ^ 3, så vi kan gætte, at funktionen er x ^ 3, og at c = 3. Vi kan bekræfte denne hypotese, hvis vi skriver 27 som 3 ^ 3: lim_ (h-> 0) (3 + h) ^ 3-27) / h = lim_ (h-> 0) ((3 + h) ^ 3 -3 ^ 3) / h Vi ser at hvis c = 3, ville vi få: lim_ (h-> 0) ((c + h) ^ 3-c ^ 3) / h Og vi kan se, at funktionen er bare en værdi i begge tilfælde, så funktionen skal være f (x) = x ^ 3: lim_ (h-> 0) ((teks Læs mere »

B) f (x) = cos (x), c = pi / 6 Vi ved: cos (pi / 6) = sqrt3 / 2 Dette betyder at vi kan omskrive grænsen som sådan: lim_ (h-> 0) pi / 6 + h) -koser (pi / 6)) / h I betragtning af definitionen af et derivat af en funktion f (x) ved et punkt c: lim_ (h-> 0) (f (c + h) (c)) / h Et rimeligt gæt er, at c = pi / 6, og ved at bruge det kan vi se, at inputene til cosinusfunktionen stemmer overens med inputene til f (x) i definitionen: lim_ (h- > Cos (farve (rød) (c + h)) - cos (farve (rød) (c))) / h Dette betyder, at hvis c = pi / 6, så f (x) = cos ). Læs mere »

Int (1-sin ^ 2 (x)) / sin ^ 2 (x) dx = -cot (x) -x + C Vi kan først dele fraktionen i to: int (1-sin ^ 2 ) / sin ^ 2 (x) dx = int 1 / sin ^ 2 (x) -sin ^ 2 (x) / sin ^ 2 (x) dx = = int 1 / sin ^ 2 -1 dx = int 1 / sin ^ 2 (x) dx-x Vi kan nu bruge følgende identitet: 1 / sin (theta) = csc (theta) int csc ^ 2 (x) dx-x Vi ved at afleddet af barneseng (x) er -csc ^ 2 (x), så vi kan tilføje et minustegn både udenfor og inde i integralet (så de annullerer) for at udarbejde det: -int -csc ^ 2 ( x) dx-x = -cot (x) -x + C Læs mere »

Sinh (1/2) ~~ 0.52 Vi kender definitionen for sinh (x): sinh (x) = (e ^ xe ^ -x) / 2 Da vi kender Maclaurin serien til e ^ x, kan vi bruge den til konstruere en til sinh (x). e ^ x = sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) = 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) ... Vi kan finde serien til e ^ - x ved at erstatte x med -x: e ^ -x = sum_ (n = 0) ^ oo (-x) ^ n / (n!) = sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n / !) x ^ n = 1-x + x ^ 2/2-x ^ 3 / (3!) ... Vi kan subtrahere disse to fra hinanden for at finde tælleren for sinh definitionen: farve (hvid) e ^ -x.) e ^ x = farve (hvid) (....) 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) + x ^ 4 / (4!) + x ^ 5 / (5!) ... f Læs mere »

Dy / dx = 5 (5-x) ^ 3 (4 + x) ^ 4-3 (4 + x) ^ 5 (5-x) ^ 2 y = (5-x) ^ 3 (4 + x) ^ 5 dy / dx = d / dx [(5-x) ^ 3 (4 + x) ^ 5] farve (hvid) (dy / dx) = (5-x) ^ 3d / dx [(4 + x) ^ 5] + (4 + x) ^ 5d / dx [(5-x) 3] farve (hvid) (dy / dx) = (5-x) 3 (5 * (4 + x) 1) * d / dx [4 + x]) + (4 + x) ^ 5 (3 * (5-x) ^ (3-1) * d / dx [5-x]) farve / dx) = (5-x) ^ 3 (5 (4 + x) ^ 4 (1)) + (4 + x) ^ 5 (3 (5-x) ^ 2 (-1)) farve (dy / dx) = 5 (5-x) ^ 3 (4 + x) ^ 4-3 (4 + x) ^ 5 (5-x) ^ 2 Læs mere »

Dy / dx = 3 / (sqrt (16 - (9x ^ 2))) Du skal bruge kædelegemet. Husk at formlen for dette er: f (g (x)) '= f' (g (x)) * g '(x) Ideen er at du tager derivatet af den yderste funktion først langt inde. Før vi begynder, lad os identificere alle vores funktioner i dette udtryk. Vi har: arcsin (x) (3x) / 4 arcsin (x) er den yderste funktion, så vi starter med at tage derivatet af det. Så: dy / dx = farve (blå) (d / dx [arcsin (3x / 4)] = 1 / (sqrt (1 - ((3x) / 4) ^ 2))) Bemærk hvordan vi stadig bevarer ((3x) / 4) derinde. Husk, at når du bruger kædereglen, skelner du uden Læs mere »

