Calculus

Minimumet er 0 ved x = 0, og maksimumet er 4 ^ 4 / e ^ 4 ved x = 4 Bemærk først at på [0, oo) er f aldrig negativ. Desuden skal f (0) = 0, så det skal være minimum. f '(x) = (x ^ 3 (4-x)) / e ^ x som er positiv på (0,4) og negativ på (4, oo). Vi konkluderer, at f (4) er et relativ maksimum. Da funktionen ikke har andre kritiske punkter i domænet, er dette relative maksimum også det absolutte maksimum. Læs mere »

Y '= (-2x (x ^ 2 + 5) ^ 2-2 (-x ^ 2 + 5) (x ^ 2 + 5) (2x)) / ((x ^ 2 + 5) ^ 2) ^ 2 y '= (-2x (x ^ 2 + 5) ^ 2-2 (-x ^ 2 + 5) (x ^ 2 + 5) (2x)) / ((x ^ 2 + 5) ^ 2) ^ 2 y '= (-2x (x ^ 4 + 10x +25) - 4x (-x ^ 4-annullere (5x ^ 2) + annullere (5x ^ 2 + 25)) / ((x ^ 2 +5) ^ 4 y '= (-2x ^ 5 - 20x ^ 2 -50x + 4x ^ 5-100x) / ((x ^ 2 + 5) ^ 4 y' = (2x ^ 5 - 20x ^ 2 - 150x) / ( x ^ 2 + 5) ^ 4 Læs mere »

Absolut maks: x = pi / 8 Absolut min. er ved endepunkterne: x = 0, x = pi / 4 Find det første derivat ved hjælp af kædelegemet: Lad os = 2x; u '= 2, så y = sinu + cos uy' = (cosu) u '- (sinu) u' = 2cos2x - 2sin2x Find kritiske tal ved at indstille y '= 0 og faktor: 2 (cos2x-sin2x) = 0 Når gør cosu = sinu? når u = 45 ^ @ = pi / 4 så x = u / 2 = pi / 8 Find det andet derivat: y '' = -4sin2x-4cos2x Kontrollér for at se, om du har en max ved pi / 8 ved hjælp af 2. derivat test : y '' (pi / 8) ~ ~ -5,66 <0, derfor er pi / 8 det absolutte ma Læs mere »

Minimum: f (x) = -6.237 ved x = 1.147 Maksimum: f (x) = 16464 ved x = 7 Vi bliver bedt om at finde de globale minimums- og maksimumsværdier for en funktion i et givet interval. For at gøre det skal vi finde de kritiske punkter i løsningen, som kan gøres ved at tage det første derivat og løse for x: f '(x) = 5x ^ 4 - 3x ^ 2 + 2x - 7 x ~~ 1,147 som tilfældigvis er det eneste kritiske punkt. For at finde den globale ekstrema skal vi finde værdien af f (x) ved x = 0, x = 1.147 og x = 7 i henhold til det givne interval: x = 0: f (x) = 0 x = 1,147 Således er den absolutte ekstrem Læs mere »

Intet maksimum. Minimum er 0. Ingen maksimum Som xrarr0, sinxrarr0 og lnxrarr-oo, så lim_ (xrarr0) abs (sinx + lnx) = oo Så der er ikke noget maksimum. Intet minimum Lad g (x) = sinx + lnx og bemærk at g er kontinuerlig på [a, b] for eventuelle positive a og b. g (1) = sin1> 0 "" og "" g (e ^ -2) = sin (e ^ -2) -2 <0. g er kontinuerlig på [e ^ -2,1], som er en delmængde af (0,9). Ved mellemværdets sætning har g et nul i [e ^ -2,1], som er en delmængde på (0,9). Det samme tal er et nul for f (x) = abs sinx + lnx) (som skal være ikke-negativ for Læs mere »

X = ln (5) og x = ln (30) Jeg tror den absolutte ekstrem er den "største" (mindste min eller største max). Du har brug for f ': f' (x) = (xcos (x) e ^ x - sin (x) (e ^ x + xe ^ x)) / (xe ^ x) ^ 2 f '(x) = (x) - sin (x) (1 + x)) / (x ^ 2e ^ x) AAx i [ln (5), ln (30)], x ^ 2e ^ x> 0 så vi har brug for tegn x) - sin (x) (1 + x)) for at få variationerne af f. AAx i [ln (5), ln (30)], f '(x) <0 så f er konstant faldende på [ln (5), ln (30)]. Det betyder, at dets ekstremer er ved ln (5) & ln (30). Dens maks er f (ln (5)) = synd (ln (5)) / (ln (25)) og dens min er Læs mere »

Det absolutte minimum er 0, hvilket sker ved x = 0 og x = 20. Det absolutte maksimum er 15root (3) 5, hvilket forekommer ved x = 5. De mulige punkter, som kan være absolutte ekstrema, er: Drejepunkter; dvs. point hvor dy / dx = 0 Intervallets endepunkter Vi har allerede vores endepunkter (0 og 20), så lad os finde vore point: f '(x) = 0 d / dx (x ^ (1/3) ( 20 x)) = 0 1 / 3x ^ (- 2/3) (20-x) -x ^ (1/3) = 0 (20-x) / (3x ^ (2/3)) = x ^ (1/3) (20-x) / (3x) = 1 20-x = 3x 20 = 4x 5 = x Så der er et vendepunkt hvor x = 5. Dette betyder at de 3 mulige punkter, der kan være ekstremt, er : x = 0 "" Læs mere »

(1, 1 / e) er et absolut maksimum i det givne domæne Der er ikke noget minimum Derivatet er givet ved f '(x) = (1 (e ^ (x ^ 2)) - x (2x) e ^ ^ 2)) / (e ^ (x ^ 2)) 2f '(x) = (e ^ (x ^ 2) - 2x ^ 2e ^ (x ^ 2)) / (e ^ (x ^ 2) ) ^ 2 Kritiske værdier vil opstå, når derivatet er lig med 0 eller er udefineret. Derivatet vil aldrig være udefineret (fordi e ^ (x ^ 2) og x er kontinuerte funktioner og e ^ (x ^ 2)! = 0 for enhver værdi af x. Så hvis f '(x) = 0: 0 = e ^ (x ^ 2) - 2x ^ 2e ^ (x ^ 2) 0 = e ^ (x ^ 2) (1 - 2x ^ 2) Som nævnt ovenfor vil e ^ (x ^ 2) aldrig ligge 0, så v Læs mere »

Der er et absolut maksimum på -1.718 ved x = 1 og et absolut minimum på -5.921 ved x = ln8. For at bestemme absolut ekstrem på et interval skal vi finde de kritiske værdier af den funktion, som ligger inden for intervallet. Derefter skal vi teste både intervallets endepunkter og de kritiske værdier. Dette er de steder, hvor kritiske værdier kan forekomme. Find kritiske værdier: De kritiske værdier af f (x) forekommer, når f '(x) = 0. Således må vi finde derivatet af f (x). Hvis: "" x "= 1-e ^ x Så vil de kritiske værdier opstå, n& Læs mere »

Ved x = -1 minimum og ved x = 3 er maksimumet. f (x) = (x-1) / (x ^ 2 + x + 2) har stationære punkter kendetegnet ved (df) / (dx) = - (x-3) (1 + x)) / x + x ^ 2) ^ 2 = 0, så de er ved x = -1 og x = 3 Deres karakterisering foretages ved at analysere signalet af (d ^ 2f) / (dx ^ 2) = (2 (x ((x- 3) x-9) - 1) / (2 + x + x ^ 2) ^ 3 på disse punkter. (d ^ 2f) / (dx ^ 2) (- 1) = 1> 0-> relativ minimum (d ^ 2f) / (dx ^ 2) (3) = - 1/49 <0-> relativ maksimum. Vedhæftet funktionsplotten. Læs mere »

Ingen absolutte maxima eller minima, vi har en maxima ved x = 16 og en minima ved x = 0 Maksima vises, hvor f '(x) = 0 og f' '(x) <0 for f (x) = (x (X-8) ^ 2 + 9f '(x) = (x-8) ^ 2 + 2 (x + 1) (x-8) = (x-8) (x-8 + 2x + 2) = (x-8) (3x-6) = 3 (x-8) (x-2) Det er tydeligt, at når x = 2 og x = 8, har vi ekstrem men f '' (x) = 3 (x-2) +3 (x-8) = 6x-30 og ved x = 2, f '' (x) = - 18 og ved x = 8, f'' (x) = 18 Derfor, når x i [ 0,16] vi har en lokal maxima ved x = 2 og en lokal minima ved x = 8 ikke absolutte maksimum eller minima. I intervallet [0,16] har vi en maxima ved x = 16 Læs mere »

Det absolutte minimum er -25/2 (ved x = -sqrt (25/2)). Det absolutte maksimum er 25/2 (ved x = sqrt (25/2)). f (-4) = -12 og f (5) = 0 f '(x) = sqrt (25-x ^ 2) + x / (annullér (2) sqrt (25-x ^ 2)) * 2) x = (25-x ^ 2-x ^ 2) / sqrt (25-x ^ 2) = (25-2x ^ 2) / sqrt (25-x ^ 2) De kritiske tal for f er x = + -sqrt (25/2) Begge disse er i [-4,5] .. f (-sqrt (25/2)) = -sqrt (25/2) sqrt (25-25 / 2) = -sqrt 25/2) sqrt (25/2) = -25/2 Ved symmetri (f er ulige), f (sqrt (25/2)) = 25/2 Sammendrag: f (-4) = -12 f (-sqrt (25/2)) = -25/2 f (sqrt (25/2)) = 25/2 f (5) = 0 Det absolutte minimum er -25/2 (ved x = -sqrt (25/2)) . Det a Læs mere »