Int x ^ ln (x) dx = e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2erfi (ln (x) +1/2) + C Vi begynder med en u-substitution med u = ln (x). Vi deler derefter med derivatet af dig til at integrere med hensyn til u: (du) / dx = 1 / x int x ^ ln (x) dx = int x * x ^ u du Nu skal vi løse x i form af u: u = ln (x) x = e ^ u int x * x ^ u = du = int e ^ u * (e ^ u) 2 + u) du Du kan gætte, at dette ikke har et elementært anti-derivat, og du ville have ret. Vi kan dog bruge formularen til den imaginære fejlfunktion, erfi (x): erfi (x) = int 2 / sqrtpie ^ (x ^ 2) dx For at få vores integral i denne formular kan vi kun have en kvadr Læs mere »

Se nedenunder. I betragtning af abs x <1 sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n = x ^ 2 d ^ 2 / (dx ^ 2) sum_ (n = 1) x) ^ n men sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 1 / (1 - (- x)) - 1 og d ^ 2 / (dx ^ 2) sum_ (n = 1) (-x) ^ n = 2 / (x + 1) ^ 3 så sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n = (2x ^ 2) / (x + 1 ) ^ 3 Læs mere »

Int sinh (x) / (1 + cosh (x)) dx = ln (1 + cosh (x)) + C Vi begynder med at introducere en u-substitution med u = 1 + cosh (x). Derefter er du afledt af sinh (x), så vi deler gennem sinh (x) for at integrere med hensyn til u: int sinh (x) / (1 + cosh (x)) dx = int (x)) / (annuller (sinh (x)) * u) du = int 1 / u du Dette integral er det fælles integral: int 1 / t dt = ln | t | + C Dette gør vores integral: ln | u | + C Vi kan erstatte for at få: ln (1 + cosh (x)) + C, som er vores sidste svar. Vi fjerner den absolutte værdi fra logaritmen, fordi vi bemærker, at cosh er positiv på sit dom& Læs mere »

4 = lim_ {n-> oo} (3 / n ^ 3) [sum_ {i = 1} ^ {i = n} i ^ 2] + (3 / n) [sum_ {i = 1} ^ {i = n} 1] (Faulhabers formel) "= lim_ {n-> oo} (3 / n ^ 3) [(n (n + 1) (2n + 1)) / 6] + (3 / n) ] = lim_ {n-> oo} (3 / n ^ 3) [n ^ 3/3 + n ^ 2/2 + n / 6] + (3 / n) [n] = lim_ {n-> oo} [1 + ((3/2)) / n + ((1/2)) / n ^ 2 + 3] = lim_ {n-> oo} [1 + 0 + 0 + 3] = 4 Læs mere »

Se nedenunder. Desværre integrerer funktionen i integralet ikke noget, der ikke kan udtrykkes i forhold til elementære funktioner. Du skal bruge numeriske metoder til at gøre dette. Jeg kan vise dig, hvordan du bruger en serieudvidelse for at få en omtrentlig værdi. Begynd med den geometriske serie: 1 / (1-r) = 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + r ^ 4 ... = sum_ (n = 0) ^ over ^ n for rlt1 Nu integrere med hensyn til r og bruge grænserne 0 og x for at få dette: int_0 ^ x1 / (1-r) dr = int_0 ^ x 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + ... dr Integrering af venstre side: int_0 ^ x1 / (1-r) dr = [- ln (1-r)] _ 0 ^ x = Læs mere »

Kæderegel: f '(g (x)) * g' (x) I differentialkalkulator bruger vi kædelegen, når vi har en sammensat funktion. Det hedder: Derivatet vil være lig med derivatet af den ydre funktion med hensyn til indersiden, gange derivatet af den indvendige funktion. Lad os se, hvad der ligner matematisk: Kæderegel: f '(g (x)) * g' (x) Lad os sige, at vi har den sammensatte funktionssyn (5x). Vi kender: f (x) = sinx => f '(x) = cosx g (x) = 5x => g' (x) = 5 Så derivatet vil være lig med cos (5x) * 5 = 5cos ) Vi skal bare finde vores to funktioner, finde deres derivater og in Læs mere »

Vi ved at en funktion kan tilnærmes med denne formel f (x) = sum_ {k = 0} ^ {n} frac {f ^ (k)) (x_0)} {k!} (X-x_0) ^ k + R_n (x) hvor R_n (x) er resten. Og det virker, hvis f (x) er afledt n gange i x_0. Lad os nu antage, at n = 4, ellers er det for meget kompliceret at beregne derivaterne. Lad os beregne for hver k = 0 til 4 uden at overveje resten. Når k = 0 bliver formlen: frac {e ^ (2/0)} {0!} (X-0) ^ 0 Og vi ser at e ^ (2/0) er undifiend, så funktionen kan ikke tilnærmes i x_0 = 0 Læs mere »