Der er intet absolut ekstrem i intervallet (2, 5) Givet: f (x) = x - sqrt (5x - 2) i (2, 5) For at finde absolut ekstrem må vi finde det første derivat og udføre det første derivat test for at finde et minimum eller maksimum og find derefter y-værdierne for slutpunkterne og sammenlign dem. Find det første derivat: f (x) = x - (5x - 2) ^ (1/2) f '(x) = 1 - 1/2 (5x - 2) ^ (- 1/2) (5) f '(x) = 1 - 5 / (2sqrt (5x - 2)) Find kritiske værdier f' (x) = 0: 1 - 5 / (2sqrt (5x - 2)) = 0 1 = 5 / 2sqrt (5x - 2)) 2sqrt (5x - 2) = 5 sqrt (5x - 2) = 5/2 Square begge sider: 5x - 2 = + - 25/4 Læs mere »

Absolut maksimum: (5, 1/10) absolut minimum: (0, 0) Givet: f (x) = x / (x ^ 2 + 25) "på interval" [0, 9] Absolut ekstrem kan findes ved evaluering slutpunktene og finde eventuelle relative maksimum eller minimum og sammenligne deres y-værdier. Evaluere endepunkter: f (0) = 0/25 = 0 => (0, 0) f (9) = 9 / (9 ^ 2 + 25) = 9 / (81 + 25) = 9/106 => 9, 9/106) ~~ (9, .085) Find nogen relative minimum eller maksimum ved at indstille f '(x) = 0. Brug kvotientreglen: (u / v)' = (vu '- uv') / v ^ 2 Lad u = x; "" u '= 1; "" v = x ^ 2 + 25; (xx2x)) / (x ^ 2 + 25) ^ 2f  Læs mere »

Der er ikke absolut ekstrem, fordi f (x) ubundet Der er lokal ekstrem: LOKAL MAX: x = -1 LOKAL MIN: x = 1 INFLEKSIONSPUNKT x = 0 Der er ikke absolut ekstrem fordi lim_ (x rarr + -oo) f x) rarr + -oo Du kan finde lokal ekstrem, hvis nogen. For at finde f (x) ekstrem eller kritiske poits skal vi beregne f '(x) Når f' (x) = 0 => f (x) har et stationært punkt (MAX, min eller inflektionspunkt). Så skal vi finde, når: f '(x)> 0 => f (x) er stigende f' (x) <0 => f (x) er faldende Derfor: f '(x) = d / dx ^ 7-7x ^ 5-5) = 35x ^ 6-35x ^ 4 + 0 = 35x ^ 4 (x ^ 2-1): .f '(x) = 35 Læs mere »

Vi skal finde de kritiske værdier af f (x) i intervallet [1,4]. Derfor beregner vi det første derivats rødder, så vi har (df) / dx = 0 => 2x-2 / x ^ 2 = 0 => 2x ^ 2 (x-2) = 0 => x = 2 Så f 2) = 5 Også vi finder værdierne for f ved endepunkterne f (1) = 1 + 2 = 3 f (4) = 16 + 2/4 = 16,5 Den største funktionsværdi er ved x = 4 dermed f ) = 16,5 er det absolutte maksimum for f i [1,4] Den mindste funktionsværdi er ved x = 1 dermed f (1) = 3 er det absolutte minimum for f i [1,4] Grafen af f i [1 , 4] er Læs mere »

Den absolutte ekstrem kan enten forekomme på grænserne, på lokale ekstrem eller udefinerede punkter. Lad os finde værdierne for f (x) på grænserne x = 3 og x = 7. Dette giver os f (3) = 1 og f (7) = 7/43. Find derefter den lokale ekstrem ved derivatet. Der kan findes derivatet af f (x) = x / (x ^ 2-6) ved anvendelse af kvotientreglen: d / dx (u / v) = ((du) / dxv-u (dv) / dx) / v ^ 2 hvor u = x og v = x ^ 2-6. Således f '(x) = - (x ^ 2 + 6) / (x ^ 2-6) ^ 2. Den lokale ekstrem forekommer når f '(x) = 0, men ingen steder i x i [3,7] er f' (x) = 0. Find så nogle uafklar Læs mere »

Absolut minimum -1 ved x = 1 og et absolut maksimum på 19 ved x = 3. Der er to kandidater til den absolutte ekstremitet af et interval. De er intervallets endepunkter (her, 0 og 3) og de kritiske værdier af funktionen placeret inden for intervallet. De kritiske værdier kan findes ved at finde funktionens derivat og finde ud af hvilke værdier af x det er lig med 0. Vi kan bruge strømreglen til at finde ud af, at derivatet af f (x) = x ^ 3-3x + 1 er f '( x) = 3x ^ 2-3. De kritiske værdier er, når 3x ^ 2-3 = 0, hvilket forenkler at være x = + - 1. Imidlertid er x = -1 ikke i interva Læs mere »

Lokale Minima. er -2187/128. Globale Minima = -2187 / 128 ~ = -17,09. Global Maxima = 64. For ekstremt, f '(x) = 0. f '(x) = (x-2) * 3 (x-5) ^ 2 + (x-5) ^ 3 * 1 = (x-5) ^ 2 {3x-6 + x-5] = (4x -11) (x-5) ^ 2. f '(x) = 0 rArr x = 5! i [1,4], så der er ikke behov for yderligere cosideration & x = 11/4. f '(x) = (4x-11) (x-5) ^ 2, rArr f' '(x) = (4x-11) * 2 (x-5) + (x-5) ^ 2 * 4 = 2 (x-5) {4x-11 + 2x-10} = 2 (x-5) (6x-21). Nu er f '' (11/4) = 2 (11 / 4-5) (33/2-21) = 2 (-9/4) (- 9/2)> 0, der viser, at f (11 / 4) = (11 / 4-2) (11 / 4-5) ^ 3 = (3/2) (- 9/4) ^ 3 = -2187 / 128, er lokale Læs mere »

(-4, -381) og (8,2211) For at finde ekstremmen skal du tage derivatet af funktionen og finde derivaternes rødder. dvs løse for d / dx [f (x)] = 0, brug magt regel: d / dx [6x ^ 3 - 9x ^ 2-36x + 3] = 18x ^ 2-18x-36 løse for rødderne: 18x ^ 2-18x-36 = 0 x ^ 2-x-2 = 0, faktor det kvadratiske: (x-1) (x + 2) = 0 x = 1, x = -2 f (-1) = -6- 9 + 36 + 3 = 24 f (2) = 48-36-72 + 3 = -57 Kontrollér grænserne: f (-4) = -381 f (8) = 2211 Således er den absolutte ekstrems (-4, - 381) og (8,2211) Læs mere »

Absolut minimum er 0 (ved x = 0) og absolut maksimum er 1 (ved x = 1). f (x) = ((1) (x ^ 2-x + 1) - (x) (2x-1)) / (x ^ 2-x + 1) ^ 2 = (1-x ^ 2) / (x ^ 2-x + 1) ^ 2 f '(x) er aldrig udefineret og er 0 ved x = -1 (som ikke er i [0,3]) og ved x = 1. Ved at teste endevinklerne for intrigen og det kritiske tal i intervallet finder vi: f (0) = 0 f (1) = 1 f (3) = 3/7 Så absolutte minimum er 0 (ved x = 0) og absolut maksimum er 1 (ved x = 1). Læs mere »

Se nedenfor for svar For x = 0 har vi f (0) -e ^ (- f (0)) = - 1 Vi anser en ny funktion g (x) = xe ^ (- x) +1, xinRR g (0 ) = 0, g '(x) = 1 + e ^ (- x)> 0, xinRR Som et resultat er g stigende i RR. Således fordi det strengt øger g, er "1-1" (en til en) Så, f (0) -e ^ (- f (0)) + 1 = 0 <=> g (f (0)) = g 0) <=> f (0) = 0 Vi skal vise det x / 2 ^ (x> 0) 1/2 1/2 <(f (x) -f (0)) / (x-0)Læs mere »

Se nedenfor, jeg er ikke 100% sikker på dette, men det ville være mit svar. Definitionen af en jævn funktion er f (-x) = f (x) Derfor f (-a) = f (a). Eftersom f (a) er kontinuert og f (-a) = f (a), er f (-a) også kontinuert. Læs mere »

Dy / dx = tanh (lnx) / x - tanx Jeg kan godt lide at indstille problemet svarende til y, hvis det ikke allerede er. Det vil også hjælpe vores sag at omskrive problemet ved hjælp af logaritmernes egenskaber; y = ln (cosh (lnx)) + ln (cosx) Nu gør vi to substitutioner for at gøre problemet lettere at læse; Lad os sige w = cosh (lnx) og u = cosx nu; y = ln (w) + ln (u) ahh, vi kan arbejde med dette :) Lad os tage derivatet med hensyn til x fra begge sider. (Da ingen af vores variabler er x vil dette være implicit differentiering) d / dx * y = d / dx * ln (w) + d / dx * ln (u) Nå ved vi Læs mere »