Her er en tilgang ... Lad os se ... En lineær er i form f (x) = mx + b hvor m er hældningen, x er variablen, og b er y-afsnit. (Du vidste det!) Vi kan finde konkaviteten af en funktion ved at finde dens dobbeltderivat (f '' (x)) og hvor det er lig med nul. Lad os gøre det da! f (x) = mx + b => f '(x) = m * 1 * x ^ (1-1) +0 => f' (x) = m * 1 => f ' > f '' (x) = 0 Så det fortæller os, at lineære funktioner skal kurve på hvert givet punkt. At vide, at grafen af lineære funktioner er en lige linje, det giver ikke mening, gør det? Derfor er d Læs mere »

Så jeg skal også bruge kæderegel på (x + 1) ^ 2 dy / dx = u'v + v'u u '= 2 (x + 1) * 1 v' = 2 u = (x + 1) ^ 2 v = (2x-1) subbing i produktreglen. dy / dx = 2 (2x + 1) * (2x-1) + 2 (x + 1) ^ 2 dy / dx = 2 (4x ^ 2-1) + 2 (x ^ 2 + 2x + 1) dy / dx = 8x ^ 2-2 + 2x ^ 2 + 4x + 2 dy / dx = 10x ^ 2 + 4x Læs mere »

. Jeg tror, at det ikke er standardiseret. Som studerende ved et universitet i USA i 1975 bruger vi Calculus af Earl Swokowski (første udgave). Hans definition er: Et punkt P (c, f (c)) på grafen af en funktion f er et bøjningspunkt, hvis der eksisterer et åbent interval (a, b) indeholdende c, således at følgende forhold holder: (i) farve (hvid) (') "" f' '(x)> 0 hvis a <x <c og f' '(x) <0 hvis c <x <b; eller (ii) "" f '' (x) <0 hvis a <x <c og f '' (x)> 0 hvis c <x <b. (s. 146) I en lærebog brug Læs mere »

Dy / dx = e ^ x (cosx + sinx) dy / dx = cosx xx e ^ x + e x xx sinx dy / dx = e ^ x (cosx + sinx) Læs mere »

Dette er den eksponentielle funktion af base b (hvor b> 0 bør antages). Det kan betragtes som bx = e ^ (xln (b)), således at man ved hjælp af kædelegemet (se kæderegel) og det faktum at (e ^ x) '= e ^ x (se eksponentialer med base e) udbytter (bx) '= e ^ (xln (b)) gange ln (b) = b ^ x gange ln (b) (se eksponentielle funktioner). Læs mere »

Derivatet af 10x med hensyn til x er 10. Lad y = 10x Differentier y med hensyn til x. (dy) / (dx) = xd / (dx) (10) + 10d / (dx) (x) [sinced / (dx) (uv) = ud / (dx) v + vd / (dx) u] (dy) / (dx) = x (0) +10 (1) [d / (dx) (const) = 0; d / (dx) x) = 1] (dy) / (dx) = 10 Derivatet af 10x med hensyn til x er 10. Læs mere »

Der er en regel for differentiering af disse funktioner (d) / (dx) [a ^ u] = (ln a) * (a ^ u) * (du) / (dx) Bemærk at for vores problem a = 10 og u = x så lad os tilslutte det, vi ved. (d) / (dx) hvis u = x derefter (du) / (dx) = 1 på grund af effekten (d) / (dx) [10 ^ x] = (ln 10) * reglen: (d) / (dx) [x ^ n] = n * x ^ (n-1) så tilbage til vores problem, (d) / (dx) [10 ^ x] = (ln 10) * 10 ^ x) = (ln 10) * (10 ^ x) Dette ville fungere det samme, hvis du var noget mere kompliceret end x. En masse calculus omhandler evnen til at relatere det givne problem til en af differentieringsreglerne. Ofte skal vi Læs mere »

D / dx2 ^ (sin (pix)) = 2 ^ (sin (pix)) * ln2 * cospix * (pi) Ved hjælp af følgende standardregler for differentiering: d / dxa ^ (u (x)) = a ^ u * lna * (du) / dx d / dx sinu (x) = cosu (x) * (du) / dx d / dxax ^ n = nax ^ (n-1) Vi opnår følgende resultat: d / dx2 ^ (pix)) = 2 ^ (sin (pix)) * ln2 * cospix * (pi) Læs mere »

(d) (2pir)) / (dr) farve (hvid) ("XXX") = 2pi (dr) / (dr) ved konstant regel for derivater farve (hvid) ("XXX") = 2pi ~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Den konstante regel for derivater fortæller os, at hvis f ( x) = c * g (x) for nogle konstante c derefter f '(x) = c * g' (x) I dette tilfælde f (r) = 2pir; c = 2pi og g (r) = r Læs mere »

D / (dx) (- 4 / x ^ 2) = 8x ^ (- 3) Givet, -4 / x ^ 2 Omskriv udtryk med (dy) / (dx) notation. d / (dx) (- 4 / x ^ 2) Bryd ned fraktionen. = d / (dx) (- 4 * 1 / x ^ 2) Ved hjælp af multiplikationen med en konstant regel, (c * f) '= c * f', frembringer -4. = -4 * d / (dx) (1 / x ^ 2) Omskriv 1 / x ^ 2 ved hjælp af eksponenter. = X * d / (dx) (x ^ -2) Ved anvendelse af kraftreglen d / (dx) (x ^ n) = n * x ^ (n-1) bliver udtrykket, = -4 * - 2x ^ (- 2-1) Forenkle. = Farve (grøn) (| bar (ul (farve (hvid) (a / a) farve (sort) (8x ^ -3) farve (hvid) (a / a) |))) Læs mere »

D / (dx) (5 + 6 / x + 3 / x ^ 2) = - 6 / x ^ 2-6 / x ^ 3 Jeg finder det nemmest at tænke i form af eksponentformularen og brug kraftreglen: d / (dx) x ^ n = nx ^ (n-1) som følger: d / (dx) (5 + 6 / x + 3 / x ^ 2) = d / (dx) (5 + 6x ^ ) + 3x ^ (- 2)) = 0 + 6 ((- 1) x ^ (- 2)) + 3 ((2) x ^ (-3)) = -6x ^ (-2) (-3) = -6 / x ^ 2-6 / x ^ 3 Læs mere »

-5 nu er strømreglen for differentiering: d / (dx) (ax ^ n) = anx ^ (n-1): .d / (dx) (- 5x) = d / (dx) (- 5x ^ 1 ) = -5xx1xx x ^ (1-1) ved hjælp af effektreglen = -5x ^ 0 = -5 hvis vi bruger definitionen (dy) / (dx) = Lim_ (h rarr0) (f (x + h) -f (x)) / h vi har (dy) / (dx) = Lim_ (h rarr0) (- 5 (x + h) -5x) / h (dy) / (dx) = Lim_ (h rarr0) 5x-5h + 5x) / h (dy) / (dx) = Lim_ (h rarr0) (- 5h) / h (dy) / (dx) = Lim_ (h rarr0) (- 5) = - 5 som før Læs mere »

D / dx | u | = u / | u | * (du) / dx absolutværdifunktion som y = | x-2 | kan skrives som dette: y = sqrt ((x-2) ^ 2) anvende differentiering: y '= (2 (x-2)) / (2sqrt ((x-2) ^ 2)) rarrpower regel forenkle y '= (x-2) / | X-2 | hvor x! = 2 så generelt d / dxu = u / | u | * (du) / dx Jeg sætter dette på dobbeltcheck bare for at være sikker. Læs mere »

Jeg antager, at du henviser til den ligesidede hyperbola, da det er den eneste hyperbola, der kan udtrykkes som den virkelige funktion af en reel variabel. Funktionen er defineret af f (x) = 1 / x. Ved definition er forallet x i (-infty, 0) kop (0, + infty) derivatet: f '(x) = lim_ {h til 0} {f (x + h) -f (x)} / { h} = lim_ {h til 0} {1 / {x + h} -1 / x} / {h} = lim_ {h til 0} {{x- (x + h)} / {(x + h) x } / {h} = lim_ {h til 0} {- h} / {xh (x + h)} = lim_ {h til 0} {- 1} / {x ^ 2 + hx} = - 1 / x ^ 2 Dette kan også opnås ved følgende afledningsregel forall alpha ne 1: (x ^ alpha) '= alpha x ^ {alpha-1 Læs mere »

5 Ikke helt sikker på din notation her. Jeg fortolker dette som: f (x) = 5x Derivat: d / dx 5x = 5 Dette opnås ved at bruge strømreglen: d / dx x ^ n = n * x ^ (n-1) Fra eksempel: d / dx 5x ^ 1 = (1) * 5x ^ (1-1) = 5 * x ^ 0 = 5 * 1 = 5 Læs mere »

En side kommentar til at begynde med: Notationen cos ^ -1 for den inverse cosinusfunktion (mere eksplicit, den inverse funktion af begrænsningen af cosinus til [0, pi]) er udbredt men vildledende. Faktisk antyder standardkonventionen for eksponenter ved anvendelse af trigfunktioner (fx cos ^ 2x: = (cos x) ^ 2, at cos ^ (- 1) x er (cos x) ^ (- 1) = 1 / (cos x). Selvfølgelig er det ikke, men notationen er meget vildledende. Den alternative (og almindeligt anvendte) notation arccos x er meget bedre. Nu for derivatet. Dette er en sammensat, så vi vil bruge kædelegemet. vil have brug for (x ^ 3) '= 3x ^ Læs mere »

F '(x) = - 1 / (xsqrt (1-x ^ 2)) - (cos ^ -1x) / x ^ 2 Brug kvotientregel, som er y = f (x) / g (x) '= (f' (x) g (x) -f (x) g '(x)) / (g (x)) ^ 2 Anvendes dette for givet problem, hvilket er f (x) = (cos ^ -1x ) / xf '(x) = ((cos ^ -1x)' (x) - (cos ^ -1x) (x) ') / x ^ 2f' (x) = (- 1 / sqrt x ^ 2) * x-cos ^ -1x) / x ^ 2f '(x) = - 1 / (xsqrt (1-x ^ 2)) - (cos ^ -1x) / x ^ 2, hvor -1 Læs mere »