E ^ sqrt (x) / (2sqrt (x)) En substitution her ville hjælpe enormt! Lad os sige at x ^ (1/2) = u nu, y = e ^ u Vi ved, at derivatet af e ^ x er e ^ x så; dy / dx = e ^ u * (du) / dx ved hjælp af kædelegemet d / dx x ^ (1/2) = (du) / dx = 1/2 * x ^ (- 1/2) = 1 / 2sqrt (x)) Nu plug (du) / dx og du tilbage i ligningen: D dy / dx = e ^ sqrt (x) / (2sqrt (x)) Læs mere »

(1,1) og (1, -1) er vendepunkterne. y ^ 3 + 3xy ^ 2-x ^ 3 = 3 Under anvendelse af implicit differentiering, 3y ^ 2times (dy) / (dx) + 3xtimes2y (dy) / (dx) + 3y ^ 2-3x ^ 2 = 0 (dy) / (dx) (3y ^ 2 + 6xy) = 3x ^ 2-3y ^ 2 (dy) / (dx) = (3 (x ^ 2-y ^ 2)) / (3y (y + 2x)) / (dx) = (x ^ 2-y ^ 2) / (y (y + 2x) For drejepunkter, (dy) / (dx) = 0 (x ^ 2-y ^ 2) / 2x) = 0 x ^ 2-y ^ 2 = 0 (xy) (x + y) = 0 y = x eller y = -x Sub y = x tilbage i den oprindelige ligning x ^ 3 + 3x * x ^ 2- x ^ 3 = 3 3x ^ 3 = 3 x ^ 3 = 1 x = 1 Derfor er (1,1) et af de to vendpunkter Sub y = -x tilbage i den oprindelige ligning x ^ 3 + 3x * (- x ) ^ 2-x ^ 3 Læs mere »

(0, -2) er et sadpunkt (-5,3) er et lokalt minimum Vi er givet g (x, y) = 3x ^ 2 + 6xy + 2y ^ 3 + 12x-24y Først skal vi finde punkter hvor (delg) / (delx) og (delg) / (dely) begge er lig med 0. (delg) / (delx) = 6x + 6y + 12 (delg) / (dely) = 6x + 6y ^ 2-24 6 (x + y + 2) = 0 6 (x + y ^ 2-4) = 0 x + y + 2 = 0 x = -y-2-y-2 + y ^ 2-4 = 0 y ^ 2- y-6 = 0 (y-3) (y + 2) = 0 y = 3 eller -2 x = -3-2 = -5 x = 2-2 = 0 Kritiske punkter forekommer ved (0, -2) og (-5,3) Nu til klassificering: determinanten af f (x, y) er givet ved D (x, y) = (del ^ 2g) / (delx ^ 2) (del ^ 2g) / (dely ^ 2 ) (del = 2g) / (delxy)) ^ 2 (del ^ 2g) / (d Læs mere »

Lad os begynde med at sætte nogle definitioner. Hvis vi kalder h højden af kassen og x de mindre sider (så de større sider er 2x, kan vi sige det volumen V = 2x * x * h = 2x ^ 2 * h = 9000 hvorfra vi ekstraherer hh = 9000 / (2x ^ 2) = 4500 / x ^ 2 Nu for overfladerne (= materiale) Top og bund: 2x * x gange 2-> Område = 4x ^ 2 Korte sider: x * h gange 2-> Areal = 2xh Lange sider: 2x * h gange 2-> Areal = 4xh Samlet areal: A = 4x ^ 2 + 6xh Ved at erstatte h A = 4x ^ 2 + 6x * 4500 / x ^ 2 = 4x ^ 2 + 27000 / x = 4x ^ 2 + 27000x ^ -1 For at finde minimum, differentierer vi og sætter A  Læs mere »

Domænet for definitionen af: f (x) = 2x ^ 2lnx er intervallet x i (0, + oo). Evaluere den første og anden derivat af funktionen: (df) / dx = 4xlnx + 2x ^ 2 / x = 2x (1 + 2lnx) (d2f) / dx ^ 2 = 2 (1 + 2lnx) + 2x * 2 / x = 2 + 4lnx + 4 = 6 + lnx De kritiske punkter er løsningerne af: f '(x) = 0 2x (1 + 2lnx) = 0 og som x> 0: 1 + 2lnx = 0 lnx = -1 / 2 x = 1 / sqrt (e) I dette punkt: f '' (1 / sqrte) = 6-1 / 2 = 11/2> 0, så det kritiske punkt er et lokalt minimum. Sadelpunkterne er løsningerne af: f '' (x) = 0 6 + lnx = 0 lnx = -6 x = 1 / e ^ 6 og da f '' (x) er monoto Læs mere »

Denne funktion har ingen stationære punkter (er du sikker på, at f (x, y) = 2x ^ 2 + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2-y / x er den du ønskede at studere ?!). Ifølge den mest diffustede definition af sadelpunkter (stationære punkter, der ikke er ekstrem), søger du efter de stationære punkter i funktionen i sit domæne D = (x, y) i RR ^ 2 = RR ^ 2 setminus {(0 , y) i RR ^ 2}. Vi kan nu omskrive udtrykket givet til f på følgende måde: f (x, y) = 7x ^ 2 + x ^ 2y ^ 2-y / x Måden at identificere dem er at søge efter de punkter, der ophæver gradienten af f, som er vektoren af Læs mere »

{(Kritisk punkt, "Konklusion"), ((0,0), "min"), ((-1, -2), "sadlen"), ((-1,2), "sadlen" ), ((-5 / 3,0), "max"):} Teorien om at identificere ekstremt af z = f (x, y) er: Løs samtidigt de kritiske ligninger (delvist f) / (del f) / (del y) = 0 (dvs. z_x = z_y = 0) Vurdere f_ (xx), f_ (yy) og f_ (xy) (= f_ (yx)) på hvert af disse kritiske punkter . Vurder derfor Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 på hvert af disse punkter. Bestem ekstrems karakter {: (Delta> 0, "Der er minimum hvis" f_ (xx) <0), ("og et maksimum hvis" f_ (yy)> 0), Læs mere »

Vi har: f (x, y) = 6sin (-x) sin ^ 2 (y) = -6sinxsin ^ 2y Trin 1 - Find de partielle derivater Vi beregner det partielle derivat af en funktion af to eller flere variabler ved at differentiere WRT en variabel, mens de andre variabler behandles som konstant. Således: De første derivater er: f_x = -6cosxsin ^ 2y f_y = -6sinx (2sinycosy) = -6sinxsin2y De anden derivater (citeret) er: f_ (xx) = 6sinxsin ^ 2y f_ (yy) = -6sinx 2cos2y) = -12sinxcos2y De anden partielle krydderivater er: f_ (xy) = -6cosxsin2y f_ (yx) = -6cosx (2sinycosy) = = 6cosxsin2y Bemærk, at de anden partielle krydsderivater er identiske Læs mere »

X = pi / 2 og y = pi x = pi / 2 og y = -pi x = -pi / 2 og y = pi x = -pi / 2 og y = -pi x = pi og y = pi / 2 x = pi og y = -pi / 2 x = -pi og y = pi / 2 x = -pi og y = -pi / 2 For at finde de kritiske punkter i en 2-variabel funktion skal du beregne gradienten, hvilket er en vektor, der samler derivaterne med hensyn til hver variabel: (d / dx f (x, y), d / dy f (x, y)) Så har vi d / dx f (x, y) = 6cos ) sin (y) og ligeledes d / dy f (x, y) = 6sin (x) cos (y). For at finde de kritiske punkter skal gradienten være nulvektoren (0,0), hvilket betyder at løse systemet {(6cos (x) sin (y) = 0), (6sin (x) cos (y) = Læs mere »

{0,0} sadelpunkt {0, -2} lokale maksimum f (x, y) = e ^ y (y ^ 2-x ^ 2), så sationspunkterne bestemmes ved at løse grad f (x, y) = vec 0 eller {(-2 e ^ yx = 0), (2 ^ yy + e ^ y (-x ^ 2 + y ^ 2 = 0):} giver to opløsninger ((x = 0, y = 0 ), (x = 0, y = -2)) Disse punkter er kvalificerede ved hjælp af H = grad (grad f (x, y)) eller H = ((- 2 e ^ y, -2 e ^ yx) 2 e ^ yx, 2 e ^ y + 4 e ^ yy + e ^ y (-x ^ 2 + y ^ 2))) så H (0,0) = ((-2,0), (0, 2 )) har egenværdier {-2,2}. Dette resultat kvalificerer punkt {0,0} som et sadelpunkt. H (0, -2) = ((- 2 / e ^ 2, 0), (0-2 / e ^ 2)) har egenværdier {-2 Læs mere »