Ved implicit differentiering, f '(x) = - 1 / {1 + x ^ 2} Lad os se på nogle detaljer. Ved at erstatte f (x) med y, y = cot ^ {- 1} x ved at omskrive som cotangent, Rightarrow coty = x ved indirekte differentiering med hensyn til x, Rightarrow -csc ^ 2ycdot {dy} / {dx} = 1 ved at dividere med -csc ^ 2y, Rightarrow {dy} / {dx} = - 1 / {csc ^ 2y} ved trig identiteten csc ^ 2y = 1 + cot ^ 2y = 1 + x ^ 2, Rightarrow {dy} / {dx} = - 1 / {1 + x ^ 2} Derfor er f '(x) = - 1 / {1 + x ^ 2} Læs mere »

Dy / dx = -1 / sqrt (x ^ 4 - x ^ 2) Proces: 1.) y = "arccsc" (x) Først vil vi omskrive ligningen i en form, der er lettere at arbejde med. Tag begge sideres cosecant: 2.) csc y = x Skriv om i form af sinus: 3.) 1 / siny = x Løs for y: 4.) 1 = xsin y 5.) 1 / x = sin y 6. ) y = arcsin (1 / x) Nu skal afledningen være lettere. Det er nu bare et spørgsmål om kæderegel. Vi ved at d / dx [arcsin alpha] = 1 / sqrt (1 - alpha ^ 2) (der er et bevis på denne identitet placeret her) Så tag derivatet af ydersiden, multiplicer derefter med derivatet af 1 / x: 7.) dy / dx = 1 / sqrt (1 Læs mere »

F '(x) = e ^ (4x) / ln10 (4ln (1-x) -1 / (1-x)) Forklaring: f (x) = e ^ (4x) log (1-x) Konvertering fra basen 10 til ef (x) = e ^ (4x) ln (1-x) / ln10 Brug af produktregel, som er y = f (x) * g (x) y '= f (x) * g' x) + f '(x) * g (x) Tilsvarende følger for det givne problem, f' (x) = e ^ (4x) / ln10 * 1 / (1-x) (- 1) + ln x) / ln10 * e ^ (4x) * (4) f '(x) = e ^ (4x) / ln10 (4ln (1-x) -1 / (1-x)) Læs mere »

I f (x) = ln (cos (x)) har vi en funktion af en funktion (det er ikke multiplikation, bare sayin '), så vi skal bruge kædelegemet for derivater: d / dx (f (g ( x)) = f '(g (x)) * g' (x) For dette problem har f (x) = ln (x) og g (x) = cos (x) = 1 / x og g '(x) = - sin (x), så sætter vi g (x) i formlen for f' (*) .d / dx (ln (cos (x))) = 1 / cos (x)) * d / dx (cos (x)) = (1) / (cos (x)) * (- sin (x)) = (- sin (x)) / cos (x) = (x). Det er værd at huske for senere, når du lærer om integraler! Fortæl dem dansmath besvarede dit spørgsmål! / Læs mere »

For det første vil vi omskrive funktionen i form af naturlige logaritmer, ved hjælp af reguleringsskiftet: f (x) = ln (e ^ x + 3) / ln4 Differentiering kræver brug af kædelegemet: d / dx f (x) = 1 / ln 4 * d / (d (e ^ x + 3)) [ln (e ^ x + 3)] * d / dx [e x x 3] Vi ved, at siden derivatet af ln x med hensyn til x er 1 / x, så vil derivatet af ln (e x x 3) med hensyn til e x x 3 være 1 / (e x x 3). Vi ved også, at derivatet af e ^ x + 3 med hensyn til x simpelthen vil være e ^ x: d / dx f (x) = 1 / ln 4 * 1 / (e ^ x + 3) * ) Forenkler udbytter: d / dx f (x) = (e x) / (ln 4 (e x x 3)) Læs mere »

F '(x) = e ^ x / (e ^ x + 3) løsning Lad os y = ln (f (x)) Differentiering med hensyn til x ved hjælp af kæderegel får vi, y' = 1 / f (x) * f '(x) Tilsvarende følger for det givne problemudbytte, f' (x) = 1 / (e ^ x + 3) * e ^ xf '(x) = e ^ x / (e ^ x + 3) Læs mere »

En sidebeskrivelse til at begynde med: Notation sin ^ -1 for inverse sinusfunktionen (mere eksplicit, den inverse funktion af begrænsningen af sinus til [-pi / 2, pi / 2]) er udbredt men vildledende. Faktisk antyder standardkonventionen for eksponenter ved anvendelse af trigfunktioner (f.eks. Sin ^ 2 x: = (sin x) ^ 2, at sin ^ (- 1) x er (sin x) ^ (- 1) = 1 / x). Selvfølgelig er det ikke, men notationen er meget vildledende. Den alternative (og almindeligt anvendte) notation arcsin x er meget bedre. Nu for derivatet. Dette er en sammensat, så vi vil anvende kædelegemet. skal bruge (ln x) '= 1 / x ( Læs mere »