Punkterne (0,0), (1,0) og (0,1) er sadelpunkter. Pointen (1 / 3,1 / 3) er et lokalt maksimalt punkt. Vi kan udvide f til f (x, y) = xy-x ^ 2y-xy ^ 2. Find derefter de partielle derivater og sæt dem til nul. frac { partial f} { parti x} = y-2xy-y ^ 2 = y (1-2x-y) = 0 frac { partiel f} { partial y} = xx ^ 2-2xy = x (1-x-2y) = 0 Det er klart, at (x, y) = (0,0), (1,0) og (0,1) er løsninger på dette system, og det er også kritiske punkter af f. Den anden løsning kan findes fra systemet 1-2x-y = 0, 1-x-2y = 0. Løsning af den første ligning for y i form af x giver y = 1-2x, som kan tilsluttes de Læs mere »

Et sadpunkt er placeret ved {x = -63/725, y = -237/725} De stationære poinier er bestemt til at løse for {x, y} grad f (x, y) = ((9 + 2 x + 27 y ), (3 + 27 x + 2 y)) = vec 0 opnå resultatet {x = -63/725, y = -237/725} Kvalifikationen af dette stationære punkt udføres efter at have observeret rødderne fra den charasteristiske polynomial til sin hessiske matrix. Den hessiske matrix opnås ved at gøre H = grad (grad f (x, y)) = ((2,27), (27,2)) med charasteristisk polynomisk p (lambda) = lambda ^ 2- "spor" (H) lambda + det (H) = lambda ^ 2-4 lambda-725 Løsning for lambda Læs mere »

Jeg fandt ingen sadelepunkter, men der var et minimum: f (1/3, -2 / 3) = -1/3 For at finde extrema skal du tage det partielle derivat med hensyn til x og y for at se om begge partielle derivater kan Samtidig lig med 0. (delf) / (delx)) _ y = 2x + y ((delf) / (dely)) x = x + 2y + 1 Hvis de samtidig skal svare til 0, danne de et system med ligninger: 2 2x + y + 0 = 0) x + 2y + 1 = 0 Dette lineære equationsystem, når subtraheret for at annullere y, giver: 3x - 1 = 0 => farve (grøn) (x = 1/3) => 2 (1/3) + y = 0 => farve (grøn) (y = -2/3) Da ligningerne var lineære, var der kun et kritisk punkt Læs mere »

Se svaret nedenfor: 1. Tak til den gratis software, der understøttede os med grafikken. http://www.geogebra.org/ 2. Takket være webstedet WolframAlpha, der gav os en numerisk omgående løsning af systemet med implicitte funktioner. http://www.wolframalpha.com/ Læs mere »

V = pi-1 / 4pi ^ 2 Formlen til at finde volumenet af et faststof produceret ved at dreje en funktion f omkring x-aksen er V = int_a ^ bpi [f (x)] ^ 2dx Så for f (x) = cotx, volumenet af dets omdrejningsstof mellem pi "/" 4 og pi "/" 2 er V = int_ (pi "/" 4) ^ (pi "/" 2) pi (cotx) ^ 2x = piint_ (pi "/" 4) ^ (pi "/" 2) cot ^ 2xdx = piint_ (pi "/" 4) ^ (pi "/" 2) csc ^ 2x-1DX = -pi [cotx + x] _ (pi" / "4) ^ (pi" / "2) = - pi ((0-1) + (pi / 2-pi / 4)) = pi-1 / 4pi ^ 2 Læs mere »

Sadlen peger på oprindelsen. Vi har: f (x, y) = x ^ 2y -y ^ 2x Og så afledes vi de partielle derivater. Husk, når vi delvist differentierer, at vi differentierer med den pågældende variabel, mens vi behandler de andre variabler som konstant. Og så: (delvis f) / (delvist x) = 2xy-y ^ 2 og (delvist f) / (delvis y) = x ^ 2-2yx Ved ekstrem- eller sadelpunkter har vi: delvist f) / (delvist x) = 0 og (delvist f) / (delvis y) = 0 samtidigt: dvs. en samtidig opløsning af: 2xy-y ^ 2 = 0 => y 2x-y) = 0 => y = 0, x = 1 / 2y x ^ 2-2yx = 0 => x (x-2y) = 0 => x = 0, x = 1 / 2y Derfor e Læs mere »

Pointen (x, y) = ((27/2) ^ (1/11), 3 * (2/27) ^ {4/11}) ca. (1.26694,1.16437) er et lokalt minimumspunkt. De første ordens partielle derivater er (delvist f) / (delvis x) = y-3x ^ {- 4} og (delvist f) / (delvist y) = x-2y ^ {- 3}. Indstilling af disse begge lig med nul resulterer i systemet y = 3 / x ^ (4) og x = 2 / y ^ {3}. Subtitutering af den første ligning i den anden giver x = 2 / ((3 / x ^ {4}) ^ 3) = (2x ^ {12}) / 27. Da x! = 0 i domænet af f resulterer dette i x ^ {11} = 27/2 og x = (27/2) ^ {1/11}, således at y = 3 / ((27/2) ^ {4/11}) = 3 * (2/27) ^ {4/11} Delvis afledte derivater er (delvist Læs mere »

Der er en ekstrem på (3,3,27) Vi har: f (x, y) = xy + 27 / x + 27 / y Og så afledes vi de partielle derivater: (partial f) / (partial x) = y - 27 / x ^ 2 og (delvis f) / (delvis y) = x - 27 / y ^ 2 På ekstrem- eller sadelpunkter har vi: (delvis f) / (delvis x) = 0 (partial f) / (partial y) = 0 samtidigt: dvs. en samtidig løsning af: y - 27 / x ^ 2 = 0 => x ^ 2y = 27 x - 27 / y ^ 2 = 0 => xy ^ 2 = 27 Subtraktion af disse ligninger giver: x x 2y-xy ^ 2 = 0:. xy (x-y) = 0:. x = 0; y = 0; x = y Vi kan eliminere x = 0; y = 0 og så x = y er den eneste gyldige løsning, som fører til Læs mere »

(0,0) er et sadelpunkt (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) og (-1 / sqrt 2, -1 / sqrt 2) er lokale maksima (1 / sqrt 2, -1 / sqrt 2) og (-1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) er lokale minima (0, pm 1 / sqrt 2) og (pm 1 / sqrt 2,0) er bøjningspunkter. For en generel funktion F (x, y) med et stationært punkt ved (x_0, y_0) har vi Taylors serieudvidelsen F (x_0 + xi, y_0 + eta) = F (x_0, y_0) + 1 / (2!) (F_ {xx} xi ^ 2 + F_ {yy} eta ^ 2 + 2F_ {xy} xi eta) + ldots For funktionen f (x) = xy e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} har vi (delf) / (del x) = ye ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + xy (-2x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} qquad = y (1-2x ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} (delf) / (del y Læs mere »

Vi har: f (x, y) = xy + e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) Trin 1 - Find de partielle derivater Vi beregner det partielle derivat af en funktion af to eller flere variabler ved at differentiere WRT en variabel, mens de andre variabler behandles som konstante. Således: De første derivater er: f_x = y + e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) (-2x) = y -2x e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) f_y = x + e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) (-2y) = x -2y e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) Andre derivater (citeret) er: f_ (xx) = -2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) + 4x ^ 2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) f_ (yy) = -2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) + 4y ^ 2e ^ -x ^ 2-y ^ 2) De anden del-cross-derivater er: f_ (xy) = 1 + 4xye ^ (- x ^ 2-y Læs mere »

{: ("Kritisk punkt", "konklusion"), ((0,0,0), "sadlen"):} Teorien til at identificere ekstremt af z = f (x, y) er: Løs samtidigt de kritiske ligninger (del f) / (delvist x) = (delvist f) / (delvis y) = 0 (dvs. f_x = f_y = 0) Vurder f_ (xx), f_ (yy) og f_ (xy) (yx)) på hvert af disse kritiske punkter. Vurder derfor Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 på hvert af disse punkter. Bestem ekstrems karakter {: (Delta> 0, "Der er minimum hvis" f_ (xx) <0), ("og et maksimum hvis" f_ (yy)> 0), (Delta <0, "der er et sadpunkt") , (Delta = 0, &quo Læs mere »

Start altid med en skitse af funktionen over intervallet. I intervallet [1,6] ser grafen sådan ud: Som det ses fra grafen, øges funktionen fra 1 til 6. Så der er ikke noget lokalt minimum eller maksimum. Imidlertid vil den absolutte ekstrem eksistere ved intervallets endepunkter: absolut minimum: f (1) = 11 absolut maksimum: f (6) = 1/216 + 60 ~~ 60.005 håb, der hjalp Læs mere »

Max f = 1. Der er ikke noget minimum. y = f (x) = 1-sqrtx. Grafen er indsat. Dette repræsenterer en semi parabola, i kvadranterne Q_1 og Q_4, hvor x> = 0. Max y er ved enden (0, 1). Selvfølgelig er der intet minimum. Bemærk at, som x til oo, y til -oo. Forældelsens ligning er (y-1) ^ 2 = x som kan separeres i y = 1 + -sqrtx. graf {y + sqrtx-1 = 0 [-2,5, 2,5, -1,25, 1,25]} Læs mere »

Der er et globalt minimum på 2 ved x = -1 og et globalt maksimum på 27 ved x = 4 i intervallet [-2,4]. Global ekstrem kan forekomme i et interval på et af to steder: ved et slutpunkt eller et kritisk punkt inden for intervallet. De endepunkter, som vi skal teste, er x = -2 og x = 4. For at finde nogle kritiske punkter skal du finde derivatet og sætte det til 0. F (x) = 2 + (x ^ 2 + 2x + 1) = x ^ 2 + 2x + 3 Gennem strømreglen f '(x) = 2x + 2 Indstilling svarende til 0, 2x + 2 = 0 "" => "" x = -1 Der er et kritisk punkt på x = -1, hvilket betyder at det også kunne Læs mere »