F '(x) = 2 (cosec2x) Løsning f (x) = ln (tan (x)) Lad os begynde med generelt eksempel, formoder at vi har y = f (g (x)) f '(x)) * g' (x) På samme måde følger f '(x) = 1 / tanx * sec ^ 2x f' (x) = cosx / sinx * 1 / (cos ^ 2x) f '(x) = 1 / (sinxcosx) for at forenkle yderligere multiplicerer og divideres med 2, f' (x) = 2 / (2sinxcosx) f '(x) = 2 / (sin2x) 2 (cosec2x) Læs mere »

Metode 1: Vi begynder med at anvende reglen om ændring af basis for at omskrive f (x) ækvivalent som: f (x) = (lnx / ln6) ^ 2 Vi ved, at d / dx [ln x] = 1 / x . (hvis denne identitet ser uvant ud, skal du kontrollere nogle af videoerne på denne side for yderligere forklaring) Så vi vil anvende kædelegemet: f '(x) = 2 * (lnx / ln6) ^ 1 * d / dx [ln x / ln 6] Afledet af ln x / 6 vil være 1 / (xln6): f '(x) = 2 * (lnx / ln6) ^ 1 * 1 / (xln 6) Forenkling giver os: f' = (2lnx) / (x (ln6) ^ 2) Metode 2: Den første ting at bemærke er, at kun d / dx ln (x) = 1 / x hvor ln = log_e Læs mere »

Jeg antager, at ved log du betød en logaritme med base 10. Bør ikke være et problem alligevel, da logikken også gælder for andre baser. Først vil vi anvende reglen om ændring af basis: f (x) = y = ln (x ^ 2 + x) / ln (10) Vi kan overveje 1 / ln10 til blot at være en konstant, så tag derivatet af tæller og anvend kædelegemet: dy / dx = 1 / ln (10) * 1 / (x ^ 2 + x) * (2x + 1) Forenkle en smule: dy / dx = (2x + 1) / 10) * (x ^ 2 + x)) Der er vores derivat. Husk at tage derivater af logaritmer uden base e, er bare et spørgsmål om at bruge base-basen regel til a Læs mere »

Derivatet er f '(x) = (1-logx) / x ^ 2. Dette er et eksempel på Quotient Rule: Quotient Rule. Kvotientreglen angiver, at derivatet af en funktion f (x) = (u (x)) / (v (x)) er: f '(x) = (v (x) u' (x) -u ) v '(x)) / (v (x)) ^ 2. For at sige det mere konkret: f '(x) = (vu'-uv') / v ^ 2, hvor u og v er funktioner (specifikt tælleren og nævneren af den oprindelige funktion f (x)). For dette specifikke eksempel vil vi lade u = logx og v = x. Derfor er u '= 1 / x og v' = 1. Ved at erstatte disse resultater i kvotientreglen finder vi: f '(x) = (x xx 1 / x-logx xx 1) / x ^ 2 f Læs mere »

Ved kvotientregel, y '= {1 / x cdot x-lnx cdot 1} / {x ^ 2} = {1-lnx} / {x ^ 2} Dette problem kan også løses af produktreglen y' = f '(x) g (x) + f (x) g (x) Den oprindelige funktion kan også omskrives ved hjælp af negative eksponenter. f (x) = ln (x) / x = ln (x) * x ^ -1f '(x) = 1 / x * x ^ -1 + ln (x) * - 1x ^ -2f' ) = 1 / x * 1 / x + ln (x) * - 1 / x ^ 2f '(x) = 1 / x ^ 2-ln (x) / x ^ 2f' ln (x)) / x ^ 2 Læs mere »

D / dx [sec ^ -1x] = 1 / (sqrt (x ^ 4 - x ^ 2)) Fremgangsmåde: For det første vil vi gøre ligningen lidt lettere at håndtere. Tag sekskanten af begge sider: y = sec ^ -1 x sec y = x Næste omskriv i forhold til cos: 1 / cos y = x Og løse for y: 1 = xcosy 1 / x = hyggeligt y = arccos (1 / x) Nu ser det meget nemmere ud at differentiere. Vi ved at d / dx [arccos (alpha)] = -1 / (sqrt (1-alfa ^ 2)), så vi kan bruge denne identitet såvel som kædelegemet: dy / dx = -1 / sqrt (1 / x) 2) * d / dx [1 / x] En smule forenkling: dy / dx = -1 / sqrt (1 - 1 / x ^ 2) * mere forenkling: dy / d Læs mere »

De fleste mennesker husker dette f '(x) = 1 / {sqrt {1-x ^ 2}} som en af derivatformler; Du kan dog udlede det ved implicit differentiering. Lad os udlede derivatet. Lad y = sin ^ {- 1} x. Ved at skrive om sinus, siny = x Ved indirekte differentiering med hensyn til x, hyggelige cdot {dy} / {dx} = 1 Ved at dividere med hyggeligt {dy} / {dx} = 1 / cosy Ved hyggeligt = sqrt { 1-sin ^ 2y}, {dy} / {dx} = 1 / sqrt {1-sin ^ 2y} Ved siny = x, {dy} / {dx} = 1 / sqrt {1-x ^ 2} Læs mere »