F (x) har et absolut maksimum på -1 ved x = 1f (x) = -2x ^ 2 + 4x-3f (x) er kontinuert på [-oo, + oo] Da f (x) er en parabol f (x) vil have et enkelt absolut maksimum, hvor f '(x) = 0f' (x) = -4x + 4 = 0 -> x = 1 f (x) 1) = -2 + 4-3 = -1 Således: f_max = (1, -1) Dette resultat kan ses på grafen af f (x) nedenfor: graf {-2x ^ 2 + 4x-3 [-2.205 , 5,59, -3,343, 0,554]} Læs mere »

X_1 = -2 er et maksimum x_2 = 1/3 er et minimum. Først identificerer vi de kritiske punkter ved at ligge det første derivat til nul: f '(x) = 6x ^ 2 + 10x -4 = 0 giver os: x = frac (-5 + - sqrt (25 + 24)) 6 = -5 + - 7) / 6 x_1 = -2 og x_2 = 1/3 Nu studerer vi tegnet af det andet derivat omkring de kritiske punkter: f '' (x) = 12x + 10, så: f '' (- 2) <0 det er x_1 = -2 er et maksimum f '' (1/3)> 0 der er x_2 = 1/3 er et minimum. graf {2x ^ 3 + 5x ^ 2-4x-3 [-10, 10, -10, 10]} Læs mere »

Det absolutte minimum på domænet sker ved ca. (pi / 2, 3,7124), og den absolutte maks på domænet forekommer ved ca. (3pi / 4, 5,6544). Der er ingen lokal ekstrem. Før vi begynder, behøver det os at analysere og se om synd x indtager en værdi på 0 på ethvert tidspunkt på intervallet. sin x er nul for alle x sådan at x = npi. pi / 2 og 3pi / 4 er begge mindre end pi og større end 0pi = 0; således indtager synd x ikke en værdi på nul her. For at bestemme dette skal man huske, at der forekommer en ekstremitet enten hvor f '(x) = 0 (kritiske punkter) Læs mere »

F (x) har et minimum ved x = 2 Før du går videre, bemærk at dette er en opadvendt parabola, hvilket betyder, at vi uden yderligere beregning kan kende, at det ikke vil have maksima og et enkelt minimum ved dets toppunkt. Fuldførelse af firkanten viser os, at f (x) = 3 (x-2) ^ 2 + 1, hvilket giver vertexet og dermed det eneste minimum ved x = 2. Lad os se, hvordan dette ville ske med calculus. Enhver ekstrem vil forekomme enten på et kritisk punkt eller ved et slutpunkt af det givne interval. Da vores givne interval for (-oo, oo) er åbent, kan vi ignorere muligheden for endepunkter, og så Læs mere »

Lad os se. Lad den givne funktion være y sådan, at rarr y = f (x) = - x ^ 2 + 2x + 3 Nu differentierer wrt x: dy / dx = -2x + 2 Nu er andenordensderivatet: (d ^ 2y) / dx ^ 2 = -2 Nu er andenordensderivatet negativt. Derfor har funktionen kun en ekstrem og ingen minima. Derfor er punktet for maxima -2. Maksimumværdien af funktionen er f (-2). Håber det hjælper :) Læs mere »

Lad os se. Lad den givne funktion være y sådan, at den rar for enhver værdi af x i det givne område. y = f (x) = - 3x ^ 2 + 30x-74: .dy / dx = -6x + 30:. (d ^ 2y) / dx ^ 2 = -6 Nu, da andenordens derivat af funktionen er negativ, vil værdien af f (x) være maksimal. Derfor kan maksimalt eller ekstremt kun opnås. Nu, uanset om der er maksima eller minima, dy / dx = 0: .- 6x + 30 = 0: .6x = 30: .x = 5 Derfor er punktet for maxima 5. (Svar). Så den maksimale værdi eller ekstreme værdi af f (x) er f (5). : .f (5) = - 3. (5) ^ 2 + 30.5-74: .f (5) = - 75 + 150-74: .f (5) = 150-14 Læs mere »

Funktionen indeholder ingen extrema. Find f '(x) gennem kvotientreglen. f '(x) = (x ^ 2-1) d / dx (3x) -3xd / dx (x ^ 2-1)) / (x ^ 2-1) ^ 2 => (3 (x ^ 2 -1) -3x (2x)) / (x ^ 2-1) ^ 2 => (- 3 (x ^ 2 + 1)) / (x ^ 2-1) ^ 2 Find vendpunkterne for funktionen. Disse forekommer, når derivatet af funktionen er lig med 0. f '(x) = 0, når tælleren er lig med 0. -3 (x ^ 2 + 1) = 0 x ^ 2 + 1 = 0 x ^ 2 = -1 f' (x) er aldrig lig med 0. Dermed har funktionen ingen extrema. graf {(3x) / (x ^ 2-1) [-25,66, 25,66, -12,83, 12,83]} Læs mere »

Funktionen har et minimum ved x = 3 hvor f (3) = - 35 f (x) = 4x ^ 2-24x + 1 Det første derivat giver os linjens gradient på et bestemt punkt. Hvis dette er et stationært punkt, vil dette være nul. f '(x) = 8x-24 = 0: .8x = 24 x = 3 For at se, hvilken type stationært punkt vi har, kan vi teste for at se om 1. derivat er stigende eller faldende. Dette er givet ved tegnet af 2. derivatet: f '' (x) = 8 Da dette er + ve skal det første derivat være stigende, hvilket indikerer et minimum for f (x). graf {(4x ^ 2-24x + 1) [-20, 20, -40, 40]} Her f (3) = 4xx3 ^ 2- (24xx3) + 1 = -35 Læs mere »

Maks ved x = 1 og Min x = 0 Tag derivatet af den oprindelige funktion: f '(x) = 18x-18x ^ 2 Sæt det lig med 0 for at finde, hvor derivatfunktionen vil ændre sig fra en positiv til en negativ , dette vil fortælle os, når den oprindelige funktion vil have sin skråning skifte fra positiv til negativ. 0 = 18x-18x ^ 2 Faktor en 18x fra ligningen 0 = 18x (1-x) x = 0,1 Opret en linje og plot værdierne 0 og 1 Indtast værdierne før 0, efter 0, før 1 og efter 1 Indtast derefter hvilke dele af linjeplotten, der er positive, og hvilke er negative. Hvis plottet går fra negativt til Læs mere »

Find de kritiske værdier på intervallet (når f '(c) = 0 eller eksisterer ikke). f (x) = 64-x ^ 2 f '(x) = - 2x Sæt f' (x) = 0. -2x = 0 x = 0 Og f '(x) er altid defineret. For at finde ekstremt, skal du slutte i endepunkterne og de kritiske værdier. Bemærk at 0 passer til begge disse kriterier. f (-8) = 0larr "absolut minimum" f (0) = 64larr "absolut maksimum" graf {64-x ^ 2 [-8, 0, -2, 66]} Læs mere »

F (x)> 0. Maksimum f (x) isf (0) = 1. X-aksen er asymptotisk til f (x) i begge retninger. f (x)> 0. Brug funktionen af funktionsreglen, y '= - 2xe ^ (- x ^ 2) = 0, ved x = 0. y' '= - 2e ^ (- x ^ 2) -2x (- 2 x) e ^ (- x ^ 2) = - 2, ved x = 0. Ved x = 0, y '= 0 og y' '<0. Så er f (0) = 1 maksimumet for f ), Som krævet, . 1 i [-.5, a], a> 1. x = 0 er asymptotisk til f (x), i begge retninger. Som xto + -oo, f (x) til0 Interessant er grafen for y = f (x) = e ^ (- x ^ 2) den skalerede (1 enhed = 1 / sqrt (2 pi)) normal sandsynlighedskurve, for den normale sandsynlighedsfordeling med Læs mere »

Absolut minimum af -512 ved x = 8 og et absolut maksimum på 1/32 ved x = 1/16 Når man finder ekstrem på et interval, er der to steder, de kunne være: til en kritisk værdi eller ved en af endepunkterne af intervallet. For at finde de kritiske værdier skal du finde funktionens derivat og sætte det som 0. Eftersom f (x) = - 8x ^ 2 + x ved vi at strømreglen ved, at f '(x) = - 16x + 1. Indstilling af dette lig med 0 efterlader os med en kritisk værdi ved x = 1/16. Således er vores placeringer for potentielle maksima og minima ved x = -4, x = 1/16 og x = 8. Find hver af dere Læs mere »

X = -3 eller x = -1 f = e ^ x, g = x ^ 2 + 2x + 1 f '= e ^ x, g' = 2x + 2 f '(x) = fg' + gf '= e ^ x (2x + 2) + e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) = 0 e ^ x (2x + 2 + x ^ 2 + 2x + 1) = 0 e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) = 0 e x (x + 3) (x + 1) = 0 e x = 0 eller x + 3 = 0 eller x + 1 = 0 ikke muligt, x = -3 eller x = -1 f -3) = e ^ -3 (9-6 + 1) = 0,199-> max f (-1) = e ^ -1 (1-2 + 1) = 0-> min Læs mere »

Extrema er ved x = 2; opnået ved at løse f '(x) = 0f' (x) = 2x -4 = 0; Tag et kig på grafen, som det hjælper. graf {x ^ 2-4x + 3 [-5, 5, -5, 5]} løse for x. Du vil typisk finde det første derivat og andet derivat for at finde ekstremt, men i dette tilfælde er det trivielt, bare find det første derivat. HVORFOR? du skal kunne svare på dette. Givet f (x) = x ^ 2 - 4x + 3; f '(x) = 2x -4; f '' = 2 konstant Nu sæt f '(x) = 0 og løse for ==> x = 2 Læs mere »

Faktorering af det negative: f (x) = - [sin ^ 2 (ln (x ^ 2)) + cos ^ 2 (ln (x ^ 2)) Husk at synd ^ 2theta + cos ^ 2theta = 1: f x) = - 1 f er en konstant funktion. Det har ingen relativ ekstrem og er -1 for alle værdier af x mellem 0 og 2pi. Læs mere »

Da f (x) er differentierbar overalt, skal du blot finde hvor f '(x) = 0 f' (x) = sin (x) -cos (x) = 0 Løs: sin (x) = cos (x) brug enheden cirkel eller skits en graf af begge funktioner for at bestemme, hvor de er ens: I intervallet [0,2pi] er de to løsninger: x = pi / 4 (minimum) eller (5pi) / 4 (maksimum) håb det hjælper Læs mere »

Minimumet er f (9), og maksimumet er f (-4). f '(x) = 2x-192, så der er ikke kritiske tal for f i det valgte interval. Derfor finder minimum og maksimum sted ved slutpunkterne. f (-4) = 16 + 192 (4) +8 er klart et positivt tal, og f (9) = 81-192 (9) +4 er klart negativ. Så er minimumet f (9), og maksimumet er f (-4). Læs mere »

(3,2) er et minimum. (1,6) og (6,11) er maksima. Relativ ekstrem forekommer, når f '(x) = 0. Det vil sige, når 2x-6 = 0. dvs. når x = 3. For at kontrollere, om x = 3 er et relativt minimum eller maksimum, observerer vi at f '' (3)> 0 og så => x = 3 er et relativt minimum, det vil sige (3, f (3)) = , 2) er et relativt minimum og også et absolut minimum, da det er en kvadratisk funktion. Da f (1) = 6 og f (6) = 11, betyder det, at (1,6) og (6,11) er absolutte maksima på intervallet [1,6]. graf {x ^ 2-6x + 11 [-3,58, 21,73, -0,37, 12,29]} Læs mere »

Relativ max ved (5/2, 21/4) = (2,5, 5,25) Find det første derivat: f (x) '= -2x + 5 Find det kritiske antal (r): f' (x) = 0; x = 5/2 Brug den 2. derivat test for at se om det kritiske tal er en relativ max. eller relativ min .: f '' (x) = -2; f '' (5/2) <0; relativ maks. ved x = 5/2 Find y-værdien af maksimumet: f (5/2) = - (5/2) ^ 2 + 5 (5/2) - 1 = -25/4 + 25/2 -1 = -25/4 + 50/4 - 4/4 = 21/4 relativ max ved (5/2, 21/4) = (2,5, 5,25) Læs mere »

Funktionen har et minimum ved x = 4 graf {x ^ 2-8x + 12 [-10, 10, -5, 5]} Givet - y = x ^ 2-8x + 12 dy / dx = 2x-8 dy / dx = 0 => 2x-8 = 0 x = 8/2 = 4 (d ^ 2y) / (dx ^ 2) = 2> 0 Ved x = 4; dy / dx = 0; (d ^ 2y) / (dx ^ 2)> 0 Derfor har funktionen et minimum ved x = 4 Læs mere »

Den givne funktion er altid faldende og har derfor hverken maksimum eller minimum. Derivat af funktionen er y '= (2x (x ^ 2-3x) -x ^ 2 (2x-3)) / (x ^ 2-3x) ^ 2 = = (Annuller (2x ^ 3) -6x ^ 2cancel (-2x ^ 3) + 3x ^ 2) / (x ^ 2-3x) ^ 2 = (- 3x ^ 2) / (x ^ 2-3x) ^ 2 og y '<0 AA x i [4; 9] Den givne funktion, funktionen er altid faldende og har derfor hverken maksimal eller mindste graf {x ^ 2 / (x ^ 2-3x) +8 [-0,78,17 , 4.795, 13.685]} Læs mere »

Vi har en minima ved x = 0 og et bøjningspunkt ved x = 3 A maxima er et højdepunkt, hvor en funktion stiger og derefter falder igen. Som sådan vil tangens hældning eller værdien af derivatet være nul. Da tangenterne til venstre for maksima vil blive skrånende opad og derefter fladere og derefter skrånende nedad, vil tangens hældning løbende falde, dvs. værdien af anden derivat ville være negativ. En minima er på den anden side et lavt punkt, hvor en funktion falder og derefter stiger igen. Som sådan vil tangenten eller værdien af derivat ved mini Læs mere »

Minimum: f (-2) = 1 Maksimum: f (+2) = 9 trin: Evaluer slutpunktene for det givne domæne f (-2) = (- 2) ^ 3-2 (-2) +5 = -8 + 4 + 5 = farve (rød) (1) f (+2) = 2 ^ 3-2 (2) +5 = 8-4 + 5 = farve (rød) (9) Vurder funktionen på alle kritiske punkter indenfor Domænet. For at gøre dette skal du finde punkt (er) inden for domænet hvor f '(x) = 0 f' (x) = 3x ^ 2-2 = 0 rarrx ^ 2 = 2/3 rarr x = sqrt (2/3) " eller "x = -sqrt (2/3) f (sqrt (2/3)) ~ ~ farve (rød) (3.9) (og nej, jeg har ikke fundet ud af det med hånden) f (-sqrt /3))-color(red)(~6.1) Minimum {farve (rød) Læs mere »

Funktionens ekstremum er (4,5, -0,25) f (x) = (x-4) (x-5) kan omskrevet til f (x) = x ^ 2 - 5x - 4x + 20 = x ^ 2- 9x + 20. Hvis du afgiver funktionen, vil du ende med dette: f '(x) = 2x - 9. Hvis du ikke gør det, hvordan du afledes funktioner som disse, skal du kontrollere beskrivelsen længere nede. Du vil vide, hvor f '(x) = 0, fordi det er hvor gradienten = 0. Sæt f' (x) = 0; 2x - 9 = 0 2x = 9 x = 4.5 Sæt derefter denne værdi af x i den oprindelige funktion. f (4.5) = (4.5-4) (4.5-5) f (4.5) = 0.5 * (-0.5) f (4.5) = -0.25 Crach kursus om hvordan man afledes disse typer funktioner: Mul Læs mere »

Find de kritiske værdier af f (x) på intervallet [0,5]. f '(x) = (x ^ 2 + 9) d / dx [x] -xd / dx [x ^ 2 + 9]) / (x ^ 2 + 9) ^ 2' (x) = ^ 2 + 9-2x ^ 2) / (x ^ 2 + 9) ^ 2f '(x) = - (x ^ 2-9) / (x ^ 2 + 9) ^ 2 f' (x) = 0 når x = + - 3. f '(x) er aldrig udefineret. For at finde ekstremt, skal du indstille intervallets endepunkter og eventuelle kritiske tal inden for intervallet i f (x), som i dette tilfælde kun er 3. f (0) = 0larr "absolut minimum" f (3) = 1 / 6larr "absolut maksimum" f (5) = 5/36 Kontroller en graf: graf {x / (x ^ 2 + 9) [-0.02, 5, -0.02, 0.2]} Læs mere »

Der er ingen absolut ekstrem, og eksistensen af relativ ekstrem afhænger af din definition af relativ ekstrem. f (x) = x / (x-2) stiger uden bundet som xrarr2 fra højre. Det er: lim_ (xrarr2 ^ +) f (x) = oo Så, funktionen har intet absolut maksimum på [-5,5] f formindskes uden bundet som xrarr2 fra venstre, så der er intet absolut minimum på [-5 , 5]. Nu er f '(x) = (-2) / (x-2) ^ 2 altid negativ, så når man tager domænet til [-5,2) uu (2,5], falder funktionen på [- 5,2) og på (2,5). Dette fortæller os, at f (-5) er den største værdi af f i nær Læs mere »

X = + - pi / 4 for x i [-pi / 2, pi / 2] g (x) = 2sin (2x-pi) +4g (x) = -2sin (2x) +4 For ekstremt af g x), g '(x) = 0 g' (x) = -4cos (2x) g '(x) = 0 -4cos (2x) = 0 cos (2x) = 0 2x = + - pi / 2 x = + -pi / 4 for x i [-pi / 2, pi / 2] Læs mere »

Den lokale ekstrem er x = -1 og x = 10 Den ekstreme af en funktion kan findes, hvor det første derivat er lig med nul. I dette tilfælde er funktionen en linje, så slutpunktene for funktionen i det udpegede område er ekstremt, og derivatet er linjens hældning. Minimum: (-1, -85) Maksimum: # (10, -30) Læs mere »