Afledet til dette eksempel indebærer kædelegemet og kraftreglen. Konverter kvadratroden til en eksponent. Anvend derefter Power Rule og Chain Rule. Derefter forenkle og fjerne de negative eksponenter. f (x) = sqrt (1 + ln (x)) f (x) = (1 + ln (x)) ^ (1/2) f '(x) = (1/2) (1 + ln )) ((1/2) -1) * (0 + 1 / x) f '(x) = (1/2) (1 + ln (x)) ^ ((- 1/2)) * 1 (x) = (1 + (x)) ^ ((- 1/2)) f '(x) = 1 / (2xsqrt (1 + ln (x ))) Læs mere »

Jeg synes at minde min professor glemmer, hvordan man skal udlede dette. Dette er hvad jeg viste ham: y = arctanx tany = x sec ^ 2y (dy) / (dx) = 1 (dy) / (dx) = 1 / (sec ^ 2y) Da tany = x / 1 og sqrt ^ 2 + x ^ 2) = sqrt (1 + x ^ 2), sec ^ 2y = (sqrt (1 + x ^ 2) / 1) ^ 2 = 1 + x ^ 2 => farve (blå) ) / (dx) = 1 / (1 + x ^ 2)) Jeg synes at han oprindeligt havde til hensigt at gøre dette: (dy) / (dx) = 1 / (sec ^ 2y) sec ^ 2y = 1 + tan ^ 2y tan ^ 2y = x -> sec ^ 2y = 1 + x ^ 2 => (dy) / (dx) = 1 / (1 + x ^ 2) Læs mere »

F '(x) = 3x ^ 2-6x Vi har brug for sumregel (u + v + w)' = u '+ v' + w 'og at (x ^ n)' = nx ^ (n-1) så vi får f '(x) = 3x ^ 2-6x Læs mere »

Når du differentierer en eksponentiel med en base bortset fra e, skal du bruge reglen om ændring af basis for at konvertere den til naturlige logaritmer: f (x) = x * lnx / ln5 Differentier nu og anvend produktreglen: d / dxf (x) = d / dx [x] * lnx / ln5 + x * d / dx [lnx / ln5] Vi ved, at derivatet af ln x er 1 / x. Hvis vi behandler 1 / ln5 som en konstant, kan vi reducere ovenstående ligning til: d / dxf (x) = lnx / ln5 + x / (xln5) Forenkling af udbytter: d / dxf (x) = (lnx + 1) / LN5 Læs mere »

Funktionen f (x) = x * ln (x) er af formen f (x) = g (x) * h (x), som gør den egnet til anvendelse af produktreglen. Produktregel siger, at for at finde afledte af en funktion, der er et produkt af to eller flere funktioner, benyt følgende formel: f '(x) = g' (x) h (x) + g (x) h ' vores tilfælde kan vi bruge følgende værdier for hver funktion: g (x) = xh (x) = ln (x) g '(x) = 1 h' (x) = 1 / x Når vi erstatter hver af disse til Produktreglen får vi det endelige svar: f '(x) = 1 * ln (x) + x * 1 / x = ln (x) + 1 Få mere at vide om produktreglen her. Læs mere »

(df) / dx = sqrt (1-x ^ 2) - x ^ 2 / (sqrt (1-x ^ 2)). Vi vil kræve brug af to regler: produktreglen og kædereglen. Produktreglen siger at: (d (fg)) / dx = (df) / dx * g (x) + f (x) * (dg) / dx. Kædelegemet fastslår at: (dy) / dx = (dy) / (du) (du) / dx, hvor du er en funktion af x og y er en funktion af dig. Derfor (df) / dx = (x) '* (sqrt (1-x ^ 2)) + x * (sqrt (1-x ^ 2)) For at finde derivatet af sqrt (1-x ^ 2) , brug kædelegemet med u = 1-x ^ 2: (sqrtu) '= 1 / (2sqrtu) * u' = - (2x) / (2 (sqrt (1-x ^ 2)) = -x / (sqrt (1-x ^ 2)). Dette erstattes med den oprindelige ligning: (df) / dx Læs mere »

G '(x) = 1-4 / (x ^ 2) For at finde derivatet af g (x) skal du differentiere hvert udtryk i summen g' (x) = d / dx (x) + d / dx 4 / x) Det er nemmere at se Power Rule på andet sigt ved at omskrive det som g '(x) = d / dx (x) + d / dx (4x ^ -1) g' (x) = 1 + 4d / dx (x ^ -1) g '(x) = 1 + 4 (-1x ^ (-1-1)) g' (x) = 1 + 4 (-x ^ (- 2)) g ' x) = 1 - 4x ^ -2 Endelig kan du omskrive dette nye andet udtryk som en brøkdel: g '(x) = 1-4 / (x ^ 2) Læs mere »

Du kan behandle jeg som enhver konstant som C. Så derivatet af jeg ville være 0. Men når vi beskæftiger os med komplekse tal, skal vi være forsigtige med hvad vi kan sige om funktioner, derivater og integraler. Tag en funktion f (z), hvor z er et komplekst tal (det vil sige f har et komplekst domæne). Derefter defineres derivatet af f på samme måde som det virkelige tilfælde: f ^ prime (z) = lim_ (h til 0) (f (z + h) -f (z)) / (h) hvor h er nu et komplekst tal. At se som komplekse tal kan tænkes som liggende i et fly kaldet det komplekse plan, vi har, at resultatet af denne Læs mere »

(ln (2x)) '= 1 / (2x) * 2 = 1 / x. Du bruger kædelegemet: (f @ g) '(x) = (f (g (x)))' = f '(g (x)) * g' (x). I dit tilfælde: (f @ g) (x) = ln (2x), f (x) = ln (x) og g (x) = 2x. Da f '(x) = 1 / x og g' (x) = 2 har vi: (f @ g) '(x) = (ln (2x))' = 1 / (2x) * 2 = 1 / x. Læs mere »

I betragtning af funktionen (lineær): y = mx + b hvor m og b er reelle tal, er derivatet, y 'af denne funktion (med hensyn til x): y' = m Denne funktion, y = mx + b, repræsenterer grafisk en retlinie, og tallet m repræsenterer linjens SLOPE (eller hvis du ønsker linjens hældning). Som du kan se udledende den lineære funktion y = mx + b giver dig m, hældningen af linjen, som er et ret rearcable resultat, meget anvendt i Calculus! Som eksempel kan du overveje funktionen: y = 4x + 5 du kan udlede hver faktor: Derivat af 4x er 4 derivat af 5 er 0 og derefter tilføj dem sammen fo Læs mere »

Afledt af pi * r ^ 2 (forudsat at dette er med hensyn til r) er farve (hvid) ("XXX") (d pir ^ 2) / (dr) = farve (rød) (2pir) Generelt er strømmen reglen for differentiering af en funktion af den generelle form f (x) = c * x ^ a hvor c er en konstant er (df (x)) / (dx) = a * c * x ^ (a-1) I dette tilfælde farve (hvid) ("XXX") konstanten (c) er pi farve (hvid) ("XXX") eksponenten (a) er 2 farve (hvid) ("XXX") og vi bruger r som vores variabel, i stedet for x Så farve (hvid) ("XXX") (d (pir ^ 2)) / (dr) = 2 * pi * r ^ (2-1) farve (hvid) ("XXXXXXX" Læs mere »

Pi / 3 Vi vil bruge reglen: d / dx (cx) = cd / dx (x) = c Med andre ord er derivatet af 5x 5, derivatet af -99x er -99 og derivatet af 5 / 7x er 5/7. Den givne funktion (pix) / 3 er den samme: det er den konstante pi / 3 multipliceret med variablen x. Således d / dx ((pix) / 3) = pi / 3d / dx (x) = pi / 3. Læs mere »

2 * cos (2x) Jeg vil bruge kædelegemet: Udlede først synden og derefter argumentet 2x for at få: cos (2x) * 2 Læs mere »

Det foregående svar indeholder fejl. Her er den korrekte afledning. Først og fremmest vil minustegnet foran en funktion f (x) = - sin (x), når der tages et derivat, ændre tegn på et derivat af en funktion f (x) = sin (x) til et modsat . Dette er en let sætning i teorien om grænser: grænsen for en konstant multipliceret med en variabel er lig med denne konstant multipliceret med en grænse for en variabel. Så lad os finde derivatet af f (x) = sin (x) og multiplicere det med -1. Vi skal starte fra følgende sætning om grænsen for trigonometrisk funktion f (x) = s Læs mere »

Svar 1 Hvis du vil have de partielle derivater af f (x, y) = sin (x ^ 2y ^ 2), er de: f_x (x, y) = 2xy ^ 2cos (x ^ 2y ^ 2) og f_y (x, y) = 2x ^ 2ycos (x ^ 2y ^ 2). Svar 2 Hvis vi overvejer y at være en funktion af x og leder efter d / (dx) (sin (x ^ 2y ^ 2)), er svaret: d / (dx) (sin (x ^ 2y ^ 2 )) = [2xy ^ 2 + 2x ^ 2y (dy) / (dx)] cos (x ^ 2y ^ 2) Find dette ved hjælp af implicit differentiering (kædereglen) og produktreglen. d / (dx) (sin (x ^ 2y ^ 2)) = [cos (x ^ 2y ^ 2)] * d / (dx) (x ^ 2y ^ 2) == [cos (x ^ 2y ^ 2) ] * [2xy ^ 2 + x ^ 2 2y (dy) / (dx)] = [2xy ^ 2 + 2x ^ 2y (dy) / (dx)] cos (x ^ 2y ^ 2) Læs mere »