Extrema er ved x = + - 1 og x = + - sqrt (1/35) h (x) = 7x ^ 5-12x ^ 3 + xh '(x) = 35x ^ 4 -36x ^ 2 +1 Factoriserende h '(x) og svarer til nul, ville det være (35x ^ 2 -1) (x ^ 2-1) = 0 De kritiske punkter er derfor + -1, + -sqrt (1/35) h' '( x) = 140x ^ 3-72x For x = -1, h '' (x) = -68 ville der derfor være et maksimum ved x = -1 for x = 1, h '' (x) = 68 der ville være en minima ved x = 1 for x = sqrt (1/35), h '' (x) = 0.6761 -12.1702 = - 11.4941, derfor ville der være et maksimum på dette punkt for x = # -sqrt (1 / 35), h '' (x) = -0,6761 + 12,1702 Læs mere »

Minima er (1/4, -27 / 256) og maxima er (1,0) y = x ^ 4-3x ^ 3 + 3x ^ 2 x xx / dx = 4x ^ 3-9x ^ 2 + 6x -1 For stationære punkter, dy / dx = 0 4x ^ 3-9x ^ 2 + 6x-1 = 0 (x-1) (4x ^ 2-5x + 1) = 0 (x-1) 2 (4x- 1) = 0 x = 1 eller x = 1/4 d ^ 2y / dx ^ 2 = 12x ^ 2-18x + 6 Test x = 1 d ^ 2y / dx ^ 2 = 0 derfor mulig vandret infleksionspunkt Dette spørgsmål, du behøver ikke finde ud af om det er et horisontalt inflexionspunkt) Testning x = 1/4 d ^ 2y / dx ^ 2 = 9/4> 0 Derfor er minimum og konkave op ved x = 1/4 Find nu x-aflytningerne, lad y = 0 (x ^ 3-x) (x-3) = 0 x (x ^ 2-1) (x-3) = 0 x = 0, + - 1,3 find y Læs mere »

Svaret er: y '' = (- x ^ 3cosx + 3x ^ 4sinx + 6xcosx-6sinx) / x ^ 4. Det er derfor: y '= (((cosx + x * (- sinx) -cosx) x ^ 2- (xcosx-sinx) * 2x)) / x ^ 4 = = (- x ^ 3sinx-2x ^ 2cosx + 2xsinx) / x ^ 4 = = (- x ^ 2sinx-2xcosx + 2sinx) / x ^ 3 y "= ((- 2xsinx-x ^ 2cosx-2cosx-2x (-sinx) + 2cosx) x ^ 3- -x ^ 2sinx-2xcosx + 2sinx) * 3x ^ 2) / x ^ 6 = = ((- x ^ 2cosx) x ^ 3 + 3x ^ 4sinx + 6x ^ 3cosx-6x ^ 2xx) / x ^ 6 = = ( -x ^ 3cosx + 3x ^ 4sinx + 6xcosx-6sinx) / x ^ 4. Læs mere »

Vi omskriver f som f (x) = 2x ^ 7 * (1-1 / x ^ 2) men lim_ (x-> oo) f (x) = oo derfor er der ingen global ekstrem. For den lokale ekstrem finder vi de punkter hvor (df) / dx = 0f '(x) = 0 => 14x ^ 6-10x ^ 4 = 0 => 2 * x ^ 4 * (7 * x ^ 2-5 ) = 0 => x_1 = sqrt (5/7) og x_2 = -sqrt (5/7) Derfor har vi det lokale maksimum ved x = -sqrt (5/7) er f (-sqrt (5/7)) = 100/343 * sqrt (5/7) og lokalt minimum ved x = sqrt (5/7) er f (sqrt (5/7)) = - 100/343 * sqrt (5/7) Læs mere »

Den lokale ekstrem er (0,6) og (1 / 3,158 / 27) og den globale ekstrem er + -oo Vi bruger (x ^ n) '= nx ^ (n-1) Lad os finde det første derivat f' x) = 24x ^ 2-8x For lokal ekstrem f '(x) = 0 Så 24x ^ 2-8x = 8x (3x-1) = 0 x = 0 og x = 1/3 Så lad os lave et diagram af tegn xcolor (hvid) (aaaaa) -Ocolor (hvid) (aaaaa) 0farve (hvid) (aaaaa) 1 / 3farve (hvid) (aaaaa) + oo f '(x) Farve (hvid) aaaaa) -farve (hvid) (aaaaa) + f (x) farve (hvid) (aaaaaa) uarrfarve (hvid) (aaaaa) darrcolor (hvid) (aaaaa) uarr Så på punktet (0,6) har vi en lokal Maksimum og ved (1 / 3,158 / 27) Vi har et punkt Læs mere »

F (x) har et absolut minimum ved (-1,0) f (x) har et lokalt maksimum ved (-3, 4e ^ -3) f (x) = e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) f '(x) = e ^ x (2x + 2) + e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) [Produktregel] = e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) For absolut eller lokal ekstrem: f '(x) = 0 Det er hvor: e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) = 0 Da e ^ x> 0 forall x i RR x ^ 2 + 4x + 3 = 0 (x + 3) x-1) = 0 -> x = -3 eller -1 f '' (x) = e ^ x (2x + 4) + e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) [Produktregel] = e ^ x (x ^ 2 + 6x + 7) Igen, da e ^ x> 0 behøver vi kun at teste tegnet på (x ^ 2 + 6x + 7) på vores ekstrem punkter for at afgøre, om punktet er Læs mere »

(0,0) er et lokalt minimum og (4 / 3,32 / 27) er et lokalt maksimum. Der er ingen global ekstrem. Forøg først parenteserne for at gøre differentieringen nemmere og få funktionen i formularen y = f (x) = 2x ^ 2-x ^ 3. Nu forekommer lokale eller relative ekstreme eller vendepunkter, når derivatet f '(x) = 0, det vil sige når 4x-3x ^ 2 = 0, => x (4-3x) = 0 => x = 0 eller x = 4/3. derfor f (0) = 0 (2-0) = 0 og f (4/3) = 16/9 (2-4 / 3) = 32/27. Da det andet derivat f '' (x) = 4-6x har værdierne f '' (0) = 4> 0 og f '' (4/3) = - 4 <0, betyder det at ) er Læs mere »

Lokal: x = -2, 0, 2 Global: (-2, -32), (2, 32) For at finde ekstrem, finder du bare punkter hvor f '(x) = 0 eller er udefineret. Så: d / dx (x ^ 3 + 48 / x) = 0 For at gøre dette til et strømregel problem, omskrives 48 / x som 48x ^ -1. Nu: d / dx (x ^ 3 + 48x ^ -1) = 0 Nu tager vi bare dette derivat. Vi slutter med: 3x ^ 2 - 48x ^ -2 = 0 Går fra negative eksponenter til fraktioner igen: 3x ^ 2 - 48 / x ^ 2 = 0 Vi kan allerede se, hvor en af vores extrema vil forekomme: f '(x ) er udefineret ved x = 0 på grund af 48 / x ^ 2. Derfor er det en af vores ekstreme. Derefter løser vi for d Læs mere »

Funktionen har ingen global ekstrem. Den har et lokalt maksimum på f ((- 4-sqrt31) / 3) = (308 + 62sqrt31) / 27 og et lokalt minimum på f ((- 4 + sqrt31) / 3) = (308-62sqrt31) / 27 For f (x) = x ^ 3 + 4x ^ 2 - 5x, lim_ (xrarr-oo) f (x) = - oo så f har intet globalt minimum. lim_ (xrarroo) f (x) = oo så f har intet globalt maksimum. f '(x) = 3x ^ 2 + 8x-5 er aldrig udefineret og er 0 ved x = (- 4 + -sqrt31) / 3 For tal langt fra 0 (både positive og negative) er f' (x) positiv . For tal i ((-4-sqrt31) / 3, (- 4 + sqrt31) / 3) er 3f '(x) negativ. Tegnet på f '(x) ændres fra + Læs mere »

Lokal ekstrem: x = -1/3 og x = 1 Global ekstrem: x = + - infty Lokal ekstrem, også kaldet maxima og minima, eller nogle gange kritiske punkter, er lige hvad de lyder som: når funktionen nåede et kort maksimum eller et kort minimum. De kaldes lokale, fordi når du leder efter kritiske punkter, plejer du kun at bekymre sig om, hvad det maksimale betyder i umiddelbar nærhed af punktet. At finde lokale kritiske punkter er ret simpelt. Find, når funktionen er uændret, og funktionen er uændret, når du gættede det - derivatet er lig med nul. En simpel anvendelse af strømreglen Læs mere »

For at få vandret asymptoter skal du beregne to grænser to gange. Din asymptote er repræsenteret som linje f (x) = ax + b, hvor a = lim_ (x-> infty) f (x) / xb = lim_ (x-> infty) f (x) -ax Og de samme grænser skal kaluleres i negativ uendelighed for at få passende resultat. Hvis der er behov for mere forklaring - skriv i kommentarer. Jeg vil tilføje eksempel senere. Læs mere »

Ved (2, -9) Der er en minima. Givet - y = x ^ 2-4x-5 Find de to første derivater dy / dx = 2x-4 Maxima og Minima bestemmes af det andet derivat. (d ^ 2y) / (dx ^ 2) = 2> 0 dy / dx = 0 => 2x-4 = 0 2x = 4 x = 4/2 = 2 Ved x = 2; y = 2 ^ 2-4 (2) -5 y = 4-8-5 y = 4-13 = -9 Da det andet derivat er større end en. Ved (2, -9) Der er en minima. Læs mere »

F (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x har et lokalt minimum for x = 1 og et lokalt maksimum for x = 3 Vi har: f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) Funktionen er defineret i alle RR som x ^ 2 + 3> 0 AA x Vi kan identificere de kritiske punkter ved at finde, hvor det første derivat er lig med nul: f '(x) = (4x) / (x ^ 2 + 3) - 1 = - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) = 0 x ^ 2-4x + 3 = 0 x = 2 + -sqrt (4-3) = 2 + -1 så de kritiske punkter er: x_1 = 1 og x_2 = 3 Da nævneren altid er positiv, er tegnet af f '(x) det modsatte af tegn på tælleren (x ^ 2-4x + 3) Nu ved vi, at et andenordenspol Læs mere »

Se venligst forklaringen nedenfor Funktionen er f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + 3x-3y + 4 De partielle derivater er (delf) / (delx) = 2x + y + 3 (delf) / (dely) = 2y + x-3 Lad (delf) / (delx) = 0 og (delf) / (dely) = 0 Derefter {{2x + y + 3 = 0), (2y + x-3 = 0):} =>, {(x = -3), (y = 3):} (del ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2 (del ^ 2f) / (dely ^ 2) = 2 ^ 2f) / (delxdely) = 1 (del ^ 2f) / (delydelx) = 1 Den hessiske matrix er Hf (x, y) = ((del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (del ^ 2f) / (dely ^ 2))) Det afgørende er D (x, y) = det (H (x, y)) = | (2,1), (1,2) | = 4-1 = 3> 0 Derfor er der ingen sadelpunkter. D (1,1)> 0 Læs mere »

Lokalt maksimum på 80 (ved x = -1) og lokalt minimum på -80 (ved x = 1 .f (x) = 120x ^ 5 - 200x ^ 3f '(x) = 600x ^ 4 - 600x ^ 2 = 600x ^ 2 (x ^ 2 - 1) Kritiske tal er: -1, 0 og 1 Skiltet for f 'skifter fra + til - da vi passerer x = -1, så f (-1) = 80 er et lokalt maksimum . (Eftersom f er mærkeligt, kan vi straks konkludere, at f (1) = - 80 er et relativt minimum, og f (0) er ikke et lokalt ekstremt.) Tegnet på f 'ændres ikke, da vi passerer x = 0, så f (0) er ikke et lokalt ekstremt. Tegnet på f 'skifter fra - til + når vi passerer x = 1, så f (1) = -80 er Læs mere »

Lokalt maksimum på 13 ved 1 og lokalt minimum 0 ved 0. Domæne af f er RRf '(x) = 2 + 2x ^ (- 13/15) = (2x ^ (13/15) +2) / x ^ (13/15) f '(x) = 0 ved x = -1 og f' (x) eksisterer ikke ved x = 0. Både -1 og 9 er i f-domænet, så de er begge kritiske tal. Første derivat test: On (-oo, -1), f '(x)> 0 (for eksempel ved x = -2 ^ 15) On (-1,0), f' (x) <0 (for eksempel ved x = -1 / 2 ^ 15) Derfor er f (-1) = 13 et lokalt maksimum. På (0, oo), f '(x)> 0 (brug nogen stor positiv x) Så f (0) = 0 er et lokalt minimum. Læs mere »

Er der ingen lokale ekstremer i RR ^ n for f (x) Vi skal først tage derivatet af f (x). dy / dx = 2d / dx [x ^ 3] -3d / dx [x ^ 2] + 7d / dx [x] -0 = 6x ^ 2-6x + 7 Så f '(x) = 6x ^ 2- 6x + 7 For at løse de lokale ekstremer skal vi sætte derivatet til 0 6x ^ 2-6x + 7 = 0 x = (6 + -sqrt (6 ^ 2-168)) / 12 Nu har vi ramt en problem. Det er så x inCC, så de lokale ekstremer er komplekse. Dette er hvad der sker, når vi starter i kubiske udtryk, det er, at komplekse nuller kan ske i den første derivat test. I dette tilfælde er der ingen lokale ekstremer i RR ^ n for f (x). Læs mere »

Maksimum f er f (5/2) = 69,25. Minimum f er f (-3/2) = 11,25. d / dx (f (x)) = - 6x ^ 2 + 12x + 18 = 0, når x = 5/2 og -3/2 Det andet derivat er -12x + 12 = 12 (1-x) <0 ved x = 5/2 og> 0 ved x = 3/2. Så, f (5/2) er den lokale (til endelig x) maksimum og f (-3/2) er det lokale (til endelig x) minimum. Som xto oo, fto -oo og som xto-oo, fto + oo .. Læs mere »

Lokal max ved x = -2 lokal min ved x = 4f (x) = 2x ^ 3 - 6x ^ 2 - 48x + 24f '(x) = 6x ^ 2 - 12x - 48 = 6 (x ^ 2 - 2x - 8) = 6 (x-4) (x + 2) betyder f '= 0 når x = -2, 4 f' '= 12 (x - 1) f' '(- 2) = -36 <0 dvs. max f '' (4) = 36> 0 dvs min den globale max min er drevet af det dominerende x ^ 3 udtryk så lim_ {x til pm oo} f (x) = pm oo det skal se sådan ud Læs mere »

X = {- 3,0,3} Lokal ekstrem forekommer, når hældningen er lig med 0, så vi skal først finde derivatet af funktionen, sæt det til 0, og løs derefter for x for at finde alle x'er, for hvilke der er lokal ekstrem. Ved hjælp af down-down-reglen kan vi finde, at f '(x) = 8x ^ 3-72x. Indstil nu det til 0. 8x ^ 3-72x = 0. For at løse, faktor 8x ud for at få 8x (x ^ 2-9) = 0, så bruger du forskellen mellem to kvadrater split x ^ 2-9 i sine to faktorer for at få 8x (x + 3) (x- 3) = 0. Indstil nu hver af disse særskilt til 0, fordi hele udtrykket vil være 0, n& Læs mere »

Den eneste ekstrem er x = 0.90322 ..., et funktionsminimum Men du er nødt til at løse en kubisk ligning for at komme der, og svaret er slet ikke 'nice' - er du sikker på, at spørgsmålet er korrekt indtastet? Jeg har også medtaget forslag til, hvordan man nærmer sig svaret uden at gå ind i mængden af analyser, der vises fuldt ud nedenfor. 1. Standard tilgang peger os i en besværlig retning Først beregner derivatet: f (x) = (4x-3) ^ 2- (x-4) / x så (ved kæde- og kvotientregler) f '(x) = 4 * 2 (4x-3) - (x- (x-4)) / x ^ 2 = 32x-24-4 / x ^ 2 Sæt Læs mere »

F (x) = a (x-2) (x-3) (xb) Den lokale ekstrem lyd adlyder (df) / dx = a (6 + 5 b - 2 (5 + b) x + 3 x ^ 2) = 0 Nu, hvis en ne 0 har vi x = 1/3 (5 + b pm sqrt [7-5 b + b ^ 2]) men 7-5 b + b ^ 2 gt 0 (har komplekse rødder) x) har altid et lokalt minimum og et lokalt maksimum. Antag en ne 0 Læs mere »

Der er et lokalt minimum på 0 ved 1. (Hvilket er også globalt.) Og et lokalt maksimum på 4 / e ^ 2 ved e ^ 2. For f (x) = (lnx) ^ 2 / x bemærk først, at domænet af f er det positive reelle tal, (0, oo). Find derefter f '(x) = ([2 (lnx) (1 / x)] * x - (lnx) ^ 2 [1]) / x ^ 2 = (lnx (2-lnx)) / x ^ 2. f 'er udefineret ved x = 0, som ikke er i f-domænet, så det er ikke et kritisk tal for f. f '(x) = 0 hvor lnx = 0 eller 2-lnx = 0 x = 1 eller x = e ^ 2 Test intervallerne (0,1), (1, e ^ 2) og (e ^ 2, oo ). (For testnumre foreslår jeg e ^ -1, e ^ 1, e ^ 3 - tilbagekald 1 = e Læs mere »

Extrema af f (x) er: Max 2 ved x = 0 Min af 0 ved x = 2, -2 For at finde ekstremiteten af en hvilken som helst funktion udfører du følgende: 1) Differentier funktionen 2) Indstil derivatet lig med 0 3) Løs for den ukendte variabel 4) Udskift opløsningerne til f (x) (IKKE derivatet) I dit eksempel på f (x) = sqrt (4-x ^ 2): f (x) = (4 -x ^ 2) ^ (1/2) 1) Differentier funktionen: Ved kæderegel **: f '(x) = 1/2 (4-x ^ 2) ^ (- 1/2) * (- 2x ) Forenkling: f '(x) = -x (4-x ^ 2) ^ (- 1/2) 2) Sæt derivatet svarende til 0: 0 = -x (4-x ^ 2) 2) Nu, da dette er et produkt, kan du indstille hve Læs mere »